contrôle du 20 janvier 2017

Corrigé de l'exercice 2

1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé :

   1. Placer les points $A\left(4;5\right)$, $B\left(-4;-2\right)$ et $C\left(6;0\right)$.

   2. Tracer la droite 𝒟 d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$.

      La droite 𝒟 passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées $\left(2;1\right)$

2. Justifier que la droite 𝒟 est une médiane du triangle ABC.

   • ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-4\right)=-2$. Les coordonnées du point B vérifient l'équation de la droite 𝒟 donc le point B appartient à la droite 𝒟.

   • Les coordonnées $\left(x_J;y_J\right)$ du point J milieu du segment [AC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_J={\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_J={\displaystyle \frac{4+6}{2}}=5\\ y_J={\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_J={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

     D'où $y_J={\displaystyle \frac{1}{2}}\times x_J$. Les coordonnées du point J vérifient l'équation de la droite 𝒟 donc le point J appartient à la droite 𝒟.

   La droite 𝒟 passe le sommet B du triangle ABC et le milieu du côté opposé donc 𝒟 est la médiane issue de B.

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3. 1. Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [BC].

      Les coordonnées $\left(x_I;y_I\right)$ du point I milieu du segment [BC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_I={\displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_I={\displaystyle \frac{6-4}{2}}=1\\ y_I={\displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_I=-{\displaystyle \frac{4}{2}}=-1\end{array}$$

      Le milieu I du segment [BC] a pour coordonnées $\left(1;-1\right)$.

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   2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ 2\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite (AI).

      Calculons les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (AI) :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{c}{x}_I-x_A\\ y_I-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{c}1-4\\ -1-5\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\end{array}\right)\end{array}$$

      Comme $\overrightarrow{AI}=-3\overrightarrow{u}$ alors, le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ 2\end{array}\right)$ est aussi un vecteur directeur de la droite (AI).

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   3. Déterminer une équation de la droite (AI).

      Le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ 2\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite (AI) donc la droite (AI) a pour équation $y=2x+p$.

      Or les coordonnées du point $A\left(4;5\right)$ vérifient l'équation de la droite (AI) d'où : $$\begin{array}{ccc}2\times 4+p=5& \iff & p=-3\end{array}$$

      La droite (AI) a pour équation $y=2x-3$.

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4. 1. Résoudre le système $\{\begin{array}{l}y=2x-3\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}$.

      $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{l}y=2x-3\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2}}x=2x-3\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2}}x=2x-3\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3}{2}}x=3\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\end{array}$$

      Le système admet pour couple solution $\left(2;1\right)$.

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   2. En déduire les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.

      Le centre de gravité du triangle ABC est le point d'intersection G des deux médianes (AI) et 𝒟. Donc les coordonnées du point G sont solutions du système $\{\begin{array}{l}y=2x-3\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}$.

      Le point G a pour coordonnées $\left(2;1\right)$.

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