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%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
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\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
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%%%% fin macro %%%%

   
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\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
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#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

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\fbox{#1}}}

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\hypersetup{
pdftitle={Mathématique seconde.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={cours de math en seconde 3 Janson de Sailly (2017-2018).}, 
pdfkeywords={fonctions, fonction carré, fonction inverse, second degré, fonction homographique, vecteurs, équations de droites, statistiques, probabilités, trigonométrie, géométrie dans l'espace .},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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}
\begin{document}
\frontmatter
\begin{titlepage}
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\pagecolor{Fondpage}

\begin{flushright}

{\Huge{\white{\textsf{\textbf{\scalefont{3}\selectfont 2\up{de}}}}}}
\end{flushright}

\vspace{\stretch{2}}
\begin{center}

{\Huge{\white{\textsf{\textbf{\scalefont{2.5}\selectfont MATHÉMATIQUES}}}}}

\vspace{\stretch{3}}


\hrulefill

\vspace{1em}

Le polycopié  regroupe les documents distribués aux élèves de 2\up{de} 10 en cours d'année.

\bigskip

Janson de Sailly (année 2017-2018)
\end{center}

\hrulefill

\vspace{1em}

\begin{flushright}
\textsc{\textsf{A. YALLOUZ}}
\end{flushright}

\end{titlepage}

\pagecolor{white}

\dominitoc[n]

\textsf{\tableofcontents}

\mainmatter
\chapter{CALCUL NUMÉRIQUE}

\textsf{\minitoc}

\newpage

\section{Ensembles de nombres}

\subsection{Nombres entiers naturels $\N$}

\subsubsection{définition}

\cadreR{L'ensemble des  entiers naturels, noté $\N=\{0;1;2;3;4;\dots\}$. C'est l'ensemble des nombres positifs  qui permettent de compter une collection d'objets.

On note $\N^*$ ou $\N-\{0\}$ l'ensemble des entiers naturels non nuls.
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}


\[245 \in \N ;\qquad -5 \notin \N ;\qquad  2^5 \in \N ;\qquad \dfrac{3}{5} \notin\N; \qquad 0 \in\N; \qquad 0 \notin\N^*\] 
La notation \og $x\in E$\fg{} signifie que l'élément $x$ \emph{appartient} à l'ensemble $E$.

 La notation \og $x\notin E$\fg{} signifie que l'élément $x$ \emph{n'appartient pas} à l'ensemble $E$.

\subsubsection{notions d'arithmétique}

Soient  $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels.

\begin{itemize}
\item on dit que $b$ \emph{divise} $a$ lorsqu'il existe un entier naturel $q$ tel que $a=b\times q$. (on dit encore que $b$ est un \emph{diviseur} de $a$ ou que $a$ est un \emph{multiple} de $b$)
\item Un entier naturel $p\geqslant 2$ est un \emph{nombre premier} lorsque ses seuls diviseurs sont $1$ et $p$.
\end{itemize}

\subsection{Nombres entiers relatifs $\Z$}
\cadreR{L'ensemble des  nombres entiers relatifs  est $\Z=\{\dots;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.

En particulier, l'ensemble $\N$ est \emph{contenu} (ou inclus) dans $\Z$, ce que l'on note \og $\N\subset \Z$\fg. 
} 

\medskip 
La proposition \og Si $n \in \N $ alors $n\in\Z$ et $-n \in \Z $ \fg{} est vraie. 

Par contre, la réciproque \og Si $n\in\Z$ et $-n\in\Z$  alors  $n\in\N$ \fg{} est fausse. (Il suffit de choisir $n=-1$)

\subsection{Nombres décimaux $\D$}
\cadreR{
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme $\dfrac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel. 

Ce sont les nombres dont l'écriture décimale n'a qu'un nombre \emph{fini} de chiffres après la virgule.

L'ensemble des \emph{nombres décimaux} est noté  $\D$. 

} 
\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

$-13 \in \D$ ; \hfill  $0,3333 \in \D$ ; \hfill $\dfrac{1}{3} \notin \D$ ; \hfill $\dfrac{3}{4} \in \D$; \hfill  $3,1416 \in \D$ ; \hfill $\pi \notin \D$.

\subsection{Nombres rationnels $\Q$}
\cadreR{
L'ensemble des  nombres rationnels  est $\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \text{ où } a\in\Z,~b\in\Z^*\right\}$.

C'est l'ensemble des nombres qui s'écrivent comme le quotient d'un entier par un entier non nul.
}
\medskip
\begin{itemize}
\item La fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $b \ne 0$ est dite \emph{irréductible} lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs (autres que $1$ ou $-1$).
\item La partie décimale d'un nombre rationnel est infinie et périodique à partir d'un certain rang.
\item La division par 0 est \textbf{interdite} : l'écriture  $\dfrac{a}{0}$ n'a aucun sens.
\end{itemize}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

$-13 \in \Q$ ; \hfill  $0,5 \in \Q$ ; \hfill $-\dfrac{1}{3} \in \Q$ ; \hfill $\dfrac{22}{7} \in \Q$; \hfill  $\sqrt{2} \notin \Q$ ; \hfill $\pi \notin \Q$.

\subsection{Nombres réels $\R$}
Dès l'antiquité, on avait découvert l'insuffisance des nombres rationnels. 

Par exemple, il n'existe pas de rationnel $x$ tel que $x^2 =2$ on dit que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.

\medskip

\cadreR{
L'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels est l'ensemble des nombres réels noté $\R$}

\medskip

 Chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée. Réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel, appelé \emph{abscisse} de ce point.
 
 \subsubsection{inclusions}
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{4.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 On a : $\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R$. &  \begin{pspicture}(0,-.5)(10,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,framearc=0.3, linecolor=prune}
\psframe(1.2,1.2)(4,2.5)
\uput*[r](2,2.5){\prune {$\N$}}
\uput[u](2,1.5){\bleu {$0$}}
\uput[d](2.9,1.9){\bleu {$2^3$}}
\uput[l](3.8,2){\bleu {$15$}}
\psframe(.9,.9)(5.5,3.5)
\uput*[r](2,3.5){\prune {$\Z$}}
\uput[r](2.3,2.9){\bleu {$-1$}}
\uput[d](4.5,3.2){\bleu {$-12$}}
\uput[d](4.6,2){\bleu {$-3^4$}}
\psframe(.6,.6)(7,4.5)
\uput*[r](2,4.5){\prune {$\D$}}
\uput[r](2,4){\bleu {$-0,475$}}
\uput[d](6.2,4.3){\bleu {$10^{-3}$}}
\uput[d](6.5,2.5){\bleu {$-\dfrac{3}{4}$}}
\psframe(.3,.3)(8.5,5.5)
\uput*[r](2,5.5){\prune {$\Q$}}
\uput[d](7.6,5.3){\bleu {$\dfrac{22}{7}$}}
\uput[d](7.4,2){\bleu {$-\dfrac{4}{3}$}}
\psframe[linewidth=1.25pt,framearc=0.3, linecolor=bleu](0,0)(10,6.5)
\uput[d](3.7,6.5){\bleu {$\sqrt{2}$}}
\uput[u](8.2,5.7){\bleu {$\cos 30^{\degres} $}}
\uput[d](9.2,5.2){\bleu {$\pi$}}
\uput[dl](9.7,2){\bleu {$-\sqrt{\dfrac{3}{4}}$}}
\uput*[r](2,6.5){\bleu {$\R$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
 
%\section{expressions algébriques}

\section{Développer, factoriser}

\subsection{Définition}

\cadreR{
\begin{itemize}
\item Développer un produit, c'est écrire ce produit sous la forme d'une somme.
\item Factoriser une somme, c'est écrire cette somme sous la forme d'un produit.
\end{itemize}
}
\subsection{Propriétés}

\subsubsection{Distributivité de la multiplication sur l'addition}
\cadreR{Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $k$ on a :\vspace{1.2em}

 \[\rnode{A}{k\left( a+b\right)} =  \rnode{B}{ka+kb}\psset{nodesep=3pt,linewidth=0.75pt}
\ncbar[angle=90]{*->}{A}{B} \naput{\text{\footnotesize{Développer}}}\ncbar[nodesep=3pt,angle=-90]{*->}{B}{A} \naput{\text{\footnotesize{Factoriser}}}\]\vspace{.8em}
}
\subsubsection{Double distributivité}
\cadreR{Pour tous nombres réels $a$, $b$ , $c$ et $d$ on a : \[\left(a + b \right) \left( c + d \right) = ac + ad +bc + bd\]
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner
\[ \begin{split} 
\left(\psDefBoxNodes{A1}{2x} + \psDefBoxNodes{A2}{3} \right) \left(\psDefBoxNodes{B1}{5}-\psDefBoxNodes{B2}{4x} \right) & =10x -8 x^2 +15 -12x\\
& = -8 x^2-2x+15\\
 	\end{split}
 	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{nodesepB=3pt,linecolor=bleu}
 	\pcarc[arcangle=45]{->}(A1:tC)(B1:tC)\pcarc[arcangle=60]{->}(A1:tC)(B2:tC)
 	\psset{linecolor=prune}
 \pcarc[arcangle=-45]{->}(A2:bC)(B1:br)\pcarc[arcangle=-60]{->}(A2:bC)(B2:bC)
 	\]
\item Factoriser
\[6x^2-8x=2x\left(3x-4\right)\]
\end{enumerate}

\subsubsection{Identités remarquables}

\cadreR{Pour tous nombres réels $a$ et $b$  on a :
\bigskip \[\begin{array}{l}
\hskip .8cm \Rnode{A}{}\hskip 2cm \Rnode{B}{}\\
\left(a + b \right)^2 =  a^2 + 2ab +b^2\\
\left(a - b \right)^2 =a^2 - 2ab +b^2 \\
\left(a + b \right)\left( a- b\right) = a^2 - b^2\\
\hskip .8cm \rnode{C}{}\hskip 2cm \rnode{D}{}
\end{array}
\nccurve[angleA=45,angleB=135,YnodesepA=-6pt,YnodesepB=-6pt]{->}{A}{B} \naput{\text{\footnotesize{Développer}}}\nccurve[angleA=-45,angleB=-135,YnodesepA=-8pt,YnodesepB=-8pt]{<-}{C}{D} \nbput{\text{\footnotesize{Factoriser}}}
\]
\medskip
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer
\begin{itemize}
\item[] \[\begin{split} \left(2x+\dfrac{3}{2}\right)^2 & =(2x)^2+2\times(2x)\times\dfrac{3}{2} +\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\\ &=4x^2+6x+\dfrac{9}{4}\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}\left(3x-2\right)^2 &=(3x)^2-2\times(3x)\times 2 +2^2\\ &=9x^2-12x+4\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}\left(5x+4\right)\left(5x-4\right)&=(5x)^2-4^2\\&=25x^2-16\end{split}\]
\end{itemize}

\item Factoriser
\begin{itemize}
\item[] \[\begin{split} 4x^2+12x+9 & =(2x)^2+2\times(2x)\times 3 +3^2\\ &=\left(2x+3\right)^2\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}4x^2-2x+\dfrac{1}{4} &=(2x)^2-2\times(2x)\times \dfrac{1}{2} +\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\ &=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}16x^2-121&=(4x)^2-11^2\\&=\left(4x+11\right)\left(4x-11\right)\end{split}\]
\end{itemize}
\end{enumerate}

\section{Intervalles et inéquations}

\subsection{Intervalles}

Soient $a<b$ deux nombres réels :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x \leqslant b$ est l'intervalle $[a;b]$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{[-]}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\prune $[a;b]$}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x < b$ est l'intervalle $]a;b[$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{]-[}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\small{\prune $]a;b[$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x < b$ est l'intervalle $[a;b[$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{[-[}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\small{\prune $[a;b[$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x < b$ est l'intervalle $]a;b]$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{]-]}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\small{\prune $]a;b]$}}
\end{pspicture}\\
 L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x $ est l'intervalle $[a;+\infty [$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{[-}(-1,0)(2.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\rput(0.75,0.3){\small{\prune $[a;+\infty [$}}
\end{pspicture}\\
 L'ensemble des réels $x$ tels que $a < x $ est l'intervalle $]a;+\infty [$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{]-}(-1,0)(2.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\rput(0.75,0.3){\small{\prune $]a;+\infty [$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $ x \leqslant b$ est l'intervalle $]-\infty;b]$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
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\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(-.5,0.3){\small{\prune  $]-\infty;b]$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $ x < b$ est l'intervalle $]-\infty;b[$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
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\rput(-.5,0.3){\small{\prune  $]-\infty;b[$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

Écrire sous forme d'intervalle les ensembles de nombres réels suivants :

\begin{enumerate}
\item $ x \leqslant \dfrac{3}{4}$.

