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%
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$\bullet$ \quad #3 }

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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 30 septembre 2014}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10\\Durée 1 heure }}}%droit
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\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
\hypersetup{
pdftitle={Fonctions.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonctions.}, 
pdfkeywords={Notion de fonction, variations,  cours, exercices.},
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baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_controles/index_controles_seconde.php}
}

\begin{document}

\exo  \hfill  ( 3,5 \emph{points} ) 

\medskip

 Résoudre dans $\R$ chacune des inéquations suivantes et écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des solutions de l'inéquation.

a) \; $2x -3\geqslant -\dfrac{2}{3}$ ;\hfill b) \; $1-\dfrac{2}{3} x > 3+x $;\hfill c)  \;$\left( \dfrac{1}{2} -x\right)^2 \leqslant \left(x-1\right)\left(x+2\right)$
 
\bigskip

\exo  \hfill  ( 3,5 \emph{points} ) 

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ et telle que 0 a trois antécédents.

\begin{enumerate}
\item Pour chacune des deux propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
\begin{enumerate}
	\item \og L'équation $f(x)=0$  admet trois solutions.\fg
	\item \og La courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des ordonnées en trois points.\fg
\end{enumerate}
	\item Parmi les courbes tracées ci-dessous, quelles sont celles qui peuvent représenter la fonction $f$ ?
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](-2.5,5)(-1,3)(0,-1)(2,3)(3,-1)(4,-2)(5,-2)
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-x^3+3*x^2-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\pscustom[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{
\swapaxes
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500]{-1.195}{3.195}{\f}}
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-x^3+3*x^2-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.195}{3.195}{\f}
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x^2*(x-3)/2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.19582}{3.72189}{\f}
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\exo   \hfill  ( 2 \emph{points} ) 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-9)(18,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x+2)^2*(11-2*x)/125}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-9)(18,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7.5,-4.5)(9,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psdots[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](-7,5)(8,-4)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
	\item Donner le tableau du signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo  \hfill  ( 4 \emph{points} ) 

 \medskip 

Soit  $f$ une fonction définie sur l'intervalle  $\left[-8;5 \right]$. Son tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(14.8,2.4)
\psframe[linewidth=0.6pt](14.8,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.6)(14.8,1.6)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,2.4) 
 \rput(1,2){$x$} \rput(2.4,2){$- 8$} \rput(6.4,2){$-5$}  \rput(10.4,2){$-3$} \rput(12.4,2){2} \rput(14.4,2){$5$}
\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.4,1.3){\rnode{A}{$6$}} \rput(6.4,.3){\rnode{B}{$1$}} \rput(10.4,1.3){\rnode{C}{$3$}} \rput(14.4,.3){\rnode{D}{$-2$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}\ncput*{0}
 \end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Comparer $f\left(-\dfrac{17}{3}\right)$ et $f\left(-6\right)$
	\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$ ?
	\item Résoudre l'inéquation $f(x)>0$ ?
	\item Pour chacune des propositions suivantes, justifier : si elle est vraie ; si elle est fausse ou si le tableau ne permet pas de conclure.	
\begin{enumerate}
	\item \og Si $x$ est un réel de l'intervalle $\left[-8;-3 \right]$  alors $3 \leqslant f(x)\leqslant 6$.\fg
	\item \og Si $3 \leqslant f(x)\leqslant 6$ alors $ x \in \left[-8;-3 \right]$.\fg
	\item \og Tous les réels de l'intervalle  $\left[-8;0 \right]$ ont une image supérieure ou égale à 1.\fg	
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo  \hfill  ( 7 \emph{points} ) 
 
 \medskip
 
\parbox{0.65\linewidth}{$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=5$ et $AD=9$. 

$M$ étant un point du segment $[AB]$, on construit le carré $AMNP$ et le rectangle $NICJ$ comme indiqué sur la figure ci-contre.

On pose $AM=x$ et on note $f(x)$ l'aire  de la partie qui n'est pas hachurée. }
\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{
\begin{flushright}
\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(0,0)(10,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=.5pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=hlines](0,0)(2,2)
\psframe[linewidth=.5pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=hlines](2,2)(9,5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2,0)(2,5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,2)(9,2)
\psframe[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0)(9,5) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $A$}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[d](2,0){\footnotesize{\prune $P$}}
\uput[dr](9,0){\footnotesize{\bleu $D$}}
\uput[l](0,2){\footnotesize{\prune $M$}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{$x$}}
\uput[ul](2,2){\footnotesize{\prune $N$}}
\uput[r](9,2){\footnotesize{\prune $I$}}
\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu $B$}}
\uput[u](2,5){\footnotesize{\prune $J$}}
\uput[ur](9,5){\footnotesize{\bleu $C$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}


\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition de la fonction $f$.

\item La courbe représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{14*x-2*x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(12,5)
\psset{xunit=2cm,yunit=.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5]{->}(0,0)(-.5,-5)(6,25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,25){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
À l'aide du graphique, déterminer :
\begin{enumerate}
\item la position du point $M$ pour que l'aire de la partie non hachurée soit maximale ;
\item l'intervalle sur lequel l'aire de la partie non hachurée est inférieure à 20.
\end{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est définie par $f(x)=14x-2x^2$.
\item Calculer $f\left(\dfrac{7}{2}\right)$. Est-il possible que l'aire de la partie non hachurée soit supérieure à $\dfrac{99}{4}$ ?
\item Déterminer les positions éventuelles du point $M$ pour que l'aire de la partie non hachurée soit égale au double  de l'aire du carré $AMNP$.
\end{enumerate}

\end{document}