contrôles en seconde

contrôle commun 27 avril 2006

Corrigé de l'exercice 5

  1. Soit f la fonction carrée définie sur par f(x)=x2 dont la courbe représentative 𝒫 est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

    1. Quels sont les antécédents de 3 ? quelle est l'image de -2 ?

      • Les antécédents de 3 sont les réels solutions de l'équation x2=3. Soit x=-3 ou x=3.

        3 a deux antécédents, -3 ou 3.


      • L'image de -2 est f(-2)=(-2)2. Donc f(-2)=4


    2. Soit a un réel tel que -3a<45, déterminer un encadrement de a2.

      Rappelons les variations de la fonction carrée :

      x- 0 +

        f(x)  

       fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      La fonction carrée n'est pas monotone sur l'intervalle [-3;45[ , nous devons donc étudier le cas où -3a0 et celui où 0a45.

      • Sur l'intervalle ]-;0] , la fonction carrée est strictement décroissante d'où -3a0(-3)2a2020a29

      • Sur l'intervalle [0;+[ , la fonction carrée est strictement croissante d'où 0a<4502a2<(45)20a2<1625

      Donc si a[-3;45[ alors, 0a29.


  2. On considère la fonction affine g définie sur par g(x)=-x+5

    1. Tracer la courbe représentative de la fonction g dans le repère suivant.

      La courbe représentative de la fonction g est la droite d'équation y=-x+5 passant par les points de coordonnées (0;5) et (4;1)

      Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Par lecture graphique donner les solutions approchées à 10-1 près de l'équation f(x)=g(x).

      La droite d'équation y=-x+5 coupe la parabole en deux points dont les abscisses, arrondies avec la précision permise par le graphique, sont -2,8 et 1,8.

      Les solutions approchées à 10-1 près de l'équation f(x)=g(x) sont {-2,8;1,8}.


  3. Montrer que (x+1+212)(x+1-212)=x2+x-5.

    Pour tout réel x, (x+1+212)(x+1-212)=x2+x(1-21)2+x(1+21)2+(1+21)(1-21)4=x2+x-x21+x+x212+1-214=x2+x-5

    Pour tout réel x, (x+1+212)(x+1-212)=x2+x-5.


  4. En déduire les solutions exactes de l'équation f(x)=g(x).

    f(x)=g(x) pour x solution de l'équation x2=-x+5x2+x-5=0(x+1+212)(x+1-212)=0

    Soit : x+1+212=0oux+1-212=0x=-1+212oux=-1-212

    L'ensemble des solutions de l'équation l'équation f(x)=g(x) est S={-1+212;21-12}.



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