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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Mercredi 19 Décembre 2007}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle \no 4}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 4\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip


On considère une fonction  $f$ définie sur l'intervalle  $\left[-5;4 \right]$ . Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(14.2,3)
\psframe(14.2,3)\psline(0,2.2)(14.2,2.2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.3){$x$} \uput[u](2.4,2.3){$- 5$} \uput[u](6.2,2.3){$-2$} \uput[u](8.1,2.3){$1$} \uput[u](10,2.3){$2$}\uput[u](13.8,2.3){$4$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$} \rput(2.4,1.9){\rnode{A}{$-2$}} \rput(6.2,.3){\rnode{B}{$-3$}}\rput(10,1.9){\rnode{C}{$3$}} \rput(13.8,.3){\rnode{D}{$0$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}\ncput*{0} \ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Donner le tableau du signe de $f$ suivant les valeurs de $x$.
	\item Comparer $f\left(-\dfrac{9}{4}\right)$ et $f\left(-\dfrac{15}{7}\right)$.
	\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=-1$ ?
\end{enumerate}


\bigskip

\exo

\medskip

La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur un intervalle.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-2)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-2)(11,11)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7.5,-1)(5.5,5.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5.5,0){$x$}\uput[dl](0,5.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{5}{(10-5*x-5*x^2)/(6*x^2+6*x+4)}
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune](-7,-.78125)(5,-0.76087)
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
	\item Établir le tableau du signe de $f$.
	\item Quelles sont les images des réels  $-3$ et $0$ ?
	\item Quels sont les antécédents de $\dfrac{5}{2}$ ?
	\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
	\item Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant \dfrac{5}{2}$.
	\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
 	\item Quel est le maximum de la fonction $f$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-2x-1$ 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice, le tableau des valeurs ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &	$-2$ & $-1$ & $-0,5$ & $0$ & $1$ & $2$ & $2,5$ & $3$ & $4$ \\  \hline
$f(x)$ &	 &   &   &   &   &   &   &   &   \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(12,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-5)(12,15)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2.5)(6,7.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$}\uput[dl](0,7.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.0822}{4.0822}{x^2-2*x-1}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left( 1-\sqrt{2} \right)$ et $f\left( 1+\sqrt{2} \right)$. 
\item Établir le tableau du signe de $f$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)=\left(x-1\right)^2-2$.  
\item Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b \leqslant 1$.
\begin{itemize}
	\item Comparer $f(a)$  et $f(b)$.
	\item En déduire que $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left] - \infty ;1 \right]$.
\end{itemize}
\item Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[ 1;+ \infty  \right[$.
\item Montrer que $f$ admet un minimum sur $\R$.

En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=-3$.
\end{enumerate}

\item	Résoudre dans  l'équation $f(x)=2$.
\end{enumerate}

\end{document}