L'ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels $x$ inférieurs ou égaux à $\dfrac{3}{4}$. Il s'agit de l'intervalle  $\left]-\infty;\dfrac{3}{4}\right]$.

\item $-3 < x \leqslant \sqrt{2}$.

L'ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels $x$ strictement supérieurs à $-3$ et inférieurs ou égaux à $\sqrt{2}$. Il s'agit de l'intervalle  $\left]-3;\sqrt{2}\right]$.
\end{enumerate}


\subsection{Intersection et réunion d'intervalles}

Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$.
\begin{itemize}
\item \textbf{L'intersection} des intervalles $I$ et $J$, notée $I \cap J$  est l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle $I$ \textbf{et} à l'intervalle $J$ :\[\text{Si }x\in I \text{ et }x \in J\text{, alors }x \in I \cap J \qquad ( \cap\text{ se lit \emph{inter}})\]
\item \textbf{La réunion} des intervalles $I$ et $J$, notée $I \cup J$  est l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle $I$ \textbf{ou} à l'intervalle $J$ :\[\text{Si }x\in I \text{ ou }x \in J\text{, alors }x \in I \cup J \qquad ( \cup\text{ se lit \emph{union}})\]
\end{itemize}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Soient les intervalles $I=\left] -\infty ; 3 \right]$ et $J=\left]-3 ; 5\right]$.
\begin{enumerate}
\item L'intersection des deux intervalles $I \cap J$ est l'ensemble des réels $x$ tels que : $ x \leqslant 3 $ et $-3 < x \leqslant 5$ soit $I \cap J = \left] -3 ; 3 \right]$.
\item La réunion des deux intervalles $I \cup J$ est l'ensemble des réels $x$ tels que : $ x \leqslant 3 $ ou $-3 < x \leqslant 5$ soit $I \cup J = \left] -\infty ; 5 \right]$.	
\end{enumerate}	

\item L'ensemble des réels non nuls $\R^*$ est l'ensemble des réels $x \in  \left] -\infty ; 0 \right[ \cup \left] 0 ;+\infty \right[$.
\end{enumerate}	

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 
 
\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la différence entre le carré de 7 et la somme des sept premiers nombres impairs ?
\item Les nombres 152, 224 et 376 sont-ils divisibles par 8 ?

La conjecture \og Si la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par huit alors ce nombre est divisible par huit \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
\item $a$ et $b$ sont deux nombres premiers tels que $a<b$  et $a+b$ est un nombre premier. Déterminer $a$.
\item Quel est le plus petit nombre de cubes que contient une boîte de dimensions 63 cm, 45 et 18 cm ? 
\item La somme de trois entiers consécutifs est-elle divisible par 3 ?
\item Le produit de trois entiers consécutifs est-il divisible par 8 ?
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel, développer le produit $\left( n+1 \right) \left( n+2 \right)$.

En déduire une factorisation de  $E(n)=(n^2 +3n+1)^2-1$
	\item Lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres entiers consécutifs, obtient-on un carré parfait ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Avant d'effectuer sa tournée un représentant fait le plein d'essence. Au cours de ses déplacements, il rajoute dans son réservoir une première fois 24,7 litres d'essence et une deuxième fois 18,9 litres. 

À son retour, il constate qu'il manque 11,5 litres pour refaire le plein du réservoir d'une capacité de 60 litres.       

Sachant que la consommation moyenne du véhicule est de 5,8 litres pour 100 kilomètres, quelle est la distance parcourue par ce représentant au cours de sa tournée ?

\bigskip

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Donner trois nombres rationnels compris entre $\dfrac{6}{11}$ et $\dfrac{7}{11}$	
	\item Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{6}{7}$  pour obtenir l'inverse de $\dfrac{6}{7}$ ?	
\end{enumerate} 

  \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 

Soit $E=2x^3-x^2-5x-1$.

Calculer $E$ pour $x=-1$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$ ou $x=2$. Peut-on conclure que pour tout réel $x$, $E =1$  ? 

 \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 
 
 Les nombres de Mersenne sont les nombres entiers de la forme $M_n = 2^n -1$ où $n$ est un entier naturel non nul.
 \begin{enumerate}
 \item Calculer les nombres de Mersenne $M_3$ et $M_4$.
 \item La propriété \og  si $2^n -1$ est un nombre premier, alors $n$ est premier \fg{} a été démontrée.
 
 À l'aide d'un contre exemple, montrer que la réciproque de cette propriété est fausse.
 %(Par exemple, en 2016 on a vérifié  que le nombre de Mersenne $M_{\np{74 207 281}}=2^{\np{74 207 281}}-1$ est premier)
 \end{enumerate}

  \bigskip 
 
  \exo 

\medskip 

\textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
 On donne $a=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{\pi}{3}}$  et  $b=1-\dfrac{1}{2+\dfrac{\pi}{3}}$.
 
 \begin{enumerate}
 \item À l'aide de la calculatrice :
 \begin{enumerate}
 \item donner les troncatures d'ordre 3 des réels $a$ et $b$ ;
 \item donner les arrondis à $10^{-3}$ de $a$ et de $b$, en déduire le produit des deux valeurs approchées.
 \end{enumerate}
 \item Calculer la valeur exacte du produit des réels $a$ et $b$. Commenter.
 \end{enumerate}
 
\medskip 

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On donne $A=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{3}}$  et  $B=1-\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{3}}$ où $x$ est un réel strictement positif.

Le réel $A$ est-il l'inverse du réel $B$ ?

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Les égalités suivantes sont elles vraies ou fausses ?

\begin{enumerate}
	\item $(x-2)^2\left(x^2+2x+2\right)=x^4-2x^3-2x^2+6$
		\item $(x+2)\left(x^2-2x-1\right)=x^3-4x-2$
		\item $(x-3)\left(x^2+2x+1\right)=x^3-5x^2+7x-3$
\end{enumerate}
 
\bigskip 

\exo 

 \medskip 

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A= 15x-\left(2x+3\right)^2$ ; \hfill $B= (x+2)(x-2)-\left(x+1\right)^2$ ; \hfill $C= \left(2-a\right)^2-\left(2+a\right)^2$ 

 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip 

Factoriser les expressions suivantes :

$A= 49x^2-14x+1$ ; \hfill $B= \left(x+3\right)^2-16$ ; \hfill $C= x^2-25-(x+5)(1-2x)$

   \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 
 
 Montrer que, si $a^2 - b^2$  est premier, alors les entiers $a$ et $b$ sont consécutifs.
 
 \bigskip
 
\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x=\dfrac{a+b}{2}$ et $y=\dfrac{a-b}{2}$, exprimer $x^2 -y^2$ en fonction de $a$ et $b$.
\item $x+y=a$ et $xy=b$. Exprimer $\left(x-y\right)^2$ en fonction de $a$ et $b$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

 Compléter par l'un des symboles : $\in$, $\notin$.
 
 \medskip
 
$\pi~\dots~ \left[ \dfrac{333}{106}; \dfrac{22}{7}\right]$ ;\hfill $-\dfrac{2}{3}~\dots~ \left]-\dfrac {1} {2}; \dfrac {1}{ 2}\right]$;\hfill
$0,2~\dots~\left]\dfrac{1}{5}; +\infty\right[$; \hfill  $\sqrt 2~\dots~\left[ \dfrac{7}{5} ; 1,414 \right[$

\bigskip

\exo

\medskip

 \begin{enumerate}
 \item Dans chacun des cas suivants, écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres réels vérifiant la condition donnée.

a) \; $x \geqslant -\dfrac{3}{7}$ ;\hfill b) \; $-\dfrac{2}{3}< x $;\hfill c) \; $\sqrt{2} < x \leqslant 3$ ; \hfill  d) \;$- \dfrac{3}{4} \geqslant x > -2$

\item Traduire chacune des informations ci-dessous par une ou des inégalités.

a) \; $x \in \left] - \infty ; -\dfrac{5}{6} \right]$ ;\hfill b) \; $x\in \left] -2; + \infty \right[$;\hfill c) \; $x\in \left] -\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right[$  ; \hfill  d) \; $x\in \left] -10^{-1}; \dfrac{1}{10^{-2}}\right]$
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $S_1$ des solutions de l'inéquation $\displaystyle 2x-3 > 0 $
\item Déterminer l'ensemble $S_2$ des solutions de l'inéquation $\displaystyle 1-2x \geqslant 0$.
\item Déterminer l'ensemble $S_3$ des solutions de l'inéquation $\displaystyle 2x+3 \leqslant 5x +1$.
\end{enumerate} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{FONCTIONS GÉNÉRALITÉS}

\minitoc

\newpage

\section{Notion de fonction}

\subsection{Fonction}

\cadreR{Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels, c'est associer à chaque nombre $x\in \mathcal{D}$ un \textbf{unique} nombre réel noté $f(x)$. On note :  \[\begin{split} f  \colon & \mathcal{D} \to \R  \\  & 
x \mapsto f(x)\end{split}\]
}

\medskip

 \begin{itemize}
 \item $\mathcal{D}$  est l'ensemble de définition de la fonction $f$. $x$ est la variable.
\item Le nombre $f(x)$ est l'image du réel $x$ par la fonction $f$.
\item Quand on sait que $f(x)=y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
 \end{itemize}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$ par $f(x) = \sqrt{x}$.

\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition de la fonction $f$ est l'intervalle $[0 ;+ \infty [$.
 \item L'image de 9 par la fonction $f$ est $f(9) =\sqrt{9} = 3$.
 \item 9 est l'antécédent de 3 par la fonction $f$.
 \end{itemize}

\subsection{Courbe représentative}

\cadreR{Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels.

La courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère, est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $\begin{cases}
x\in \mathcal{D} \\
y=f(x)
\end{cases} $.
}
\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1*(x+5)*(x+2)*(3.25-x)*EXP(x/6)-1}
\def\g{.1*(x+5)*(x+1.5)*(3.25-x)*EXP(x/5)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,3.7)(0,3.7)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-1)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-.8,0)(-.8,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.8}{3.6}{\g}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,-1)(2.5,3.7)(-.8,1)
\uput[d](2.5,0){\small{\prune{$x$}}} \uput[l](0,3.7){\small{\prune{$y=f(x)$}}}
\uput[u](-2,0){\small{\prune{$a$}}} \uput[d](-.8,0){\small{\prune{$b$}}}
\uput[ur](2.5,3.7){\small{\prune{$M(x;y)$}}}
\uput[ul](4.2,-3){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}

$C_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}=] - \infty; a] \cup [b; +\infty[$
\end{center}



\subsubsection{résolution graphique d'équation et d'inéquation}

Soient $C_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ et $m$ un réel.

\begin{itemize}
\item Les solutions de l'équation $f(x)= m$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $m$.
\item Les solutions de l'inéquation $f(x) < m$ (respectivement $f(x) > m$ ) sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est inférieure à $m$ ( respectivement supérieure à $m$ )
\end{itemize}
\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1*(x+5)*(x+2)*(x-3)+2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](5,0){\small{$x$}} \uput[dl](0,5){\small{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-5,0)(-5,2)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,0)(-2,2)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](3,0)(3,2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-7,2)(5,2)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{3.5}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](-5,2)(-2,2)(3,2)
\uput[ul](0,2){\small{\prune{$m$}}}
\uput[d](-5,0){\small{\prune{$x_1$}}} \uput[d](-2,0){\small{\prune{$x_2$}}}\uput[d](3,0){\small{\prune{$x_3$}}}
\uput[dl](4.2,5){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = m$ est $\mathcal{S} = \left\lbrace x_1 ; x_2; x_3\right\rbrace$

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant m$ est $\mathcal{S} = \left] -\infty ; x_1\right] \cup   \left[ x_2 ; x_3 \right]$


\section{Variations}

\subsubsection{Fonction croissante}

\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est  croissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de $I$.

\begin{center}
Si $x_1 \leqslant x_2$ alors $f\left(x_1\right) \leqslant f\left( x_2\right)$
\end{center}
}

\medskip

On dit que la fonction $f$ conserve l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans le même ordre.

\subsubsection{Fonction décroissante}
\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de $I$.

\begin{center}
Si $x_1 \leqslant x_2$ alors $f\left(x_1\right) \geqslant f\left( x_2\right)$
\end{center}
}
\medskip

On dit que la fonction $f$ change l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans un ordre contraire.

