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% Mise en forme des algorithmes
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%
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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 28 mai 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 9}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 5\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}



\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero


\hypersetup{
pdftitle={Contrôle 9.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Statistiques, probabilité, trigonométrie, fonction homographique.}, 
pdfkeywords={moyenne, fréquence cumulée, second degré, équation, inéquation.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_controles/index_controles_seconde.php}
}

\begin{document}

\exo  \qquad {(4,5 \emph{points})}

 \medskip 
 
 \begin{enumerate} 
 \item 
 \begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau ci-dessous qui donne la distribution des salaires mensuels bruts des 50 salariés d'une entreprise.
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Salaires en euros & 1200 & 1400 & 1900 & 2400 & 2700 & 3500 & 4500\\ \hline
Effectifs & 10 & 12 & 10 & 8 & 5 & 3 & 2 \\ \hline
Fréquences cumulées croissantes &  &  &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}

\item Représenter la courbe des fréquences cumulées croissantes.
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(1,-1)(34,21) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{95-4*x}
\def\g{100-700/(2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(34,21) 
\psset{xunit=.05mm,yunit=10cm}  
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=1200,Dx=200,Dy=0.1,comma=true]{->}(0,0)(3400,1.05)
\uput[ul](3400,0){\footnotesize{Salaire (en euros)}} 
\uput[dr](0,1.05){\footnotesize{Fréquence cumulée croissante} } 
\end{pspicture}
\end{center}

 \end{enumerate}
 \item Calculer le montant du salaire mensuel brut moyen.
  \item Donner le montant du salaire mensuel brut médian.
  \item Calculer le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% des salariés les mieux rémunérés.
  
  (\emph{La masse salariale totale est la somme des rémunérations brutes de tous les salariés de l'entreprise.})  
  \end{enumerate}
 
 
 \bigskip
 
\exo  \qquad {(3,5 \emph{points})}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès d'un échantillon représentatif de la population d'une municipalité afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.

L'enquête révèle que 60\,\% des habitants pratiquent le tri sélectif, 55 \% des habitants sont sensibles au développement durable, et, la moitié de la population  est sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

On interroge au hasard un habitant de cette ville. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $D$ : La personne interrogée est sensible au développement durable.
\item $T$ : La personne interrogée pratique le tri sélectif.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne pratique pas le tri sélectif ?
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée est sensible au développement durable ou pratique le tri sélectif.
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne soit pas sensible au développement durable et ne pratique pas le tri sélectif.
\end{enumerate}

\pagebreak
 
\exo  \qquad {(6 \emph{points})}

\medskip

Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left( \mathrm{O}; I, J\right)$, on a tracé le polygone régulier $ABCDEFGH$.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(1.4,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.4,1.3)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{\prune{$I$}}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\prune{$J$}}}
\uput[dl](1.4,0){$x$} \uput[dl](0,1.3){$y$}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=15+45,\i=1+1}{8}{\pnode(1;\n){S\i}}}
\ncline{S1}{S2}  \ncline{S2}{S3}  \ncline{S3}{S4}  \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S6} \ncline{S6}{S7}  \ncline{S7}{S8} \ncline{S8}{S1}
\psset{labelsep=3pt}
\footnotesize{\bleu{\nput{15}{S1}{$A$}\nput{60}{S2}{$B$}\nput{105}{S3}{$C$}\nput{150}{S4}{$D$}\nput{195}{S5}{$E$}\nput{240}{S6}{$F$}
\nput{285}{S7}{$G$}\nput{330}{S8}{$H$}}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\end{pspicture}
\end{center}

Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, le point $A$ est l'image du réel $\dfrac{\pi}{12}$ et le point $B$ est l'image du réel $\dfrac{\pi}{3}$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quel est le point du cercle qui correspond au réel $\left(-\dfrac{11\pi}{12}\right)$ ?
\item Quels sont les réels de l'intervalle $\left] -\pi ; \pi\right]$ qui ont pour image le point $D$ ? le point $H$ ? 
\end{enumerate}
\item Donner les valeurs exactes des coordonnées du point $B$.
\item On donne $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\item En déduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus des réels $\dfrac{11\pi}{12}$ et $\dfrac{13\pi}{12}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo  \qquad {(6 \emph{points})}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-3 ; +\infty \right[$ par $f(x) = \dfrac{6-2x}{x+3}$. 

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-6,-2)(16,10) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{12/(x+3)-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-2)(16,10) 
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}  
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-2)(8,10) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} 
\uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$} } 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{8}{\f}
\uput[dl](-2,10){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec les axes du repère.
\item Résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant -\dfrac{3}{2}$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-3 ; +\infty \right[$ on a  $f(x)-x = \dfrac{\dfrac{49}{4}-\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2 }{x+3}$.
\item En déduire les coordonnées des points d'intersection éventuels de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec la droite $D$ d'équation $y=x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}