\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
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%%% Mise en forme des algorithmes
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 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
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 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
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%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }
\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{23 janvier 2018}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 5}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10 \\Durée 2 heures}}} %droit
%pied de page                                         
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\hypersetup{
pdftitle={contrôle \no 5}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonction carré, second degré}, 
pdfkeywords={Fonction carré, polynôme du second degré, variation, maximum, minimum, inéquation.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_controles/serveurtex/exostex.php}
}

\begin{document}
 
 \exo

 \medskip

$f$ est la fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer les images des réels : $\left(-\dfrac{5}{3}\right)$ ; $10^{-3}$ ; $2-\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.
	\item Quels sont les antécédents éventuels de 8 ?
	\item Soit $a$ un réel de l'intervalle $\left[-\dfrac{3}{4} ; \dfrac{4}{3}\right]$. Donner un encadrement de $a^2$.
	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

$A$, $B$  et $C$ sont trois points de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ d'abscisses respectives $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$, $\dfrac{9}{2}$ et $6$. 

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm,yunit=.2cm}
\begin{pspicture}(-7,-2)(8,40)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2, Dy=4]{->}(0,0)(-7,-2)(8,40)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.25}{6.25}{\f}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,40){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.5,2.25)(4.5,20.25)
%\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-3,9)(6,36)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-1.5,0)(-1.5,2.25)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](4.5,0)(4.5,20.25)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](6,0)(6,36)
\psdots[dotscale=.8,linecolor=prune](-1.5,2.25)(4.5,20.25)(6,36)
\uput[l](-1.5,2.25){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[r](4.5,20.25){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[r](6,36){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\uput[dl](-6.25,40){\bleu{$\mathcal{P}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$.
\item Calculer les coordonnées du point $D$ appartenant à la parabole $\mathcal{P}$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB= x$ et $BC= 7-x$. On note $f(x)$ l'aire du rectangle $ABCD$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-.2)(5,2.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,2)(0,2)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$D$}}} \uput[ur](5,2){\footnotesize{\bleu{$C$}}}\uput[ul](0,2){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{\prune{$x$}}}\uput[u](2.5,2){\footnotesize{\prune{$7-x$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles pour le réel $x$ ?
\item Déterminer la valeur de $x$ pour que l'aire du rectangle $ABCD$ soit maximale.

En déduire l'aire maximale du rectangle $ABCD$.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle pour $x= 3$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 12$. 
\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=2x^2-5x-12$. 

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $f(-3)$.
	\item En déduire les solutions de l'équation $f(x)=21$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $m$ un réel appartenant à l'intervalle $\left[-3 ; 5\right]$. Donner un encadrement de $f(m)$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x)=2 \times\left[{\left(x-\dfrac{5}{4}\right)}^2-\dfrac{121}{16}\right]$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip

 \exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=\dfrac{3}{4}x+1$ et le point $A$ de coordonnées $(4 ; -1)$. $AH$ est la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(6,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def \f{3*x/4+1}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-2)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](1.6,2.2)(4,-1)
\psdot[linecolor=bleu](4,-1)
\uput[dr](4,4){\bleu{$\mathcal{D}$}}\uput[dr](4,-1){\bleu{$A$}}\uput[ul](1.6,2.2){\bleu{$H$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $M\left( x ; \dfrac{3}{4}x+1\right)$ un point de la droite $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\vv{AM}$.
\item Montrer que ${AM}^2=\dfrac{25}{16} x^2 -5 x + 20$.
\end{enumerate}
\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=\dfrac{25}{16} x^2 -5 x + 20$.
\item En déduire la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.
\item Calculer les coordonnées du point $H$.
\end{enumerate}

\end{document}