\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
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\usepackage{eqnarray}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
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\usepackage{ifthen}
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\usepackage{esvect}
% Mise en forme des algorithmes
\usepackage[french,boxed,titlenumbered,lined,longend]{algorithm2e}
  \SetKwIF {Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon\_si}{alors}{fin~si}
 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
 \SetKwFor{PourCh}{pour\_chaque }{ faire }{fin pour\_chaque}
 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
\usepackage[np]{numprint}

 \setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\newcommand{\D}{\mathds {D}}

\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 30 janvier 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 5}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 5\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~2}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}



\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero


\hypersetup{
pdftitle={Fonctions.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Equations de droite, second degré.}, 
pdfkeywords={Equation réduite d'une droite. Second degré variations. Contrôles.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_controles/index_controles_seconde.php}
}

\begin{document}
\exo 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , on a tracé cinq droites.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}		
\begin{pspicture}(-10,-10)(12,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-10)(12,10)
\psset{unit=1cm}		
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(6,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\def\f{-x/2+1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\def\f{2*x-1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2}{3}{\f}
\def\g{2*x/3-4/3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5}{6}{\g}
\def\f{3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-3.5,-5)(-3.5,5)
\uput[ul](-3.5,-5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\uput[ul](6,3){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\uput[dl](6,-2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_5$}}}
\uput[dl](2.5,4.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\uput[ul](5,2){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre équations suivantes quelle est l'équation de la droite $\mathcal{D}_1$ ?
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $y=x-2$ & \item $y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x$&\item $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$ & \item $y=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}x$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer une équation réduite chacune des quatre droites $\mathcal{D}_2$, $\mathcal{D}_3$, $\mathcal{D}_4$ et $\mathcal{D}_5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip
 
 Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$
 
\begin{enumerate}
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par les points $A(-2;5)$ et $B(4;-4)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vv{u}\begin{pmatrix*}[r] -4 \\ 3 \end{pmatrix*}$ et passe par le point $C(3;-5)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ est parallèle à la droite $d$ d'équation $y=2x -\dfrac{1}{2}$ et passe par le point $E(-1;2)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , on considère les points $A(-1;5)$, $B(-3;0)$ et $C(7;-2)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. Calculer les coordonnées du point $I$.
\item En déduire une équation de la médiane $(AI)$ du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item Soit $G$ le point de coordonnées $(1;1)$.
\begin{enumerate}
\item Le point $G$ appartient-il à la droite $(AI)$ ?
\item Déterminer une équation de la droite $(BG)$.
\item Soit $J$ le milieu du segment $[AC]$. Montrer que $J$ est un point de la droite $(BG)$.
\item Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=10$ et $AD=6$. 

$M$ étant un point du segment $[AD]$, on construit le quadrilatère $MNPQ$  comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec $AM=AN=CP=CQ$

	\begin{center}
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(0,-0.4)(10,6.4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchcolor=prune,fillstyle=hlines](2.5,0)(10,3.5)(7.5,6)(0,2.5)(2.5,0)
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(10,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[dr](10,0){\footnotesize{\bleu $B$}}\uput[ur](10,6){\footnotesize{\bleu $C$}}\uput[ul](0,6){\footnotesize{\bleu $D$}}
\uput[d](2.5,0){\footnotesize{\prune $N$}}\uput[r](10,3.5){\footnotesize{\prune $P$}}\uput[u](7.5,6){\footnotesize{\prune $Q$}}\uput[l](0,2.5){\footnotesize{\prune $M$}}
\uput[d](1.25,0){\footnotesize{$x$}}\uput[r](10,4.75){\footnotesize{$x$}}\uput[u](8.75,6){\footnotesize{$x$}}\uput[l](0,1.25){\footnotesize{$x$}}
\end{pspicture}
	\end{center}

On pose $AM=x$ avec $x\in \left[ 0 ; 6 \right]$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle $MAN$ ainsi que l'aire du triangle $NBP$
\item On note $f(x)$ l'aire du quadrilatère $MNPQ$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du quadrilatère $MNPQ$.
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire la valeur maximale de l'aire du quadrilatère $MNPQ$.
\end{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(26,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def \f{16*x-2*x^2}
\def \g{30}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(26,18)
\psset{xunit=2cm, yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-.25,-2)(6.5,36)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6.5,0){$x$} \uput[dl](0,36){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.2pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6.5}{\g}%
\uput[dr](6,26){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer les positions éventuelles du point $M$ sur le segment $[AD]$ pour que l'aire du quadrilatère $MNPQ$ soit supérieure à la moitié de l'aire du rectangle $ABCD$.
\item Justifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[ 0 ; 6 \right]$, $f(x)=30 \iff -2\left[ (x-4)^2 -1 \right]=0$.
\item En déduire les positions éventuelles du point $M$ sur le segment $[AD]$ pour que l'aire du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à la moitié de l'aire du rectangle $ABCD$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage
 \setcounter{nexo}{0}
  \setcounter{page}{1}
 