\subsubsection{Fonction constante}

\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est constante sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$.

\begin{center}
$f(x)=k$ où $k$ est un réel.
\end{center}
}
\subsubsection{Tableau de variation}

\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.0022*(x+1)^3*(4*x^2+13*x-71)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](5,0){\small{$x$}} \uput[dl](0,6){\small{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](2,0)(2,-1.72)(0,-1.72)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-5,0)(-5,5.07)(0,5.07)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.37}{3.6}{\f}
\uput[l](0,-1.72){\small{\prune{$m=f(b)$}}}
\uput[r](0,5){\small{\prune{$M=f(a)$}}}
\uput[d](-5,0){\small{\prune{$a$}}} \uput[u](2,0){\small{\prune{$b$}}}
\uput[dr](3.7,6){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}
\end{center}

On résume les variations de la fonction $f$ à l'aide du tableau de variation suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,2.4)
\psframe[linewidth=0.6pt](15,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.6)(15,1.6)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,2.4) 
 \rput(1,2){$x$} \rput(2.5,2){$- \infty$} \rput(6.5,2){$a$}  \rput(10.5,2){$b$}  \rput(14.5,2){$+\infty$}
\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{}} \rput(6.5,1.3){\rnode{B}{$M$}} \rput(10.5,.3){\rnode{C}{$m$}} \rput(14.5,1.3){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
 \end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Extremum}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Dire que la fonction  $f$ admet un maximum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\leqslant f(a)$.
\item Dire que la fonction  $f$ admet un minimum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\geqslant f(a)$.
\end{itemize}
}

\medskip

Dans l'exemple précédent : $M$ est le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $] -\infty ; b]$ atteint pour $x= a$ ;

$m$ est le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ a ; + \infty [$ atteint pour $x= b$.

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 
 

\exo
 
\medskip

\emph{\footnotesize{\og Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première cause de mortalité accidentelle par intoxication en France.\fg}}

\medskip
 
\textsf{\textbf{\textsc{\footnotesize{document 1}}}}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.8\linewidth}
\begin{center}
\textsf{\textbf{\footnotesize{Symptômes et effets sur la santé du monoxyde de carbone}}}

\scalebox{.5}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(11.5,10)
\newrgbcolor{violetF}{0.29 0 .51}
\newrgbcolor{violetC}{0.67 0.58 1}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=lightgray,gradend=darkgray,gradmidpoint=0](2.6,-.5)(2.9,-.3)(2.9,8)(2.9,8)(3,8)(3.3,8.2)(2.3,9.7)(2,9.5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=violetC,gradend=violetF,gradmidpoint=0,gradlines=1000](1.4,-.5)(2.6,-.5)(2.6,8)(3,8)(2,9.5)(1,8)(1.4,8)(1.4,-.5)
\rput{90}(0.3,4.5){\textsf {\textbf{Niveaux croissants de CO}}}
\rput{90}(.8,4.5){\textsf {\textbf{dans l'air ambiant (en ppm)}}}
\psset{yunit=1.25cm}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](2.9,\n)(3.7,\n)}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.7,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.3,\n)(2.6,\n)}
\multido{\n=3+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.65,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.35,\n)(2.6,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,6)(1.6,6)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,6)(2.6,6)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.5,7)(1.6,7)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,7)(2.5,7)
\rput(2,0){\textbf{\white{10}}}\rput(2,1){\textbf{\white{20}}}\rput(2,2){\textbf{\white{40}}}\rput(2,3){\textbf{\white{100}}}\rput(2,4){\textbf{\white{200}}}\rput(2,5){\textbf{\white{400}}}\rput(2,6){\textbf{\white{1000}}}\rput(2,7){\textbf{\white{2000}}}
\large{
\uput[r](3.8,0){Pas de symptôme}
\uput[r](3.8,1.3){\violetF{Troubles du rythme cardiaque ressentis}}
\uput[r](3.8,1){\violetF{chez les personnes les plus sensibles,}}
\uput[r](3.8,.7){\violetF{souffrant de coronaropathie}}
\uput[r](3.8,2){Céphalées et nausées chez les enfants}
\uput[r](3.8,3.15){\violetF{Céphalées occasionnelles,}}
\uput[r](3.8,2.85){\violetF{souffle court lors d'un exercice}}
\uput[r](3.8,4.15){Céphalées, vertiges, baisse de l'acuité visuelle,}
\uput[r](3.8,3.85){irritabilité chez l'adulte et syncope chez l'enfant}
\uput[r](3.8,5.15){\violetF{Céphalées, confusion, évanouissements}}
\uput[r](3.8,4.85){\violetF{chez l'adulte}}
\uput[r](3.8,6){Coma, convulsions}
\uput[r](3.8,7){\violetF{Décès rapide}}
}
\end{pspicture}
}

\scriptsize{Source : Commission européenne 2014.}
\end{center}
\end{minipage}
}
\end{center}
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{document 2}}}}

\medskip
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.8\linewidth}
{\footnotesize{La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel la concentration de monoxyde de carbone en parties par million (ppm). Un tel détecteur produit un signal d'alarme respectant les modalités fixées par la norme européenne EN 50 291 ci-dessous.

Il déclenche un signal d'alarme :

\begin{itemize}
\item si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins 10 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
\end{itemize}
}
}
\end{minipage}
}
\end{center}


\bigskip

Un laboratoire d'essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte en simulant un accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone dans une pièce. Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé en minutes. 

Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent par la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(16,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.2+10*x/3*EXP(-x/60)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(16,9)
\psset{xunit=0.03cm,yunit=0.09cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=30,Dy=10]{->}(0,0)(-15,-5)(480,90)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{480}{\f}
\uput[dl](480,-5){\footnotesize{\sf Temps en minutes}}
\uput[dr](0,90){\footnotesize{\sf Concentration de monoxyde de carbone en ppm}}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique et des documents précédents :

\begin{enumerate}
\item Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d'alarme.
\item Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risquerait-elle
de présenter des symptômes ? Si oui, lesquels ?
\end{enumerate}


\bigskip

\exo

$f$  et $g$ sont deux fonctions

\begin{enumerate}
	\item Traduire chacune des phrases suivantes à l'aide d'égalités :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\extracolsep{\fill}}X@{}}
a)\: L'image de $-3$  par la fonction $f$ est 1. & b)\: L'antécédent de $\sqrt{3}$   par la fonction $f$ est 2.\\
c)\: $- 5$ a pour image 2 par la fonction $g$. & d)\: 3 a pour antécédents $-2$  et 2 par la fonction $g$.\\
	\end{tabularx}
	
	\item 	On sait que $f(-2)=1$ et $g(1)=-2$ 	
\begin{enumerate}
	\item Traduire chacune des deux égalités par une phrase contenant le mot \og image \fg{}.
	\item Traduire chacune des deux égalités par une phrase contenant le mot \og antécédent\fg{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

La courbe $C_f$  tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
 
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-18,-11)(14,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.2*(4-x)*(x+2.5)*(20/11)^(x/3)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-18,-11)(14,4)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.8mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt, Dy=2]{->}(0,0)(-9,-11)(7,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){$x$}
\uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dr](-9,-3){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-9}{5.98}{\f}
\end{pspicture}
\end{center} 

Par lecture graphique :	
\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'image de $5$ par la fonction $f$ ? 
	\item Quels sont les antécédents de 2 ?
	\item Résoudre $f(x)=0$.
	\item Résoudre $f(x)>2$.	
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-3;3]$. On sait que :
\begin{itemize}
	\item les images de $-3$ ; 0 et 3 par la fonction $f$ sont respectivement 5 ; 0,5 et $-4$
	\item 0 a exactement deux antécédents $-1$ et 2.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
\begin{enumerate}
	\item L'équation $f(x)=0$  admet exactement deux solutions.
	\item Le point $M(-1;0)$  appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des ordonnées en deux points.
\end{enumerate}
	\item Parmi les quatre courbes représentées ci-dessous, quelles sont celles qui peuvent représenter la fonction $f$ ? (\emph{Justifier})

\medskip
\psset{unit=.28cm}
\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_1$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.5+.75*x-.25*x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{3}{\f}
\end{pspicture}	\hfill \psset{unit=.28cm}
\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_2$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(x+1)*(17*x^2+78*x-54)/54}
\def\h{(2-x)*(5*x^2+39*x+54)/54}
\def\g{(2-x)*(x-.5)*(x+1)/2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psset{algebraic=true,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=150]{-3}{0}{\f}
\rput{90}{\psplot[plotpoints=150]{-1}{2}{\g}}
\psplot[plotpoints=150]{0}{3}{\h}
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=.28cm}
\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_3$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{.5*(x+1)*(x-2)}
\def\g{(.5*x-.25)*(x+1)*(x-2)}
\def\h{(x+1)*(2-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psset{algebraic=true,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=100]{-3}{-1}{\f}
\psplot[plotpoints=150]{-1}{2}{\g}
\psplot[plotpoints=50]{2}{3}{\h}
\end{pspicture} \hfill	\psset{unit=.28cm}\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_4$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](-3,5)(-2,5)(-1,0)(1,1)(2,0)(3,-4)
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo  

 \medskip 

Soit  $f$ une fonction définie sur l'intervalle  $\left[-10;10 \right]$. Son tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14.8,2.4)
\psframe[linewidth=0.6pt](14.8,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.6)(14.8,1.6)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,2.4) 
 \rput(1,2){$x$} \rput(2.4,2){$- 10$} \rput(6.4,2){$-5$} \rput(8.4,2){$1$} \rput(10.4,2){3} \rput(12.4,2){5} \rput(14.4,2){$10$}
\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.4,1.3){\rnode{A}{$-3$}} \rput(6.4,.3){\rnode{B}{$-5$}} \rput(10.4,1.3){\rnode{C}{$2$}} \rput(14.4,.3){\rnode{D}{$-1$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncput*{0}\ncline{C}{D}\ncput*{0}
 \end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau du signe de $f$ suivant les valeurs de $x$.
	\item Comparer $f\left(-1\right)$ et $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
	\item Le tableau permet-il de comparer les images de 2 et 4 ?
	\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo  

 \medskip 

La courbe $C_f$  tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
 
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-16,-10)(16,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.5*x*(x+4)^2*(6-x)/405}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-10)(16,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-5)(8,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\rput(7.5,-4.5){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6.987}{6.966}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\`A partir du graphique, répondre aux questions suivantes :	

\begin{enumerate}
	\item Quels sont les antécédents de $0$ par la fonction $f$ ?
	\item Pour chacune des solutions de l'équation $f(x)=-2$, déterminer un intervalle d'amplitude 0,5 auquel appartient cette solution.
	\item Donner le tableau du signe de $f$ suivant les valeurs de $x$.
	\item Établir le tableau des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo
 
\medskip

On dispose d'une ficelle de longueur 51 cm que l'on coupe en deux. Avec un des morceaux on forme un carré, et avec l'autre on forme un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur.

\medskip

\textbf{Peut-on couper la ficelle de telle sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale ?} 

\medskip

On note $x$ la longueur de ficelle utilisée pour le carré.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(10,1.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=bleu]{-|}(0,1.25)(4,1.25)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=prune](4,1.25)(10,1.25)
\psframe[linewidth=2pt,linecolor=bleu, fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair](1.5,0)(2.5,1)
\psframe[linewidth=2pt,linecolor=prune,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair](6,0)(8,1)
\rput(2,1.5){$x$} \rput(7,1.5){?}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du carré.
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur de ficelle utilisée pour le rectangle. 

En déduire que l'aire du rectangle vaut $\dfrac{\left(51-x\right)^2}{18}$
\end{enumerate}
\item On note $f$ la fonction qui à $x$ associe la somme des aires du carré et du rectangle.	
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de valeurs possibles pour le réel $x$ ?
	\item Donner une expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(30,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{17*(x^2-48*x+1224)/144}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(29,18)
\psset{xunit=.2cm,yunit=.4mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-10)(58,180)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](58,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,180){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{51}{\f}
\uput[u](52,160){\bleu{\textbf{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\`A partir du graphique, répondre aux questions suivantes :	

\begin{enumerate}
	\item Établir le tableau des variations de la fonction $f$.
	\item Pour quelle valeur de $x$, la somme des aires du carré et du rectangle est minimale ?
	\item On suppose qu'on ne coupe pas la ficelle et qu'on forme avec cette ficelle soit un carré  soit un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur.
	
