contrôle du 22 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ :

1. $\left|x+3\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   $$\begin{array}{ccc}\left|x+3\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \left|x-\left(-3\right)\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Il s'agit donc de déterminer les réels x dont la distance à $\left(-3\right)$ est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ :

   Soit $$\begin{array}{rclll}& x-\left(-3\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{ou}& & x-\left(-3\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \iff & x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-3& & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{2}}-3\\ \iff & x=-{\displaystyle \frac{7}{2}}& & \iff & x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{7}{2}};-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right\}$

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2. $\left|x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right|⩽1$

   Il s'agit de déterminer les réels x dont la distance à ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est inférieure ou égale à 1 :

   Soit $$\begin{array}{ccc}-1⩽x-{\displaystyle \frac{2}{3}}⩽1& \iff & -1+{\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1+{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{1}{3}}⩽x⩽{\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$

   L'ensemble solution de l'inéquation est l'intervalle $S=\left[-{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{5}{3}}\right]$

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