 \exo 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , on a tracé cinq droites.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}		
\begin{pspicture}(-10,-10)(12,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-10)(12,10)
\psset{unit=1cm}		
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(6,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\def\f{x/2-1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\def\f{-2*x+1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2}{3}{\f}
\def\g{4/3-2*x/3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5}{6}{\g}
\def\f{3.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-3,-5)(-3,5)
\uput[ul](-3,-5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\uput[ul](6,3.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\uput[ul](6,2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_5$}}}
\uput[dl](3.5,-4.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\uput[dl](6.1,-2){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre équations suivantes quelle est l'équation de la droite $\mathcal{D}_1$ ?
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $y=2-x$ & \item $y=\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x$ &\item $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$ & \item $y=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}x$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer une équation réduite chacune des quatre droites $\mathcal{D}_2$, $\mathcal{D}_3$, $\mathcal{D}_4$ et $\mathcal{D}_5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip
 
 Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$
 
\begin{enumerate}
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par les points $A(-3;3)$ et $B(3;-1)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vv{u}\begin{pmatrix*}[r] -2 \\ 3 \end{pmatrix*}$ et passe par le point $C(2;-1)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ est parallèle à la droite $d$ d'équation $y=-2x +\dfrac{1}{2}$ et passe par le point $E(1;-2)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , on considère les points $A(-1;5)$, $B(7;-2)$ et $C(-3;0)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. Calculer les coordonnées du point $I$.
\item En déduire une équation de la médiane $(AI)$ du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item Soit $G$ le point de coordonnées $(1;1)$.
\begin{enumerate}
\item Le point $G$ appartient-il à la droite $(AI)$ ?
\item Déterminer une équation de la droite $(BG)$.
\item Soit $J$ le milieu du segment $[AC]$. Montrer que $J$ est un point de la droite $(BG)$.
\item Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=12$ et $AD=8$. 

$M$ étant un point du segment $[AD]$, on construit le quadrilatère $MNPQ$  comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec $AM=AN=CP=CQ$

	\begin{center}
	\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(0,-0.4)(12,8.4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchcolor=prune,fillstyle=hlines](3,0)(12,5)(9,8)(0,3)(3,0)
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(12,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[dr](12,0){\footnotesize{\bleu $B$}}\uput[ur](12,8){\footnotesize{\bleu $C$}}\uput[ul](0,8){\footnotesize{\bleu $D$}}
\uput[d](3,0){\footnotesize{\prune $N$}}\uput[r](12,5){\footnotesize{\prune $P$}}\uput[u](9,8){\footnotesize{\prune $Q$}}\uput[l](0,3){\footnotesize{\prune $M$}}
\uput[d](1.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[r](12,6.5){\footnotesize{$x$}}\uput[u](10.5,8){\footnotesize{$x$}}\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$x$}}
\end{pspicture}
	\end{center}

On pose $AM=x$ avec $x\in \left[ 0 ; 8 \right]$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle $MAN$ ainsi que l'aire du triangle $NBP$
\item On note $f(x)$ l'aire du quadrilatère $MNPQ$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du quadrilatère $MNPQ$.
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire la valeur maximale de l'aire du quadrilatère $MNPQ$.
\end{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(18,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def \f{20*x-2*x^2}
\def \g{48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(18,14)
\psset{xunit=1.6cm, yunit=.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,Dy=8]{->}(0,0)(-.5,-4)(9,56)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,56){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.2pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{8}{\g}%
\uput[dr](8,32){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer les positions éventuelles du point $M$ sur le segment $[AD]$ pour que l'aire du quadrilatère $MNPQ$ soit supérieure à la moitié de l'aire du rectangle $ABCD$.
\item Justifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[ 0 ; 8 \right]$, $f(x)=48 \iff -2\left[ (x-5)^2 -1 \right]=0$.
\item En déduire les positions éventuelles du point $M$ sur le segment $[AD]$ pour que l'aire du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à la moitié de l'aire du rectangle $ABCD$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}