	L'aire du rectangle est-elle supérieure à celle du carré ?
\end{enumerate}
\item Calculer $f(24)$ et interpréter le résultat.	
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

On considère une fonction  $f$ définie sur l'intervalle  $\left[-5;5 \right]$ . Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(14,3)
\psframe[linewidth=0.6pt](14,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,2.2)(14,2.2)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,3)
\psline{->}(2.8,1.7)(5.3,0.3)\psline{->}(6.3,0.3)(9.3,1.7) \psline{->}(10.4,1.7)(13.4,0.3) 
\uput[u](1,2.3){$x$} \uput[u](2.4,2.3){$- 5$} \uput[u](5.75,2.3){$-1$}  \uput[u](9.9,2.3){$1$}\uput[u](13.7,2.3){$5$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$} \uput[d](2.4,2){$5$} \uput[u](5.75,0){$1$}  \rput(9.9,1.8){$2$} \uput[d](13.7,.6){$-1$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Comparer $f\left(-\dfrac{5}{3}\right)$ et $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$
	\item Peut-on comparer les images de 0 et de 3 ?
	\item Pour chacune des propositions suivantes, justifier si elle est vraie ou fausse :	
\begin{enumerate}
	\item Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $2\leqslant a < b \leqslant 4$  alors $f(a)<f(b)$.
	\item Tous les réels de l'intervalle  $\left[-5;0 \right]$ ont une image supérieure ou égale à 1.
	\item Il existe un seul réel de l'intervalle  $\left[-5;5 \right]$ qui a une image négative.
\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2-2x-1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les images de $0$ ; de $\left(1+\sqrt{2}\right)$ et de $\left(1-\sqrt{2}\right)$.
\item Peut-on conclure que pour tout réel $x$, $f(x)$ est un entier relatif ?
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=(x-2)^2-9x^2$ . On note $C_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Développer l'expression de $f(x)$.
	\item Calculer l'image par la fonction $f$ de $-\dfrac{1}{2}$  ?
	\item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère ?
	\item Quelles sont les abscisses des points de la courbe $C_f$  qui ont pour ordonnée 4 ?
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=(2x-1)^2-(3x+2)^2$ . On note $C_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
	\item Développer l'expression de $f(x)$.
	\item Calculer l'image par la fonction $f$ de 0.
	\item Quelles sont les antécédents par la fonction $f$ de $(-3)$ ?
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ avec $AB=7$ et $BC=9$. 

Soit $I$ un point du segment $\left[ AB \right]$, la parallèle à la droite $\left( BC \right)$ coupe le segment $\left[ AC \right]$ au point $J$. 

On pose $AI=x$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{flushright}
	\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
	\rput{10}{
\pstriangle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](2.25,0)(4.5,2.68)
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](1.125,1.34)(3.375,1.34)
\uput[ul](2.5,2.68){\bleu $A$}
\uput[dl](0,0){\bleu $B$}
\uput[dr](4.5,0){\bleu $C$}
\uput[l](1.125,1.34){\prune $I$}
\uput[r](3.375,1.34){\prune $J$}
\uput[ul](1.6,1.8){$x$}
}
\end{pspicture}
	\end{flushright}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
	\item Exprimer la distance $IJ$ en fonction de $x$.
	\item On note $f$ la fonction qui à $x$ associe le périmètre du triangle $AIJ$.	
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
	\item Donner une expression de $f(x)$.
\end{enumerate}	
	\item On note $g$ la fonction qui à $x$ associe le périmètre du quadrilatère $IJCB$.
		
	Donner une expression de $g(x)$.
	\item Déterminer la position du point $I$ telle que $IJCB$ et $AIJ$ aient le même périmètre.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 
 
 $ABCD$ est un rectangle de longueur $AB= 10$ et de largeur $AD= 4$. 
 
 $M$ est un point mobile le long de la ligne brisée $ABC$.  
 
 Si $M\in [AB]$, on pose $x=AM$ ; si $M\in [BC]$, on pose $x=AB + BM$.

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(12,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](12,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](12,5){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{$x$}}
\uput[d](7,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(7,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,5)(7,0)
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(12,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](12,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](12,5){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](6,0){\prune{$x$}}
\uput[r](12,2){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(12,0)(12,2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,5)(12,2)
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{A}(x)$ est selon la position du point $M$ l'aire du triangle $ADM$ ou du trapèze $ADMB$. 

Exprimer $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x$.
	\item Représenter la fonction $\mathcal{A}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
	\item Déterminer la position du point $M$ telle que l'aire $\mathcal{A}(x)$ soit égale au tiers de l'aire du rectangle.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(0;4)$, $B(-3;0)$ et $C(7,5;0)$. 

$M(x;0)$ est un point du segment $[BC]$. Soit $f$ la fonction qui à $x$ associe la distance $AM$.

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
\item 

\begin{enumerate}
	\item Établir le tableau des variations de la fonction $f$.
	\item En déduire le nombre de solutions de chacune des équations suivantes  $f(x)=3$ ; $f(x)=4$ ; $f(x)=5$ et $f(x)=9$.
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations  $f(x)=4,1$ et $f(x)=5,8$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[- 3 ; 4 \right]$ par $f(x)=2x^2-3x$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les antécédents de 0 par la fonction  $f$.
	\item Compléter le tableau suivant : 
		
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
$f(x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &   &   &   &   &   &   &   &   \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Pourquoi peut-on affirmer que la fonction $f$ n'est pas monotone sur $\left[- 3 ; 4 \right]$ ?
\item Calculer l'image de 0,8. Le tableau permet-il de trouver le minimum de la fonction  $f$ ?
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[- 3 ; 4 \right]$, $f(x)-f\left(\dfrac{3}{4}\right)=2 \left( x-\dfrac{3}{4}\right)^2$.
	\item En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{FONCTIONS AFFINES}

\minitoc

\newpage

\section{Fonction affine}

\subsection{Définition}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}

\medskip

 \begin{itemize}
 \item La fonction $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = \dfrac{x}{2}-3$ est une fonction affine avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-3$.
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x \ne 0$ par $f(x) = \dfrac{2}{x}-3$ n'est pas une fonction affine.
 \end{itemize}

\subsubsection{Cas particuliers}

\begin{itemize}
 \item Dans le cas où $b=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax$ est appelée fonction linéaire.
 \item Dans le cas où $a=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=b$ est une fonction constante.
 \end{itemize}

\subsection{Proportionnalité des accroissements}

\cadreR{$f$ est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts, on a : \[\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a\]
}
\dem
 \begin{itemize}
 \psset{framearc=0.5}
 \item[\rnode{A}{\psframebox{$\Rightarrow$}}] Soit $f$ une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.

 Alors pour tous réels $x_1 \ne x_2$ on a : \[\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = \dfrac{a x_2 +b-ax_1 -b}{x_2 - x_1} = \dfrac{a \left(x_2 -x_1\right)}{x_2 - x_1} =a\]
 \item[\rnode{A}{\psframebox{$\Leftarrow$}}] Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ telle que, pour tous réels $x_1 \ne x_2$, on a \: $\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a$.
 
 Alors, en particulier pour tout réel $x \ne 0$ on a : \[\dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)-f(0)}{x} = a\]
 D'où $f(x)-f(0)=ax$. Soit en notant l'image de 0 $f(0)=b$, on obtient pour tout réel $x$, $f(x)=ax+b$.
 
 Ainsi, $f$ est une fonction affine.
 \end{itemize}
 
 \medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

  Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(-6)=5$ et $f(3)=-1$.
	
$f$ est une fonction affine d'où pour tout réel $x$, $f(x)=ax+b$ avec \[a=\dfrac{f(3) - f(-6)}{3 - (-6)} \qquad \text{Soit} \qquad a=\dfrac{-1-5}{3 +6}=-\dfrac{2}{3} \]
Ainsi, $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+b$. Or $f(3)=-1$ d'où \[\begin{split} -\dfrac{2}{3} \times 3 +b =-1 & \Leftrightarrow -2 +b =-1\\
&  \Leftrightarrow b =1
\end{split}\]

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+1$.

\subsection{Variation}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

\begin{itemize}
 \item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
 \end{itemize}
}
\dem
 
 	\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
 	Si $a$ est positif :
 
 Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que \; $x_1 \leqslant x_2 $
 
 Comme $a \geqslant 0$, \; $ax_1\leqslant ax_2$. D'où \; $ax_1 +b \leqslant ax_2+b$
 
 Soit $f\left( x_1 \right) \leqslant f\left( x_2 \right)$

 Donc $f$ est croissante
 & Si $a$ est négatif :
 
 Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que  $x_1 \leqslant x_2 $
 
 Comme $a \leqslant 0$, $ax_1\geqslant ax_2$. D'où  $ax_1 +b \geqslant ax_2+b$
 
 Soit $f\left( x_1 \right) \geqslant f\left( x_2 \right)$

 Donc $f$ est décroissante
 	\end{tabularx}
 	
 \subsection{Signe de $ax+b$ avec $a \ne 0$}
 
 \cadreR{Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)= ax+b$ avec $a \ne 0$.

 $f(x)$ est du signe de $a$ pour les valeurs de $x$ supérieures à $-\dfrac{b}{a}$.
  
}
\dem 

 Si $a\ne0$ alors l'équation $ax+b=0$ admet pour solution $x=-\dfrac{b}{a}$. 

 	\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
Si $a >0$ alors  $f$ est strictement croissante : 
 
donc pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) < f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$
 
 soit pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) < 0$
 
D'où le tableau du signe de $f(x)$

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,3.25)
\psframe[linewidth=0.6pt](15,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.5)(15,1.5)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,3) 
 \rput(1.5,2.25){$x$} \rput(4,2.25){$- \infty$} \rput(9,2.25){$-\frac{b}{a}$}   \rput(14,2.25){$+\infty$}
\rput(1.5,.75){$f(x)$} \rput(6.5,.75){$-$} \pnode(9,0){m1}\pnode(9,1.5){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(11.5,.75){$+$}
 \end{pspicture}
& Si $a <0$ alors  $f$ est strictement décroissante : 
 
donc pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) > f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$
 
 soit pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) > 0$
 
D'où le tableau du signe de $f(x)$

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,3.25)
\psframe[linewidth=0.6pt](15,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.5)(15,1.5)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,3) 
 \rput(1.5,2.25){$x$} \rput(4,2.25){$- \infty$} \rput(9,2.25){$-\frac{b}{a}$}   \rput(14,2.25){$+\infty$}
\rput(1.5,.75){$f(x)$} \rput(6.5,.75){$+$} \pnode(9,0){m1}\pnode(9,1.5){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(11.5,.75){$-$}
 \end{pspicture}
 	\end{tabularx} 
 	
 Par conséquent, si $a\ne0$ :	
 	\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(18,3)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=0.6pt](18,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.5)(18,1.5)
 \psline[linewidth=0.6pt](4,0)(4,3) 
 \rput(2,2.25){$x$} \rput(4.8,2.25){$- \infty$} \rput(11,2.25){$-\dfrac{b}{a}$}   \rput(17.2,2.25){$+\infty$}
\rput(2,.75){$f(x)=ax+b$} \rput(7.9,.75){\prune{signe de $-a$}} \pnode(11,0){m1}\pnode(11,1.5){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(14.1,.75){\prune{signe de $a$}}
 \end{pspicture}
\end{center}
	
\subsection{Courbe représentative}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.5*x+1.5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(1,5){$a<0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,3.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](3,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(1,5){$a=0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-4,1.8)(6,1.8)
\uput[ur](-4,1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(1,5){$a>0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,-2.6){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}


\section{Inéquations}

Pour résoudre une inéquation à une inconnue on peut être amené à étudier le signe d'une expression.

\begin{center}
Résoudre $A(x) \leqslant B(x)$ équivaut à résoudre $A(x) - B(x) \leqslant 0$.
\end{center}

\subsection{Étude du signe d'un produit}

\subsubsection{Règle des signes d'un produit}

\cadreB{
 Le produit de deux nombres de même signe est positif.  Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. 
} 
  
 \subsubsection{Tableau de signes d'un produit}

Pour étudier le signe d'un produit :

\begin{itemize}
 \item On étudie le signe de chaque facteur. 
 \item On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
 \item On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
 \end{itemize} 
 
 \medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip
 
Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\left( 2x+3 \right)^2 \leqslant \left( 3x-1 \right)^2$

Pour tout réel $x$, \[
\begin{split}
\left( 2x+3 \right)^2 \leqslant \left( 3x-1 \right)^2 & \Leftrightarrow \left( 2x+3 \right)^2 - \left( 3x-1 \right)^2 \leqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \left[ (2x+3) +( 3x-1) \right]\times\left[ (2x+3) -( 3x-1) \right] \leqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \left(2x+3 + 3x-1 \right)\left(2x+3 - 3x+1 \right) \leqslant 0\\
&  \Leftrightarrow \left(5x+2 \right)\left(4-x \right) \leqslant 0\\
\end{split}
\]
Étudions le signe du produit $\left(5x+2 \right)\left(4-x \right)$ à l'aide d'un tableau de signe.

