contrôle du 27 mars 2006

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{4-2x}{2x+3}}⩾0$

Le quotient ${\displaystyle \frac{4-2x}{2x+3}}$ n'est défini que pour $2x+3\ne 0$, soit $x\ne -{\displaystyle \frac{3}{2}}$

D'autre part, $$\begin{array}{llllll}2x+3>0\iff x>-{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& 4-2x>0& \iff & -2x>-4& \\ & & & \iff & x<2& \text{multiplication par un réel négatif.}\end{array}$$

On dresse le tableau de signes :

x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		2		$+\infty$
$4-2x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
$2x+3$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
${\displaystyle \frac{4-2x}{2x+3}}$		−	$\left|\right|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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${\displaystyle \frac{4-2x}{2x+3}}⩾0$ pour tout réel x de l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};2\right]$

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