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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Mardi 19 Mai 2008}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle commun}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde}\\Durée 1 heure 30}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo  \qquad  (9 \textit{points})

\medskip

La courbe $C_f$  tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-4)(18,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)*EXP(1-.25*x^2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-4)(18,11)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(4.5,5.5)	
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5.5){\footnotesize{$y$}}
\rput(-3.75,-.75){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{4.5}{\f}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique :	
\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'image de 2 par la fonction $f$ ? Quel est l'antécédent de $-1$ ?
	\item Donner le tableau établissant le signe de $f$.
	\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $1\leqslant a < b$, comparer  $f(a)$ et $f(b)$.
	\item Tracer sur le graphique précédent, la droite $d$ d'équation $y=x+1$.
\item \`A l'aide du graphique , en expliquant la méthode :
\begin{enumerate}
	\item donner le nombre de solutions de l'équation  $f(x)=x+1$ ;
	\item résoudre l'inéquation $f(x)-x-1 \leqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo  \qquad  (13 \textit{points})

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R - \left\{\dfrac{1}{2} \right\}$  par $f(x)=\dfrac{8}{2x-1}$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal donné en annexe ci-dessous.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)$  et $f\left(\dfrac{5}{2} \right)$.
	\item Calculer l'abscisse du point $A$ de la courbe $C_f$  dont l'ordonnée est égale à $- 2$.
	\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-4)=-7$  et $g(3)=7$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la représentation graphique $D$ de la fonction $g$ dans le repère orthogonal donné en annexe.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel  $x \ne \dfrac{1}{2}$, $f(x)-g(x)=\dfrac{9-4x^2}{2x-1}$.
	\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de de l'expression $\dfrac{(3+2x)(3-2x)}{2x-1}$.
	\item En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf{\textbf{\textsc{annexe}}}

\bigskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-10)(16,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{8/(2*x-1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-10)(16,10)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-10)(8,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\rput(-6.5,-1.5){\bleu{$C_f$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{0.1}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.5,-10)(0.5,10)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.9}{8}{\f}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\exo  \qquad  (8 \textit{points})

\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

 Dans le plan muni du repère \Oij{}, on considère les points  $C(1;1)$, $E(-1;2)$ et $F\left(0;\dfrac{3}{2}\right)$
\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées des vecteurs  $\overrightarrow {CE}$ et $\overrightarrow {CF}$.
	\item Les points $C$, $E$ et $F$ sont-ils alignés ?	
\end{enumerate}

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

Sur le dessin ci-dessous, $ABCD$ est un parallélogramme.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(34,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(34,13)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](7,2)(11,2)(11.5,4)(7.5,4)
\uput[r](6.5,1.75){\bleu {\footnotesize{\textbf{$A$}}}}
\uput[r](11,1.75){\bleu {\footnotesize{\textbf{$B$}}}}
\uput[r](11.5,4.25){\bleu {\footnotesize{\textbf{$C$}}}}
\uput[r](7,4.25){\bleu {\footnotesize{\textbf{$D$}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $E$ et $F$ tels que  $\overrightarrow {AE} = -\overrightarrow {AB} +2\overrightarrow {AD}$ et $\overrightarrow {AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AD}$.
	\item Exprimer les vecteurs  $\overrightarrow {CE}$ et $\overrightarrow {CF}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$  et $\overrightarrow {AD}$ . 
	\item Montrer que les points $E$, $C$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}

\end{document}