On étudie les signe de chacun des facteurs du produit :
\[ 5x+2 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant - \dfrac{2}{5} \qquad \text{et} \qquad 4-x \leqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 4\]
On résume dans un seul tableau le signe de chacun des facteurs et, on en déduit le signe du produit en utilisant la règle des signes d'un
produit  :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=0.6pt](16,4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1)(16,1)\psline[linewidth=0.6pt](0,2)(16,2)\psline[linewidth=0.6pt](0,3)(16,3)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,4)
 \psset{arrows=-,linewidth=.5pt} 
 \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$-\dfrac{2}{5}$} \rput(11.5,3.5){$4$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$5x+2$} \rput(5.5,2.5){$-$}\pnode(7.5,3){m3}\pnode(7.5,2){m2}\ncline{m3}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$} \pnode(11.5,3){n3}\pnode(11.5,2){n2}\ncline{n3}{n2}\rput(13.5,2.5){$+$} 
 \rput(1.5,1.5){$4-x$} \rput(5.5,1.5){$+$}\pnode(7.5,1){m1}\ncline{m2}{m1} \rput(9.5,1.5){$+$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n2}{n1}\ncput*{0}\rput(13.5,1.5){$-$}
 \rput(1.5,0.5){$\left(5x+2 \right)\left(4-x \right)$} \rput(5.5,0.5){$-$}\pnode(7.5,0){m0}\ncline{m1}{m0}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$-$}  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(5x+2 \right)\left(4-x \right) \leqslant 0$ est $S=\left] - \infty ; -\dfrac{2}{5}\right] \cup \left[\vphantom{\dfrac{2}{5}} 4 ; + \infty \right[$.


\subsection{Étude du signe d'un quotient}

\subsubsection{Règle des signes d'un quotient}

\cadreB{
 Le quotient de deux nombres de même signe est positif.  Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. 
} 
 
  
 \subsubsection{Tableau de signes d'un quotient}

Pour étudier le signe d'un quotient :

\begin{itemize}
 \item On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur (valeurs interdites). 
 \item On regroupe dans un tableau le signe de chaque terme. 
 \item On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
 \end{itemize} 
 
 \medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip
 

Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\dfrac{2x+7}{3x+2} \geqslant 2$

Le quotient $\dfrac{2x+7}{3x+2}$ est défini pour tout réel $x$ tel que le dénominateur $3x+2 \ne 0$.

Comme $3x+2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -\dfrac{2}{3}$, le quotient $\dfrac{2x+7}{3x+2}$ est défini pour tout réel $x \ne -\dfrac{2}{3}$ : \[
\begin{split}
\dfrac{2x+7}{3x+2} \geqslant 2 & \Leftrightarrow \dfrac{2x+7}{3x+2} -2 \geqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \dfrac{(2x+7)-2\times (3x+2)}{3x+2} \geqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \dfrac{2x+7-6x-4}{3x+2} \geqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \dfrac{3-4x}{3x+2} \geqslant 0 \\
\end{split}
\]
Étudions le signe du quotient $\dfrac{3-4x}{3x+2}$ à l'aide d'un tableau de signe.

On étudie les signe de chacun des termes du quotient :
\[ 3-4x \leqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant  \dfrac{3}{4} \qquad \text{et} \qquad 3x+2 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant -\dfrac{2}{3} \]
On résume dans un seul tableau le signe de chacun des termes et, on en déduit le signe du quotient en utilisant la règle des signes d'un quotient.

La double barre dans le tableau indique que $-\dfrac{2}{3}$ est une valeur interdite   :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,2)(16,2)\psline[linewidth=0.6pt](0,3)(16,3)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,4)
 \psset{arrows=-,linewidth=.5pt} 
 \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$-\dfrac{2}{3}$} \rput(11.5,3.5){$\dfrac{3}{4}$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$3-4x$} \rput(5.5,2.5){$+$}\pnode(7.5,3){m3}\pnode(7.5,2){m2}\ncline{m3}{m2}\rput(9.5,2.5){$+$} \pnode(11.5,3){n3}\pnode(11.5,2){n2}\ncline{n3}{n2}\ncput*{0}\rput(13.5,2.5){$-$} 
 \rput(1.5,1.5){$3x+2$} \rput(5.5,1.5){$-$} \pnode(7.5,1){m1}\ncline{m2}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,1.5){$+$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n2}{n1}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$\dfrac{3-4x}{3x+2}$} \rput(5.5,0.5){$-$} \pnode(7.5,0){m0}\ncline[doubleline=true,doublesep=2pt,linewidth=.5pt]{m1}{m0} \rput(9.5,0.5){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$-$}
 \psframe[linewidth=0.6pt](16,4)
 \psline[linewidth=0.6pt](0,1)(16,1)  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{3-4x}{3x+2} \geqslant 0$ est $S=\left]  -\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4} \right]$.

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

 \exo

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) =3-2x$ et $g(x)= \dfrac{x}{2}-1$.

\begin{enumerate}
	\item Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère.
	\item Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux courbes.	
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}		
\begin{pspicture}(-10,-7)(10,8)	
\def\pshlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\def\psvlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(10,8)
\psset{unit=.8cm}		
\psaxes[linewidth=.8pt,ticksize=-2pt 2pt,labelsep=1mm]{->}(0,0)(-5,-3.5)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{rougef}{.8 0 .2}
\newrgbcolor{violet}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vertf}{0 .5 .2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{0.6*x+.8}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=1](-3,-1)(2,2)
\psline[linecolor=vertf,linewidth=1.25pt](-5,-2.5)(5,-2.5)
\psline[linecolor=violet,linewidth=1.25pt](-4,-3.5)(-4,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=rougef]{-2.66}{5}{2-.75*x}
\psdots[linecolor=rougef,dotscale=1](-2,3.5)(4,-1)
\uput[d](-3,-1){\bleu {\footnotesize{$A$}}}
\uput[u](2,2){\bleu {\footnotesize{$B$}}}
\uput[d](4,-1){\rougef {\footnotesize{$F$}}}
\uput[d](-2,3.5){\rougef {\footnotesize{$E$}}}
\rput(-3.5,3.5){\violet {\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\rput(4.5,-3){\vertf {\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\rput(4.5,-2){\rougef {\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\rput(4.5,3){\bleu {\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans chaque cas où la droite représentée ci-dessus, est la courbe représentative d'une fonction, déterminer la fonction affine associée. 

 \bigskip 

\exo 

\medskip

Le tableau ci-dessous, donne le signe d'une fonction définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8.5,1.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8.5,1.6) \psline(1.5,0)(1.5,1.6) \psline(0,.8)(8.5,.8)
\rput(0.75,1.2){$x$}\rput(2,1.2){$- \infty$} \rput(5,1.2){$-2$} \rput(8,1.2){$+ \infty$}
\rput(0.75,.4){$\Gamma(x)$} \rput(3.5,.4){$+$}\pnode(5,0){m1}\pnode(5,.8){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(6.5,.4){$-$}
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui admettent le même tableau de signes ?

$f(x)=-x+2$ ; \hfill $g(x)=-1-\dfrac{x}{2}$ ; \hfill  $h(x)=x^2+4$ ; \hfill  $k(x)= 2x+4$ ; \hfill  $l(x)= -\dfrac{2x}{3} -\dfrac{4}{3}$


\bigskip
\exo

\medskip

 $ABCD$ est un carré de côté 6. 
 
\`A tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le réel  $x=AM$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=bleu,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune](0,0)(0,2.5)(6,6)(6,0)(0,0)
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(6,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](6,0){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ur](6,6){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[ul](0,6){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[l](0,4.25){\prune{$x$}}
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,2.5)(6,6)
\end{pspicture} 
\end{center}

  \medskip
  
  Le nombre $f(x)$ est égal à l'aire du trapèze $BCDM$.
  
\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $f(x)$.
		\item Résoudre $f(x) \leqslant 24$.
\end{enumerate}
 	
\bigskip
 \exo

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{ $ABCD$ est un trapèze rectangle.  À tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le réel  $x=AM$. 

Le réel $f(x)$ est égal à l'aire du triangle $BMC$. 

Le réel $g(x)$ est égal à l'aire du trapèze $AMCD$.
}\parbox{0.5\linewidth}{

\psset{unit=.5cm}
\begin{flushright}
\scalebox{.9}{
\begin{pspicture}(0,0)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0)(16,0)(8,6)(0,6)(0,0)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](16,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](8,6){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](0,6){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](2,0){\prune{$x$}}
\uput[d](4,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](8,6)(4,0)
\end{pspicture}
}
\end{flushright}
}


 Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées ci-dessous :

	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(22,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,18)
\psset{xunit=1cm, yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(11,36)
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,36){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,20)(10,0)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,12)(10,32)
\end{pspicture}
\end{center}

 \`A l'aide du graphique, déterminer les distances $AB$, $AD$ et $CD$.
 
\bigskip

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine $f$ puis donner son sens de variation 

\begin{enumerate}
	\item $f(-2)=3$ et $f(3)=-1$
	\item La droite représentant la fonction $f$ passe par les points de coordonnées $(-2 ; -1)$ et $(1 ; 3)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item $f$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $f(-1,5)=-2$ et $f(3)=1$.
	
	Donner une expression de $f(x)$.
	\item $g$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $g(2)=-1$ et $g(4)-g(-2)=-9$.
	
	Donner une expression de $g(x)$.
	
	\item Résoudre dans $\R$, l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo  

 \medskip
 
\begin{itemize}
\item Augmenter une grandeur de $t \%$ revient à multiplier cette grandeur par $1 +\dfrac{t}{100}$
\item Diminuer une grandeur de $t \%$ revient à multiplier cette grandeur par $1 -\dfrac{t}{100}$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Quel est le pourcentage d'évolution d'un article qui baisse successivement de 8\% puis de 5\%  ?
	\item  Après une hausse de 6,25\% le prix d'un article est de 272\euro. Quel était le prix de cet article avant la hausse ?	
	\item  Après une baisse de 5,6\% le prix d'un article est de 236\euro. Quel était le prix de cet article avant la baisse ? 
	\item Le cours d'une action a baissé de 20\%. Quel devra être le taux du pourcentage d'augmentation pour que cette action retrouve son cours initial ?
\end{enumerate}	

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$  par $f(x)=(x+3)^2$ et $g(x)=(5x+1)^2$. 

\begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)-g(x)$.
	\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)-g(x)$.
	\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Résoudre dans $\R$  les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $(3x-2)^2-(x+1)^2\geqslant 0$
	\item $(2-3x)^2\leqslant(2-3x)(3-5x)$	
	\item  $\dfrac {3x+4}{1-2x}\geqslant 0$	
\item  $\dfrac {2x}{3x+2}<1$	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

  \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=x^2-\dfrac{9}{2}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

La courbe $C_f$ est tracée ci dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
	\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g\left(-\dfrac{9}{4}\right)=-6$  et $g\left(\dfrac{13}{4}\right)=5$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère orthogonal donné ci dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-7)(16,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2-4.5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-7)(16,10)
\psset{xunit=2cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(4,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.8}{3.8}{\f}
\uput[dr](3.75,10){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$,  $f(x)-g(x)= (x-3) (x+1)$.
\item Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\exo  

\medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=-4x^3+12x-2$. 

Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le repère orthogonal ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-11)(16,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{12*x-4*x^3-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-11)(16,8)
\psset{xunit=3cm, yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-11)(2.66,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.6,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.2pt, linecolor=bleu]{-2.053}{2.027}{\f}
%\psline[linewidth=1.2pt, linecolor=prune](-2,-8)(2,4)
\uput[r](2.05,-10){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Soit $g$ la fonction affine définie sur $\R$ telle que $g(3)-g(-1)=12$  et $g(2)=4$. 
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)-g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$. 	
	\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite $D$ avec la courbe $C_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Deux offres de location de vacances sont proposées dans deux résidences similaires.

\begin{itemize}
\item \textsf{\textbf{\textsc{offre a : }}} 50 \euro{} par nuit pour les trois premières nuits puis, 44 \euro{} par nuit supplémentaire.
\item \textsf{\textbf{\textsc{offre b : }}} Un forfait de 350 \euro{} pour sept nuits consécutives puis, 32 \euro{} par nuit supplémentaire.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On appelle $f$ la fonction qui à tout séjour de $x$ nuits fait correspondre le montant en euros à payer pour un client qui a choisi l'offre A.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(3)$ et $f(5)$.
\item Donner une expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
\item On appelle $g$ la fonction qui à tout séjour de $x$ nuits fait correspondre le montant en euros à payer pour un client qui a choisi l'offre B.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(5)$ et $g(12)$.
\item Donner une expression de $g(x)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Représenter dans un même repère les fonctions $f$ et $g$.
\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de nuits à partir duquel l'offre B est plus avantageuse que l'offre A.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{VECTEURS DU PLAN}

\minitoc

\newpage

\section{Notion de vecteur}

\subsection{Parallélogramme}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\rput{-40}(2.75,2.125){\prune{||}}\rput{-40}(4.25,1.375){\prune{||}}
\rput{45}(1.5,0.8){\prune{|}}\rput{45}(5.25,2.65){\prune{|}}
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=bleu}
\pspolygon(2,2.5)(0,0)(5,1)(7,3.5)
\uput[ul](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ur](7,3.5){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
 \uput[d](3.5,1.75){\prune{\footnotesize{$O$}}}
\psline{|-|}(7,2)(15,1)
\psline{|-|}(9,1.75)(13,1.25)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](10.97,1.35)(11.03,1.65)
\uput[d](7,2){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[d](9,1.75){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[d](15,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[d](13,1.25){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
 \uput[d](11,1.5){\prune{\footnotesize{$O$}}}
 \rput(11,0.5){parallélogramme aplati}
  \end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Propriétés}

\begin{itemize}
\item Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si $(AB) // (DC)$ et $(AD) // (BC)$.
\item Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.
\end{itemize}

\medskip

 \textsf{\textsc{{remarque}}}
 
 \medskip
 
Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(2,2.5)(5,1)(7,3.5)
\uput[ul](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$D$}}}\uput[ur](7,3.5){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

Dans le quadrilatère $ABCD$ nous avons $(AB) // (CD)$ et $AB=CD$, pourtant $ABCD$ n'est pas un parallélogramme.
 
\subsection{Sens et direction}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} 
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-10,-2)(6,6)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-3,-2)(13,6)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](1,-2)(17,6) 
\psline[linewidth=2pt,linecolor=prune]{->}(3.5,3)(7.5,5) 
\psline[linewidth=2pt,linecolor=prune]{->}(1.5,2)(-2.5,0)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu](-1.1,-.8)(-.9,-1.2)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu](10.9,5.2)(11.1,4.8)
 \uput[d](-1,-1){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
 \uput[d](11,5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu'elles ont même direction.
\item Une direction étant indiquée par la donnée d'une droite $\left( {AB} \right)$, il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit de $A$ vers $B$, soit de $B$ vers $A$.
\end{itemize}

\subsection{Translation}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(22,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \fig#1#2#3#4#5#6#7{
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=#1](0,0)(0,4)(3,4)(3,2)(5,0)
\uput[ul](0,4){\textcolor{#1}{\footnotesize{#2}}}
\uput[ur](3,4){\textcolor{#1}{\footnotesize{#3}}}
\uput[r](3,2){\textcolor{#1}{\footnotesize{#4}}}
\uput[dr](5,0){\textcolor{#1}{\footnotesize{#5}}}
\uput[dl](0,0){\textcolor{#1}{\footnotesize{#6}}}
\rput(1.5,2){\textcolor{#1}{\pscirclebox[linecolor=#1]{\footnotesize{#7}}}}
}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,10)
\rput(3,1){\fig{bleu}{$A$}{$M$}{$N$}{$P$}{$Q$}{$\mathcal{F}_1$}}
\rput(13,5){\fig{prune}{$B$}{$R$}{$S$}{$T$}{$U$}{$\mathcal{F}_2$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(3,5)(13,9)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(6,3)(16,7)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(8,1)(18,5)
  \end{pspicture}
\end{center}

Le glissement qui permet d'obtenir la figure $\mathcal{F}_2$ à partir de la figure $\mathcal{F}_1$ peut être décrit de façon précise par trois caractères :

\begin{itemize}
\item la \emph{direction} du glissement est donnée par la droite $\left( {AB} \right)$ ;
\item le \emph{sens} du glissement est celui de $A$ vers $B$ ;
\item la \emph{distance} du glissement est égale à la longueur du segment $\left[ {AB} \right]$.
\end{itemize}

On dit que la figure $\mathcal{F}_2$ est l'image de la figure $\mathcal{F}_1$ par la translation de vecteur $\vv{AB}$.

\medskip

 \textsf{\textsc{{remarque}}}%
 
 \medskip
Les vecteur $\vv{NS}$ et $\vv{PT}$ sont aussi des vecteurs  de la translation de vecteur $\vv{AB}$, on dit qu'ils sont égaux. On note alors :\[ \vv{AB}=\vv{NS} = \vv{PT} \]

\subsubsection{Définition}
 
  \cadreR{Soient $A$ et $B$ deux points du plan.
  
  La translation qui transforme $A$ en $B$ associe à tout point $C$ du plan, l'unique point $D$ tel que les segments $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu.
  
  Cette translation est la translation de vecteur $\vv{AB}$.
  
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(15.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \rput(3.5,3.75){Cas général}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\rput{-40}(2.75,2.125){\prune{||}}\rput{-40}(4.25,1.375){\prune{||}}
\rput{45}(1.5,0.8){\prune{|}}\rput{45}(5.25,2.65){\prune{|}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(2,2.5)(7,3.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2,2.5)(0,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](7,3.5)(5,1)
\uput[ul](2,2.5){\prune{\footnotesize{$A$}}} \uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$D$}}}\uput[ur](7,3.5){\prune{\footnotesize{$B$}}}
 \uput[d](3.5,1.75){\prune{\footnotesize{$O$}}}
  \rput(3.5,-.5){$ABDC$ est un parallélogramme}
   \rput(11.5,3.75){Cas particuler où $A$, $B$ et $C$ sont alignés}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](11.45,1.7)(11.55,1.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](7.5,0)(15.5,3.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(7.5,0)(10.5,1.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(12.5,2)(15.5,3.2)
\uput[d](7.5,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[d](10.5,1.2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[d](12.5,2){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[d](15.5,3.2){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
 \uput[d](11.5,1.6){\prune{\footnotesize{$O$}}}
 \rput(11.5,-.5){$ABDC$ est un parallélogramme aplati}
  \end{pspicture}
\end{center} 
  }
\section{Vecteurs}

  \cadreB{
 Un couple $(A,B)$ de points du plan détermine un vecteur. $A$ est l'origine du vecteur et $B$ est son extrémité.  On le note $\vv{AB}$.
}
  
\subsection{Égalité de deux vecteurs}

  \cadreB{
 Deux vecteurs  sont égaux s'ils sont associés à la même translation.
}
 
 \subsubsection{Définition}
 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(5,1)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](2,2.5)(7,3.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2,2.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=bleu]{->}(5,1)(7,3.5)
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[ul](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ur](7,3.5){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

\medskip

 \cadreR{$A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :
 
   \begin{itemize}
   \item $\vv{AB}=\vv{CD}$ si, et seulement si,  $D$ est l'image du point $C$ par la translation de vecteur $\vv{AB}$.
   \item $\vv{AB}=\vv{CD}$ si, et seulement si,  les segments $[AD]$   et $[BC]$  ont le même milieu.
   \item $\vv{AB}=\vv{CD}$ si, et seulement si,  $ABDC$  est un parallélogramme.
  \end{itemize}}

 \medskip

 \textsf{\textsc{{exemple : les trois parallélogrammes}}}%
 
 \medskip
 
 $ABCD$ et $ABEF$ sont deux parallélogrammes. Montrons que $DCEF$ est un parallélogramme.
 
  \medskip
  
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](4,4)(9,3.5)(12.5,1)(7.5,1.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](4,4)(0,0.5)(5,0)(9,3.5)
\uput[u](4,4){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[u](9,3.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[d](12.5,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[d](7.5,1.5){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
\uput[d](5,0){\prune{\footnotesize{$E$}}} \uput[d](0,0.5){\prune{\footnotesize{$F$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

\medskip

\begin{itemize}
   \item $ABCD$ est un parallélogramme alors, $\vv{AB}=\vv{DC}$.
   \item $ABEF$ est un parallélogramme alors, $\vv{AB}=\vv{FE}$.
\end{itemize}

Par conséquent, $\vv{DC}=\vv{FE}$  donc le quadrilatère $DCEF$ est un parallélogramme.

\subsection{Représentation d'un vecteur}

Devant des égalités du type $\vv{AB}=\vv{DC}=\vv{FE}= \cdots$, on dit que les vecteurs $\vv{AB}$, $\vv{DC}$, $\vv{FE}$, \dots sont des représentants du vecteur $\vv{u}$ : \[\vv{u}=\vv{AB}=\vv{DC}=\vv{FE}= \cdots\]
Le vecteur $\vv{AA}=\vv{BB}= \cdots$ est appelé le vecteur nul, noté $\vv{0}$.

\medskip

\cadreR{ Soit $\mathrm{O}$ un point du plan. Pour tout vecteur  $\vv{u}$, il existe un un point $M$ unique tel que  $\vv{u}=\vv{OM}$.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u#1{
\pcline[linewidth=2pt,linecolor=#1]{->}(0,0)(4,1.6)
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(2,.6)(6,2.2)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,-.2)(10,3.8)
\rput(3,2.2){\u{prune}\aput{:U}{\prune{\footnotesize{$\vv{u}$}}}} \rput(2,.6){\u{bleu}\bput{:U}{\bleu{\footnotesize{$\vv{OM}$}}}}
 \uput[d](2,.6){\bleu{\footnotesize{$O$}}}
 \uput[d](6,2.2){\bleu{\footnotesize{$M$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
 
 Si $\vv{u}$ n'est pas le vecteur nul, les points $O$ et $M$ sont distincts. Le vecteur $\vv{u}$ est caractérisé par :
 
 \begin{itemize}
 \item Sa direction : c'est celle de la droite $\left( {OM} \right)$.
 \item Son sens : c'est le sens de $O$ vers $M$.
 \item Sa norme notée $\left\| \vv{u} \right\|$ : c'est la distance $OM$.
 \end{itemize}
 
\section{Addition vectorielle}

\subsection{Somme de deux vecteurs}

 Soit trois points $A$, $B$ et $C$.
 
 Si on applique la translation de vecteur $\vv{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\vv{BC}$, on obtient la translation de vecteur $\vv{AC}$.
 
