contrôles en seconde

contrôle du 20 mai 2017

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[ par f(x)=3x+7x+4.

    1. Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[, f(x)=3-5x+4.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[ : 3-5x+4=3(x+4)-5x+4=3x+7x+4

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[, f(x)=3-5x+4.


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      • méthode 1 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle ]-4;+[ tels que -4<a<b : -4<a<b0<a+4<b+40<1b+4<1a+4la fonction inverse est strictement décroissante sur  ]0;+[-5a+4<-5b+4<03-5a+4<3-5b+4<3

        Ainsi, si -4<a<b alors f(a)<f(b) donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-4;+[.


      • méthode 2 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle ]-4;+[ tels que -4<a<b : f(a)-f(b)=3-5a+4-3+5b+4=-5×(b+4)+5×(a+4)(a+4)×(b+4)=5a-5b(a+4)×(b+4)=5×(a-b)(a+4)×(b+4)

        Si -4<a<b alors, a+4>0, b+4>0 et a-b<0 donc f(a)-f(b)<0

        Ainsi, si -4<a<b alors f(a)<f(b) donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-4;+[.


  1. On note 𝒞f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe 𝒞f avec les axes du repère.

    • f(0)=74 donc la courbe Cf coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;74).


    • Cherchons les solutions de l'équation :f(x)=03x+7x+4=03x+7=0 et x-4x=-73

      La courbe Cf coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (-73;0)


  2. Soit g la fonction affine définie pour tout réel x par g(x)=x-3,5. On a tracé ci-dessous la courbe 𝒞f, tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le même repère.

    La droite D passe par les points de coordonnées (0;-3,5) et (3,5;0).

    Intersection de la courbe représentative de la fonctions f avec la droite D : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[ on a : g(x)-f(x)=(x-54)2-36116x+4.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[ : g(x)-f(x)=x-3,5-3x+7x+4=x×(x+4)-3,5×(x+4)-3x-7x+4=x2+4x-3,5x-14-3x-7x+4=x2-2,5x-21x+4=(x-54)2-2516-21x+4=(x-54)2-36116x+4

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[ on a : g(x)-f(x)=(x-54)2-36116x+4.


    2. Étudier le signe de g(x)-f(x). En déduire les positions relatives des courbes 𝒞f et D.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-4;+[ : g(x)-f(x)=(x-54)2-36116x+4=(x-54-194)(x-54+194)x+4=(x-6)(x+72)x+4

      Étudions le signe de g(x)-f(x) à l'aide d'un tableau :

      x

      -4-3,56+
      x+720||+|+
      x-6|0||+
      x+4+|+|+
      g(x)-f(x)+0||0||+

      • Sur chacun des intervalles ]-4;-3,5] ou [6;+[ la droite D est au dessus de la courbe Cf.
      • La droite D est au dessous de la courbe Cf sur l'intervalle [-3,5;6]
      • La droite D coupe la courbe Cf en deux points de coordonnées (-3,5;-7) et (6;2,5).


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