contrôle commun 27 avril 2006

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\left(4-2x\right)}^2-{\left(3x+1\right)}^2<0$

Le premier membre de l'inéquation se présente sous la forme développée $A^2-B^2$ avec $A=\left(4-2x\right)$ et $B=\left(3x+1\right)$. Donc :$$\begin{array}{lcl}{\left(4-2x\right)}^2-{\left(3x+1\right)}^2<0& \iff & \left[\left(4-2x\right)+\left(3x+1\right)\right]\left[\left(4-2x\right)-\left(3x+1\right)\right]<0\\ & \iff & \left(4-2x+3x+1\right)\left(4-2x-3x-1\right)<0\\ & \iff & \left(x+5\right)\left(3-5x\right)<0\end{array}$$

Étudions le signe de chaque terme du produit , $$\begin{array}{lclccl}x+5⩾0\iff x⩾-5& \text{et}& 3-5x⩾0& \iff & -5x⩾-3& \\ & & & \iff & x⩽{\displaystyle \frac{3}{5}}& \text{multiplication par un réel négatif.}\end{array}$$

On dresse le tableau de signes pour étudier le signe du produit :

x	$-\infty$		$-5$		${\displaystyle \frac{3}{5}}$		$+\infty$
$x+5$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
$3-5x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
$\left(x+5\right)\left(3-5x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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L'ensemble des solutions de l'inéquation, ${\left(4-2x\right)}^2-{\left(3x+1\right)}^2<0$ est $S=]-\infty ;-5[\cup ]{\displaystyle \frac{3}{5}};+\infty [$

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