 Le vecteur $\vv{AC}$ est la somme des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{BC}$

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2,2.5)
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(2,2.5)(7,1.5)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(7,1.5)\nbput[nrot=:U]{\prune{$\vv{AC}=\vv{AB}+\vv{BC}$}}
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[u](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](7,1.5){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

\subsubsection{Relation de Chasles}

\cadreR{Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ on a :
   \[\vv{AB}+\vv{BC}=\vv{AC}\]}
   
   \subsubsection{Règle du parallélogramme}

\cadreR{La somme $\vv{OA}+\vv{OB}$ est le vecteur $\vv{OM}$ tel que $OAMB$ est un parallélogramme.}

 \subsubsection{Construction de la somme de deux vecteurs}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(5,0.5)\nbput{\bleu{$\vv{u}$}}
}
\def \v{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(1.5,2.5)
}
\def \uv{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(6.5,3)\naput[nrot=:U]{\prune{$\vv{u}+\vv{v}$}}
}
\rput(3.25,3.5){\psframebox[framearc=.5]{\textsf{\small{Relation de Chasles}}}}
\rput(0,0){\u} \rput(5,0.5){\v\bput{:U}{\bleu{$\vv{v}$}}} \rput(0,0){\uv} 
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[dr](5,.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ur](6.5,3){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
 \rput(11.75,3.5){\psframebox[framearc=.5]{\textsf{\small{Règle du parallélogramme}}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](13.5,0.5)(15,3)(10,2.5)
\rput(8.5,0){\u} \rput(8.5,0){\v\aput{:U}{\bleu{$\vv{v}$}}} \rput(8.5,0){\uv}
\uput[dl](8.5,0){\bleu{\footnotesize{$O$}}} \uput[dr](13.5,.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ul](10,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ur](15,3){\prune{\footnotesize{$M$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}


\subsubsection{Propriétés algébriques}

\cadreR{Quels que soient les vecteurs $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$


$\vv{u}+\vv{v} = \vv{v}+\vv{u}$ ; \hfill $\vv{u}+\vv{0} = \vv{0}+\vv{u} = \vv{u}$ ; \hfill $\left( \vv{u}+\vv{v} \right)+\vv{w} = \vv{u}+\left( \vv{u}+\vv{w}\right)$
}
\subsection{Différence de deux vecteurs}

\subsubsection{Opposé d'un vecteur}

\cadreR{L'opposé d'un vecteur $\vv{u}$ est le vecteur noté $\left(-\vv{u}\right)$ tel que  $\vv{u}+\left(-\vv{u}\right)=\vv{0}$.
}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2.5,1.5)
}
\rput(0,0){\u\Aput{\bleu{$\vv{u}$}}} \rput{180}(6,2){\u\aput{-180}{\bleu{$-\vv{u}$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

 \textsf{\textsc{{conséquence}}}%
 
 \medskip
 
\cadreR{L'opposé du vecteur $\vv{AB}$ est le vecteur $\vv{BA}$ : $-\vv{AB}=\vv{BA}$}

\preuve

D'après la relation de Chasles :
$\vv{AB}+\vv{BA}=\vv{AA}=\vv{0}$

\subsubsection{Définition}

\cadreR{Étant donné deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ la différence $\vv{u}-\vv{v}$ est le vecteur  $\vv{u}+\left(-\vv{v}\right)$.
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(6.5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .5 .2}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(5,0.5)\nbput{\bleu{$\vv{u}$}}
}
\def \v#1{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=#1]{->}(0,0)(1.5,2.5)
}

\def \umv{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(3.5,-2)\naput[nrot=:U]{\prune{$\vv{u}-\vv{v}$}}
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf,linestyle=dashed](0,-2.5)(5,-2)(6.5,0.5)
\rput(1.5,0){\u} \rput(1.5,0){\v{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{v}$}}} \rput{-180}(1.5,0){\v{vertf}\bput{:D}{\vertf{$-\vv{v}$}}}\rput(3,2.5){\umv}
\rput(1.5,0){\umv} 
\uput[l](1.5,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[r](6.5,.5){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ul](3,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[dl](0,-2.5){\vertf{\footnotesize{$M$}}}\uput[dr](5,-2){\vertf{\footnotesize{$N$}}}
%\rput(3.25,-3){Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$, $\vv{BC}=\vv{AC}-\vv{AB}$}
  \end{pspicture}
    
Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$, $\vv{BC}=\vv{AC}-\vv{AB}$
\end{center}

\section{Multiplication d'un vecteur par un réel}

\subsection{Produit d'un vecteur par un réel $k$}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(22,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(12,3)
}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,9)
\rput(8,4){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{u}$}}}
\rput(10,7){\scalebox{-0.666}{\u{2.25pt}{vertf}\bput{:D}{\scalebox{1.5}{\vertf{$-\dfrac{2}{3}\vv{u}$}}}}}
\rput(4,1){\scalebox{1.25}{\u{1.2pt}{prune}\bput{:U}{\scalebox{.8}{\prune{$\dfrac{5}{4}\vv{u}$}}}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{Soit $\vv{u}$ un vecteur non nul ($\vv{u}\ne \vv{0}$) et $k$ un réel non nul ($k\ne0$).

Le produit du vecteur $\vv{u}$ par le réel $k$, noté $k\vv{u}$ est le vecteur caractérisé par :
\begin{itemize}
\item sa direction : $k\vv{u}$ a la même direction que le vecteur $\vv{u}$ ;
\end{itemize}
\begin{tabularx}{\linewidth-2em}{X|X}
\begin{center}
\psframebox[framearc=0.5]{Cas où $k >0$} 
\end{center}&\begin{center}
\psframebox[framearc=0.5]{Cas où $k <0$} 
\end{center}\\
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(2.8,.7)
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(0.8,0.2)(3.6,.9)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{-|}(3.6,.9)(5.28,1.32)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](0,0)(6,1.5)
\rput(.8,0.2){\scalebox{1.6}{\u{.9pt}{prune}\bput{:U}{\scalebox{.625}{\prune{$\vv{OM}=k\vv{u}$}}}}}
\rput(.8,.2){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{OA}=\vv{u}$}}}
\uput[d](.8,0.2){\footnotesize{\bleu $O$}}\uput[d](3.6,.9){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[d](5.28,1.32){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}&\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(2.8,.7)
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(2.8,.7)(5.6,1.4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{-|}(2.8,.7)(.56,.14)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](0,0)(6,1.5)
\rput(2.8,0.7){\scalebox{-.8}{\u{1.875pt}{prune}\aput{:D}{\scalebox{1.25}{\prune{$\vv{OM}=k\vv{u}$}}}}}
\rput(2.8,.7){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{OA}=\vv{u}$}}}
\uput[d](2.8,.7){\footnotesize{\bleu $O$}}\uput[d](5.6,1.4){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[d](.56,.14){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}\\
\begin{itemize}
\item son sens : le vecteur $k\vv{u}$ a le même sens que le vecteur $\vv{u}$ ;
\item sa norme : la norme du vecteur $k\vv{u}$ est égale au produit de la norme du vecteur  $\vv{u}$ par le réel $k$ \[\left\| k\vv{u} \right\| = k \times \left\| \vv{u} \right\|\]
\end{itemize} & \begin{itemize}
\item son sens : le vecteur $k\vv{u}$ est de  sens opposé au sens du vecteur $\vv{u}$ ;
\item sa norme : la norme du vecteur $k\vv{u}$ est égale au produit de la norme du vecteur  $\vv{u}$ par l'opposé du réel $k$ \[\left\| k\vv{u} \right\| = -k \times \left\| \vv{u} \right\|\]
\end{itemize}\\
\end{tabularx}
\begin{center}
Ce qui s'écrit de façon générale $\left\| k\vv{u} \right\| = |k| \times \left\| \vv{u} \right\|$ et se lit :\par
\og la norme du vecteur $k\vv{u}$ est égale au produit de la norme du vecteur  $\vv{u}$ par la valeur absolue du réel $k$ \fg{}
\end{center}
}



\medskip

  \cadreB{
Lorsque $\vv{u}=\vv{0}$ ou $k=0$, on convient que $k\vv{u}=\vv{0}$ : ainsi, l'égalité $k\vv{u}=\vv{0}$ ne peut se produire que lorsque $\vv{u}=\vv{0}$ ou $k=0$.
}
 
\subsubsection{Remarque}

Soit $A$ et $B$ deux points distincts, et $k$ un réel donné. Il existe un unique point $M$ défini par la relation $\vv{AM}=k\vv{AB}$ :
\begin{itemize}
\item $M$ est un point de la droite $(AB)$
\item $M$ a pour abscisse $k$ dans le repère $(A; B)$ d'origine $A$
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(11,.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\psline[linewidth=.5pt]{|-|}(4,0)(7,0)
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=vertf]{-}(0,0)(4,0)\aput{:U}{\vertf{$M \in [Ax)$}}\bput{:U}{\vertf{$k \leqslant 0$}}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{-}(4,0)(7,0)\aput{:U}{\prune{$M \in [AB]$}}\bput{:U}{\prune{$0 \leqslant k \leqslant 1$}}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=bleu]{-}(7,0)(11,0)\aput{:U}{\bleu{$M \in [By)$}}\bput{:U}{\bleu{$ k \geqslant 1$}}
\uput[dl](0,0){$x$}\uput[d](4,0){$A$}\uput[d](7,0){$B$}\uput[dr](11,0){$y$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\subsection{Propriétés algébriques}

\cadreR{Pour tous vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ et pour tous réels $k$ et $k'$ :

$k\left(\vv{u}+\vv{v}\right)=k\vv{u}+k\vv{v}$ ; \hfill $(k+k')\vv{u}=k\vv{u}+k'\vv{u}$ ; \hfill $k\vv{u}=\vv{0}\iff  k=0 \text{ ou } \vv{u}=\vv{0}$}

\subsection{Vecteurs colinéaires}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{Deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un  réel $k$ tel que  $\vv{u}=k\vv{v}$ ou $\vv{v}=k\vv{u}$}

\subsubsection{Remarques}

\begin{itemize}
\item Comme $\vv{0}=0\vv{u}$, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
\item Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
\end{itemize}

\subsection{Applications géométriques}

\subsubsection{avec les milieux}

 \textsf {\textsc{\small{milieu d'un segment}}}

\medskip

\cadreR{Étant donné un segment $[AB]$. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieu $I$ du segment $[AB]$ :
\begin{itemize}
\item[] $1)\quad\vv{AI}=\vv{IB}$ \qquad ou \qquad $2)\quad\vv{IA}+\vv{IB}=\vv{0}$ \qquad ou \qquad $3)\quad\vv{AB}=2\vv{AI}$ .
\item[] 4)\quad Pour tout point $M$ du plan $\vv{MA}+\vv{MB}=2\vv{MI}$.
\end{itemize}
}

\medskip

\dem

\begin{enumerate}
\item L'égalité $\vv{AI}=\vv{IB}$ caractérise le milieu $I$ du segment $[AB]$ (conséquence de la définition de l'égalité de deux vecteurs).
\item $I \text{ milieu du segment }[AB]  \iff   \vv{AI}=\vv{IB}  \iff   \vv{IA}=-\vv{IB}  \iff   \vv{IA}+\vv{IB}=\vv{0}$
\item $I \text{ milieu du segment }[AB] \iff   \vv{AI}=\vv{IB} \iff  2\vv{AI}=\vv{AI}+\vv{IB}\iff  2\vv{AI}=\vv{AB}$
\item Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$, alors pour tout point $M$ \[
\vv{MA}+\vv{MB}=\left(\vv{MI}+\vv{IA}\right)+\left(\vv{MI}+\vv{IB}\right)=2\vv{MI}+\underbrace{\vv{IA}+\vv{IB}}_{=\vv{0}}=2\vv{MI}\]
Réciproquement, la propriété  $\vv{MA}+\vv{MB}=2\vv{MI}$ étant vraie pour tout point $M$ on peut l'appliquer au point $I$.  Soit :  
\[\vv{IA}+\vv{IB}=2\vv{II}=\vv{0}\]
Ce qui prouve que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{théorème}}}

\medskip

\cadreR{Soit $ABC$ un triangle, $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$ alors $\vv{BC}=2\vv{IJ}$}

\medskip

\dem

\[\vv{BC}=\vv{BA}+\vv{AC}=2\vv{IA}+2\vv{AJ}=2\left(\vv{IA}+\vv{AJ}\right)=2\vv{IJ}\]

\subsubsection{Parallélisme et alignement}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires.
\item Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont colinéaires.
\end{itemize}
}
\medskip

\dem

\begin{itemize}
\item Si $(AB) // (CD)$ alors, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ ont la même direction donc ils sont colinéaires.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(2,.8)(7,1.8)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](0,.4)(8,2)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{|-|}(5,.6)(8,1.2)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](3,.2)(10,1.6)
\uput[d](2,.8){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[d](7,1.8){\footnotesize{\bleu $B$}}
\uput[d](5,.6){\footnotesize{\bleu $D$}}\uput[d](8,1.2){\footnotesize{\bleu $C$}}
  \end{pspicture}
\end{center}

Réciproquement si les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires alors, ils ont la même direction donc  $(AB) // (CD)$ 
\item  $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont colinéaires signifie donc $(AB) // (AC)$. Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.
\end{itemize}

\subsubsection{exemples}

\textsf {\textsc{\small{exemple 1 : construction de points}}}

\medskip

La méthode pour construire un point $M$ défini par une égalité vectorielle est d'obtenir une relation du type :\[\pnode(0.25em,0){O}\vv{{\Rougef{O}}M}\; = \; \Rougef{\vv{u}}\pnode(-.5em,0){u}\]\nput{-90}{O}{\Rougef $\overbrace{\substack{\text{origine}\\ \text{connue}}}$}\nput{-90}{u}{\Rougef $\overbrace{\substack{\text{vecteur}\\ \text{connu}}}$}
\linebreak
\emph{Soit trois points non alignés $A$, $B$ et $C$. Construire le point $M$ défini par $\vv{MA}-3\vv{MB}=\vv{AC}$}
\begin{itemize}
\item Choisissons par exemple $A$ comme \og\emph{origine connue}\fg
\[\begin{split}
\vv{MA}-3\vv{MB}=\vv{AC}& \iff  \vv{MA}-3\left(\vv{MA}+\vv{AB}\right)=\vv{AC}\\
&\iff  \vv{MA}-3\vv{MA}-3\vv{AB}=\vv{AC}\\
&\iff  -2\vv{MA}=3\vv{AB}+\vv{AC}\\
&\iff  \vv{MA}=-\dfrac{3}{2}\vv{AB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}\\
&\iff  \vv{AM}=\dfrac{3}{2}\vv{AB}+\dfrac{1}{2}\vv{AC}
\end{split}\]
\item Nous pouvons construire le point $M$ :
\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(9.5,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=vertf]{->}(0,0)(.5,2)
}
\pspolygon[linewidth=1pt](0,0)(6,1)(1,4)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(9,1.5)\bput{:U}{\bleu{\footnotesize{$\dfrac{3}{2}\vv{AB}$}}}
\rput(0,0){\u}{\u\aput{:U}{\vertf{\footnotesize{$\dfrac{1}{2}\vv{AC}$}}}} \rput(9,1.5){\u\bput{:U}{\vertf{\footnotesize{$\dfrac{1}{2}\vv{AC}$}}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf,linestyle=dashed](.5,2)(9.5,3.5)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(9.5,3.5)\aput{:U}{\prune{\footnotesize{$\vv{AM}$}}}
\uput[d](0,0){\footnotesize{$A$}}\uput[d](6,1){\footnotesize{$B$}}
\uput[u](1,4){\footnotesize{$C$}}\uput[u](9.5,3.5){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple 2 : parallélisme, alignement}}}

\medskip

Montrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs sont colinéaires.

