contrôles en seconde

contrôle du 19 décembre 2007

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur par f(x)=x2-2x-1.

  1. Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice, le tableau des valeurs ci-dessous

    x-2-1-0,50122,534
    f(x)720,25-1-2-10,2527
  2. La courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer f(1-2) et f(1+2).

      f(1-2)=(1-2)2-2×(1-2)-1=1-22+2-2+22-1=0f(1+2)=(1+2)2-2×(1+2)-1=1+22+2-2-22-1=0

      f(1-2)=0 et f(1+2)=0.


    2. Établir le tableau du signe de f suivant les valeurs de x.

      Graphiquement, f(x)>0 pour les abscisses x des points de la courbe situés au dessus de l'axe des abscisses et f(x)<0 pour les abscisses x des points de la courbe situés au dessous de l'axe des abscisses. D'après la question précédente f(1-2)=0 et f(1+2)=0 . D'où le tableau du signe de f suivant les valeurs de x

      x- 1-2 1+2 +
      Signe de f 0||+0|| 

    1. Vérifier que pour tout réel x, f(x)=(x-1)2-2.

      Pour tout réel x, (x-1)2-2=x2-2x+1-2=x2-2x-1

      Ainsi, pour tout réel x, f(x)=(x-1)2-2.


    2. Soit a et b deux réels tels que a<b1.
      Comparer f(a) et f(b). En déduire que f est décroissante sur l'intervalle ]-;1].

      a<b1a-1<b-10(a-1)2>(b-1)2Deux réels négatifs sont dans l'ordre inverse de leurs carrésSoit(a-1)2-2>(b-1)2-2

      Ainsi, si a<b1 alors f(a)>f(b) donc f est décroissante sur l'intervalle ]-;1].


    3. Montrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+[

      Soit a et b deux réels tels que 1a<b, 1a<b0a-1<b-1D'où(a-1)2<(b-1)2Deux réels positifs sont dans le même ordre que leurs carrés Soit(a-1)2-2<(b-1)2-2

      Ainsi, si 1a<b alors f(a)<f(b) donc f est croissante sur l'intervalle [1;+[.


    4. Montrer que f admet un minimum sur .
      En déduire le nombre de solutions de l'équation f(x)=-3.

      Montrons que f(1) est le minimum de la fonction f. Pour tout réel x, f(x)-f(1)=(x-1)2-2-(-2)=(x-1)20

      Ainsi, pour tout réel x, f(x)f(1) donc f admet un minimum atteint pour x=1


  3. Résoudre l'équation f(x)=2

    f(x)=2(x-1)2-2=2(x-1)2-4=0[(x-1)-2][(x-1)+2]=0(x-3)(x+1)=0Soitx=3 ou x=-1

    L'ensemble des solutions de l'équation f(x)=2 est S={-1;3}



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