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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%


% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\16 Avril 2015}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle commun}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde}\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}

\begin{document}

\exo   \hfill  ( 5 \emph{points} ) 

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

\medskip

\begin{enumerate}[\bfseries \scshape \sffamily {proposition} 1 :]

\item Si $a$ est un réel tel que $-2 \leqslant a \leqslant 4$ alors $4 \leqslant a^2 \leqslant 16$.

\medskip

\item Si $f$ est une fonction affine telle que $f(2)=-1$ et $f(-1)=4$ alors $f$ est croissante sur $\R$.

\medskip

\item Si $f$ est une fonction affine telle que $f(-1)=3$ et $f(2)=5$ alors $f(5)=7$.

\medskip

\item Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Si $\vv{MA}+ \vv{MB}=2\vv{AB}$ alors $M$ est le milieu du segment $[AB]$.

\medskip

\item Le point $I$ de coordonnées $(-1,3)$ est le milieu du segment $[AB]$ où les coordonnées des points $A$ et $B$ sont respectivement  $\left(2;-3 \right)$  et $\left(-4 ; 9\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{\stretch{1}}
 
\exo    \hfill  ( 4 \emph{points} )

\medskip

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque et $M$ et $N$ les points définis par   $\vv{BM} =\dfrac{1}{2}\vv{AB}$ et $\vv{AN} = 3\vv{AD}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\vv{AB} + \vv{CD} = \vv{CB} + \vv{AD}$
\item Établir les relations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\vv{CM} = \dfrac{1}{2}\vv{AB} - \vv{BC}$.
\item $\vv{CN} = 2\vv{AD} - \vv{DC}$
\end{enumerate}
\item En déduire que si $ABCD$ est un parallélogramme alors les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.
\end{enumerate}

\vspace{\stretch{1}}

\exo    \hfill  ( 5 \emph{points} )

 \medskip 


Soit \Oij un repère orthonormé du plan.

\begin{enumerate}
	\item	On considère la droite  $\mathcal{D}$ passant par le point $E\left( 4;-2 \right)$  et admettant pour coefficient directeur $(-2)$
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
	\item Le point $F\left( 2;-1 \right)$ est-il un point de la droite $\mathcal{D}$  ?
	
\end{enumerate}
\item On considère les points $A\left( -4;9 \right)$  et $B\left(2 ;12 \right)$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
	\item Les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ sont elles parallèles ?
\end{enumerate}
\item Résoudre le système $S:\left\{ {\begin{array}{rcl}   y & =& -2x+6  \\   y &= &0,5x+11   \\\end{array}} \right.$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item On admettra maintenant que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ sont sécantes en $H(-2 : 10)$.

Démontrer que le triangle $BHE$ est rectangle en $H$.
\end{enumerate}

\vspace{\stretch{1}}

\pagebreak

\exo    \hfill  ( 6 \emph{points} )

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

$ABCD$ est un carré de côté 12 cm. $M$ étant un point du segment $[AB]$, on construit le carré $AMNP$ et le triangle rectangle isocèle $PRD$ comme indiqué sur la figure ci-dessous. 

	\begin{center}
	\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(0,0)(12,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=.75pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchcolor=prune,fillstyle=hlines](0,0)(5,5) 
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines](0,5)(0,12)(7,12)(0,5)
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(12,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[dr](12,0){\footnotesize{\bleu $B$}}\uput[ur](12,12){\footnotesize{\bleu $C$}}\uput[ul](0,12){\footnotesize{\bleu $D$}}
\uput[d](5,0){\footnotesize{\prune $M$}}\uput[r](5,5){\footnotesize{\prune $N$}}\uput[l](0,5){\footnotesize{\prune $P$}}\uput[u](7,12){\footnotesize{\prune $R$}}
\uput[d](2.5,0){\footnotesize{$x$}}
\end{pspicture}
	\end{center}

On pose $x=AM$ avec $x\in \left[ 0 ; 12 \right]$
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire  du triangle $PRD$.
\item On note $f(x)$ l'aire en $\mathrm{cm}^2$ de la partie hachurée.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[ 0 ; 12 \right]$, $f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-12x+72$.
\item Donner, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$. 

En déduire la valeur minimale de l'aire de la partie hachurée.
\end{enumerate}
\item Déterminer les positions éventuelles du point $M$ pour que l'aire de la partie hachurée soit égale à la moitié de l'aire du carré $ABCD$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

$ABCD$ est un carré de côté 12 cm. $M$ étant un point du segment $[AB]$, on construit le trapèze $DMBC$. 

	\begin{center}
	\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(0,0)(12,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchcolor=prune,fillstyle=hlines](0,12)(5,0)(12,0)(12,12)(0,12)
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(12,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[dr](12,0){\footnotesize{\bleu $B$}}\uput[ur](12,12){\footnotesize{\bleu $C$}}\uput[ul](0,12){\footnotesize{\bleu $D$}}
\uput[d](5,0){\footnotesize{\prune $M$}}
\uput[d](2.5,0){\footnotesize{$x$}}
\end{pspicture}
	\end{center}

On pose $x=AM$ avec $x\in \left[ 0 ; 12 \right]$
\begin{enumerate}
\item On note $g(x)$ l'aire en $\mathrm{cm}^2$ du trapèze $DMBC$. 

Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[ 0 ; 12 \right]$, $g(x)=144-6x$.
\item On donne en annexe la représentation graphique de la fonction $f$ définie dans la partie A.
\begin{enumerate}
\item Tracer sur la figure donnée la représentation graphique de la fonction $g$.
\item Démontrer que, pour tout $x\in \left[ 0 ; 12 \right]$, $f(x)-g(x)=\dfrac{3}{2}\times \left[ {\left( x-2 \right) ^2 -52} \right]$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}	

{\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}

\medskip 

(\emph{À rendre avec la copie})

\vspace{\stretch{1}}

	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-2,-1)(26,30)
	
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.5*x^2-12*x+72}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(26,30) 
\psset{xunit=1cm, yunit=0.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-.99,-5)(13,150) 
\uput[dl](13,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,150){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
\uput[r](12,144){\bleu $\mathcal{C}_f$}
%\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,144)(12,72)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}


\end{document}
