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% Mise en forme des algorithmes
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  \SetKwIF {Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon\_si}{alors}{fin~si}
 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
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 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 9 janvier 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 5\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~2}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}



\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero


\hypersetup{
pdftitle={Second degré.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonction polynôme du second degré.}, 
pdfkeywords={second degré, variations,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_controles/index_controles_seconde.php}
}

\begin{document}
\exo 

\medskip

Soit  $f$ une fonction polynôme du second degré dont le tableau de variations est le suivant :

 \begin{center} 
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$-1$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$f(x)$} \rput(2,.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1){\rnode{B}{$3$}} \rput(9.5,.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions polynômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction $f$ ?


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}	
$A(x)=-x^2-2x+2$ ; & $B(x)=0,5x^2+x+3,5$ ; & $C(x)=-x^2+2x+6$ ;  & $D(x)=-3x^2-6x$.
\end{tabularx}

\item $f$ est une fonction polynôme du second degré telle que $f(1)=0$. 

Donner le tableau du signe de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction  définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2-3x-1$.
 
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Calculer $f(-1)$. En déduire les solutions de l'équation $f(x)=3$
\item Si $m$ est un réel appartenant à l'intervalle $[0;4]$ peut-on affirmer que $-1 \leqslant f(m) \leqslant 3$ ?
\end{enumerate}

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est tracée en annexe, dans le plan muni d'un repère orthogonal.


\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1)=5$ et $g(5)=-4$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g(x)$ en fonction de $x$.
		\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}	 
\item Montrer que $f(x)-g(x)=\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{81}{16}$. 
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $\mathcal{C}_f$ et de la droite $D$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}

\textsf{\textsc{\textbf{annexe}}}

\bigskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-9)(22,20)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def \f{x^2-3*x-1}
\def \g{-1.5*x+3.5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-9)(22,18)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-4.5)(5.5,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5.5,0){$x$} \uput[dl](0,9){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.2pt, linecolor=bleu]{-2}{5}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.5}{5}{\g}%
\uput[dr](5,9){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
 \setcounter{nexo}{0}
 \setcounter{page}{1}
 
\exo 

\medskip

Soit  $f$ une fonction polynôme du second degré dont le tableau de variations est le suivant :
 \begin{center}
 
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$1$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
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\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions polynômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction $f$ ?


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}	
$A(x)=2x^2-4x$ ; & $B(x)=-x^2+2x-3$ ; & $C(x)=0,5x^2+x-1,5$ ;  & $D(x)=x^2-2x-1$.
\end{tabularx}

\item $f$ est est une fonction polynôme du second degré telle que $f(-1)=0$. 

Donner le tableau du signe de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction  définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2-3x-1$.
 
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Calculer $f(3)$. En déduire les solutions de l'équation $f(x)=-1$
\item Si $m$ est un réel appartenant à l'intervalle $[-1;3]$ peut-on affirmer que $-1 \leqslant f(m) \leqslant 3$ ?
\end{enumerate}

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est tracée en annexe, dans le plan muni d'un repère orthogonal.



\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-2)=6$ et $g(2)=4$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g(x)$ en fonction de $x$.
		\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}	 
\item Montrer que $f(x)-g(x)=\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}$. 
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $\mathcal{C}_f$ et de la droite $D$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}

\textsf{\textsc{\textbf{annexe}}}

\bigskip


\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-9)(22,20)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
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\uput[dr](5,9){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}