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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\DecimalMathComma
\DeclareMathOperator{\e}{\mathrm{e}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{26 mai 2018}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 9}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10 \\Durée 1 heure}}} %droit
%pied de page                                         
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

\hypersetup{
pdftitle={contrôle \no 9.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Trigonométrie, fonction homographique}, 
pdfkeywords={trigonométrie, fonction affine, fonction homographique, équation, inéquation.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_controles/serveurtex/exostex.php}
}

\begin{document}
\exo

\medskip

Simplifier chacune des expressions suivantes, où $x$ est un réel :

\begin{enumerate}
	\item $A =\sin(-x)+\cos(-x)+\sin{\left(\pi - x\right)}+\cos{\left(\pi + x\right)}$.
	\item $B =\left( \cos x + \sin x\right)^2+\left( \cos(-x) + \sin(-x)\right)^2$.
	\item $C =\cos^4{x} - \sin^4{x} -2\cos^2{x}$.	
\end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo 

\medskip

\begin{minipage}{11cm}
Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left( \mathrm{O}; I, J\right)$, on a tracé le polygone régulier $ABCDEFGH$.
\begin{enumerate}
	 \item Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique le point $A$ est l'image du réel $\dfrac{\pi}{6}$. 
	 
	 À quels réels de l'intervalle $]-\pi ; \pi ]$  sont associés les sommets de ce polygone ?	
	\item  Donner les coordonnées des points $A$ et $C$.
	\item  Quel est le point de coordonnées $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} ; -\dfrac{1}{2} \right)$ ?
	\item  Les points $B$ et $F$ sont-ils symétriques par rapport à l'origine  $\mathrm{O}$ du repère $\left( \mathrm{O}; I, J\right)$ ?
	\item On donne $\cos{\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)}= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\sin{\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)}$. En déduire les coordonnées du point $B$.
\item Calculer les coordonnées du point $F$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{5.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.4,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](1.4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=30+45,\i=1+1}{8}{\pnode(1;\n){S\i}}}
\ncline{S1}{S2}  \ncline{S2}{S3}  \ncline{S3}{S4}  \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S6}\ncline{S6}{S7} \ncline{S7}{S8}\ncline{S8}{S1} 
\psset{labelsep=4pt}
\footnotesize{\bleu{\nput{30}{S1}{$A$}\nput[]{75}{S2}{$B$}\nput{120}{S3}{$C$}\nput{165}{S4}{$D$}\nput{210}{S5}{$E$}\nput{255}{S6}{$F$}\nput{300}{S7}{$G$}\nput{345}{S8}{$H$}}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1.01} 
\end{pspicture}
	\end{flushright}
	\end{minipage}

 \bigskip
  
 \exo

\medskip

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left] -2 ; + \infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2-4x}{x+2}$. 

La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2-4*x)/(x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(10,8)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(5,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.1666}{5}{\f}
\uput[ul](5,-4){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x)=-3$.
\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1,5) =7$ et $g(1) =2$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\item Déterminer l'expression de de $g(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left] -2 ; + \infty\right[$ on a  $f(x) - g(x)=\dfrac{2(x-3)(x+1)}{x+2}$.
\item Étudier le signe de $f(x) - g(x)$. En déduire les positions relatives de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}