contrôles en seconde

contrôle du 15 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 2

A, B, C et D sont quatre points distincts de la parabole 𝒫 d'équation $y = x^{2}$ .

Les abscisses des points A, B et C sont respectivement $(- 5)$ , 6 et 4.

Calculer les coordonnées du point D pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.

Les droites (AB) et (CD) soient parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires.

Soit x l'abscisse du point D. Comme A, B, C et D sont quatre points de la parabole 𝒫, leurs coordonnées respectives sont $A (- 5; 25)$ , $B (6; 36)$ , $C (4; 16)$ et $D (x; x^{2})$
Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ : $\begin{matrix} \vec{A B} (\begin{matrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{matrix}) & Soit & \vec{A B} (\begin{matrix} 6 - (- 5) \\ 36 - 25 \end{matrix}) & d'où & \vec{A B} (\begin{matrix} 11 \\ 11 \end{matrix}) \\ \vec{C D} (\begin{matrix} x_{D} - x_{C} \\ y_{D} - y_{C} \end{matrix}) & Soit & \vec{C D} (\begin{matrix} x - 4 \\ x^{2} - 16 \end{matrix}) \end{matrix}$
Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles soit : $\begin{array}{rcl} 11 \times (x^{2} - 16) - 11 \times (x - 4) = 0 & \Leftrightarrow & 11 \times (x + 4) (x - 4) - 11 \times (x - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow & 11 \times (x - 4) \times (x + 4 - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow & 11 \times (x - 4) \times (x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 4 ou x = - 3 \end{array}$

Comme les points C et D sont distincts, l'abscisse du point D est $x = - 3$ .

Le point D a pour coordonnées $(- 3; 9)$ .

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