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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Lundi 19 Octobre 2009}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle \no 2}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{de} 1\\Durée 1 heure}}}
%pied de page                                              
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo  \qquad  (5 \textit{points})

\medskip


On considère une fonction  $f$ définie sur l'intervalle  $\left[-5;5 \right]$ . Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :
\begin{center}
\begin{pspicture}(14,3)
\psframe[linewidth=0.6pt](14,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,2.2)(14,2.2)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,3)
\psline{->}(2.8,1.7)(5.3,0.3)\psline{->}(6.3,0.3)(9.3,1.7) \psline{->}(10.4,1.7)(13.4,0.3) 
\uput[u](1,2.3){$x$} \uput[u](2.4,2.3){$- 5$} \uput[u](5.75,2.3){$-1$}  \uput[u](9.9,2.3){$1$}\uput[u](13.7,2.3){$5$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$} \uput[d](2.4,2){$5$} \uput[u](5.75,0){$1$}  \rput(9.9,1.8){$2$} \uput[d](13.7,.6){$-1$}  
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Comparer $f\left(-\dfrac{5}{3}\right)$ et $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
	\item Peut-on comparer les images de 0 et de 3 ?
	\item Pour chacune des propositions suivantes, justifier si elle est vraie ou fausse :	
\begin{enumerate}
	\item Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $2\leqslant a < b \leqslant 4$  alors $f(a)<f(b)$.
	\item Tous les réels de l'intervalle  $\left[-5;0 \right]$ ont une image supérieure ou égale à 1.
	\item Il existe un seul réel de l'intervalle  $\left[-5;5 \right]$ qui a une image négative.
\end{enumerate}
	  
	
\end{enumerate}

 \bigskip


\exo  \qquad  (7 \textit{points})

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[- 3 ; 4 \right]$ par $f(x)=2x^2-3x$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les antécédents de 0 par la fonction  $f$.
	\item Compléter le tableau suivant :

\medskip
		
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
$f(x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &   &   &   &   &   &   &   &   \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Pourquoi peut-on affirmer que la fonction $f$ n'est pas monotone sur $\left[- 3 ; 4 \right]$ ?
\item Calculer l'image de 0,8. Le tableau permet-il de trouver le minimum de la fonction  $f$ ?
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[- 3 ; 4 \right]$, $f(x)-f\left(\dfrac{3}{4}\right)=2 \left( x-\dfrac{3}{4}\right)^2$.
	\item En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip
 

\exo  \qquad  (8 \textit{points})

\medskip


Soit $f$ une fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{9-4x^2}{x^2+1}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe  $C_f$ avec les axes du repère.
	\item Étudier le signe de $f(x)-f(0)$. En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction $f$.
	\item Montrer que pour tout réel $x$,  $f(x)>-4$. Peut on conclure que $-4$ est le minimum de la fonction $f$ ?
\end{enumerate}

\end{document}