\emph{Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[AC]$, $M$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$ et le point  $N$ est tel que  $\vv{AN} =\dfrac{1}{3}\vv{AB}$ . Les points $M$, $I$ et $N$ sont-ils alignés ?}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(6,3.9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=vertf]{->}(0,0)(.5,2)
}
\pspolygon[linewidth=1pt](0,0)(6,.9)(2,2.4)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2,.3)\bput{:U}{\bleu{\footnotesize{$\dfrac{1}{3}\vv{AB}$}}}
\pcline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf](6,.9)(2,2.4)\lput{:U}{\vertf {||}}
\pcline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf](2,2.4)(-2,3.9)\lput{:U}{\vertf {||}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=vertf](6,.9)(-2,3.9)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,3.9)(2,.3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$A$}}\uput[dr](6,.9){\footnotesize{$B$}}
\uput[u](2,2.4){\footnotesize{$C$}}\uput[l](1,1.2){\footnotesize{\prune $I$}}\uput[dr](2,.3){\footnotesize{\prune $N$}}\uput[l](-2,3.9){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item $I$ est le milieu du segment $[AC]$ donc  $\vv{AI} =\dfrac{1}{2}\vv{AC}$
\item $M$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$ donc $C$ est le milieu du segment $[BM]$ d'où $\vv{MC} =\vv{CB}$.
\end{itemize}

\medskip

Exprimons les vecteurs $\vv{MI}$ et $\vv{IN}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ :

\medskip

$\vv{MI} =  \vv{MC}+ \vv{CI} =\vv{CB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}=\vv{CA}+\vv{AB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}=\vv{AB}-\dfrac{3}{2}\vv{AC}$


$\vv{IN}=\vv{IA}+\vv{AN}=-\dfrac{1}{2}\vv{AC}+\dfrac{1}{3}\vv{AB}$

Ainsi, $\vv{MI} =  \vv{AB}-\dfrac{3}{2}\vv{AC}$ et $\vv{IN}=\dfrac{1}{3}\vv{AB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}$ d'où $\vv{MI}=3\vv{IN}$. 


Par conséquent, les vecteurs $\vv{MI}$ et $\vv{IN}$ sont colinéaires donc les points $M$, $I$ et $N$ sont alignés.


\section{Coordonnées}

\subsection{Repère du plan}


\cadreR{%
On appelle base tout couple $\left( \vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ de vecteurs non colinéaires.

Un repère du plan est un triplet $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ où $\mathrm{O}$ est un point du plan (appelé origine du repère) et $\left( \vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ une base.
}


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-2,0)(6,0)
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-.5,-1)(3,6)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}} \uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](2.8,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](1.5,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](.5,1){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\rput(2,-2){Repère quelconque}
  \end{pspicture} \hfill
  \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(6,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(2,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}} \uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](1,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,1.5){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$I$}}}\uput[l](0,3){\prune{\footnotesize{$J$}}}
\rput(2,-3){$(OI)\perp (OJ)$}
\rput(2,-2){Repère orthogonal}
  \end{pspicture}\hfill
  \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(6,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(3,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}} \uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](1.5,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,1.5){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\uput[d](3,0){\prune{\footnotesize{$I$}}}\uput[l](0,3){\prune{\footnotesize{$J$}}}
\rput(2,-2){Repère orthonormé}
\rput(2,-3){$(OI)\perp (OJ)$ et $OI = OJ$}
  \end{pspicture}
\end{center}
%
% \textsf{\textsc{{remarque}}}%
% 
% \medskip
% 
% La définition d'un repère par un triplet $\left(\mathrm{O};I,J\right)$ de points non alignés n'est pas remise en cause.
%
%Si les points  $\mathrm{O}$ , $I$ et $J$ ne sont pas alignés, les vecteurs  $\vv{\mathrm{O}I}=\vec{\imath}$ et $\vv{\mathrm{O}J}=\vec{\jmath}$ ne sont pas colinéaires et forment une base.


\subsection{Coordonnées d'un vecteur}

\cadreR{%
Le plan est muni d'un repère  $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. Soit $\vec{u}$ un vecteur. 

On appelle coordonnées du vecteur $\vec{u}$ les coordonnées du point $M \left(x;y\right)$ dans le repère  $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ tel que $\vv{\mathrm{O}M}=\vec{u}$.


On note indifféremment $\vec{u} \left(x;y\right)$ ou $\vec{u} \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$.
}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \qV{\rput{-25}(0,0){\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](0,-3.31)(0,5.52)}}
\def \qH{\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](-3,0)(5,0)}
\multido{\n=-3+1}{9}{\rput(\n,0){\qV}}
\multido{\n=-3+1,\rT=-.699+.233}{9}{\rput(\rT,\n){\qH}}
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-3,0)(5,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=.75pt]{->}(0,-3.31)(0,5.52)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(0,1.103)}
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-.4663,-2)(3.5337,-2)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(3.5337,-2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(-1.0674,4)(2.4663,2)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(-1.0674,4)(-1.5337,2)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(-1.0674,4)(2.9326,4)
\uput[l](0.1,0.5){\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[d](.75,0.1){\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\uput[dl](-.1,0){\prune{\footnotesize O}}
\uput[dr](3.5,-2){\bleu{\footnotesize $M$}}
\uput[ur](1,4){\prune{\footnotesize $x\vec{\imath}$}}
\uput[l](-1.3,3){\prune{\footnotesize $y\vec{\jmath}$}}
\uput[d](1.4,-2){\prune{\footnotesize $x\vec{\imath}$}}
\uput[r](3.8,-1){\prune{\footnotesize $y\vec{\jmath}$}}
\rput{-20}(1,3.2){\bleu{ $\vec{u}$}}
  \end{pspicture}
\end{center}


  \cadreB{
\begin{itemize}
\item $\left( x; y \right)$  sont les coordonnées du point $M$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ signifie que  $\vv{\mathrm{O}M}=x\vec{\imath} + y \vec{\jmath}$.
\item $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$  sont les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ signifie que  $\vec{u}=x\vec{\imath} + y \vec{\jmath}$.
\end{itemize}
}

\medskip

 \textsf{\textsc{{remarque}}}%
 
 \medskip
 
 Les coordonnées d'un vecteur dépendent du choix du repère.
 
 \medskip

 \textsf{\textsc{{exemple}}}%
 
 \medskip
 
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.

\begin{itemize}
 \begin{minipage}{\linewidth-7cm}%
\item Dans le repère $\left(A;\vv{AB},\vv{AC}\right)$ :

 
$A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$, $D(0;1)$, $\vv{AC}\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$ et $\vv{BD}\begin{pmatrix*}[r] -1\\1\end{pmatrix*}$\end{minipage} 
\hfill
\begin{minipage}{7cm}%
\begin{flushright}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](5,1)(7,4)(2,3)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](0,0)(7,4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2,3)(5,1)
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(5,1)\nbput*[nrot=:U]{\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(2,3)\naput*[nrot=:U]{\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](7,4){\bleu{\footnotesize $C$}}
\uput[ul](2,3){\bleu{\footnotesize $D$}}
\uput[u](3.5,2){\bleu{\footnotesize $O$}}
  \end{pspicture}
\end{flushright}\end{minipage} 

\begin{minipage}{\linewidth-7cm}%
\item Dans le repère $\left(\mathrm{O};\vv{OA},\vv{OB}\right)$ :

 $A(1;0)$, $B(0;1)$, $C(-1;0)$, $D(0;-1)$, $\vv{AC}\begin{pmatrix} -2\\0\end{pmatrix}$ et $\vv{BD}\begin{pmatrix*}[r] 0\\-1\end{pmatrix*}$
\end{minipage} 
\hfill
\begin{minipage}{7cm}%
\begin{flushright}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](0,0)(5,1)(7,4)(2,3)(0,0)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](3.5,2)(7,4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2,3)(3.5,2)
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(3.5,2)(0,0)\nbput*[nrot=:D]{\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(3.5,2)(5,1)\naput*[nrot=:U]{\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](7,4){\bleu{\footnotesize $C$}}
\uput[ul](2,3){\bleu{\footnotesize $D$}}
\uput[u](3.5,2){\bleu{\footnotesize $O$}}
  \end{pspicture}
\end{flushright}\end{minipage} 

\end{itemize}

\subsubsection{Propriétés des coordonnées}

  \cadreB{
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan, $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs :
\begin{itemize}
\item $\vec{u}=\vec{0}$  équivaut à $x=0$ et $y=0$.
\item $\vec{u}=\vec{v}$  équivaut à $x=x'$ et $y=y'$.
\item Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$  a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x +x'\\ y+ y' \end{pmatrix}$.
\item pour tout réel $k$, le vecteur $k\vec{u}$  a pour coordonnées $\begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix}$.
\end{itemize}
}
  
\subsection{Coordonnées du vecteur $\protect\vv{\text{AB}}\protect$}

\cadreR{%
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan et deux points  $A \left( x_A ; y_A \right)$ et $B \left( x_B ; y_B \right)$. 

Les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$ dans le repère  $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ sont  $\vv{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.
}


\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \qV{\rput{-25}(0,0){\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](0,-2.21)(0,5.52)}}
\def \qH{\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](-3,0)(5,0)}
\multido{\n=-3+1}{9}{\rput(\n,0){\qV}}
\multido{\n=-2+1,\rT=-.466+.233}{8}{\rput(\rT,\n){\qH}}
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-3,0)(5,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=.75pt]{->}(0,-2.21)(0,5.52)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(0,1.103)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(-1.0674,4)(3.2331,1)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(-1.0674,4)(3.9326,4)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(3.9326,4)(3.2331,1)
\uput[l](0.1,0.5){\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[d](.5,0.1){\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\uput[dl](-.1,0){\prune{\footnotesize O}}
\uput[ul](-1.0674,4){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](3.2331,1){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](1,4){\prune{\footnotesize $\left( x_B - x_A \right)\vec{\imath}$}}
\uput[r](3.5,2.5){\prune{\footnotesize $\left( y_B - y_A \right)\vec{\jmath}$}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\dem

D'après la relation de Chasles $\vv{AB}= \vv{AO}+\vv{OB}=\vv{OB} -\vv{OA}$. Donc les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$ sont  $\vv{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.


\subsection{Coordonnées du milieu d'un segment}

\cadreR{%
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan et deux points  $A \left( x_A ; y_A \right)$ et $B \left( x_B ; y_B \right)$. 

Les coordonnées du milieu  $I \left( x_{I} ; y_{I} \right)$ du segment $[AB]$ sont : \[x_{I}= \frac{x_A + x_B}{2}  \; \text{ et } \; y_{I}= \frac{y_A + y_B}{2}\]
}

\medskip

\dem

$I$ est le milieu du segment $[AB]$ d'où $2 \vv{\mathrm{O}I} = \vv{\mathrm{O}A}+\vv{\mathrm{O}B}$ soit $\vv{\mathrm{O}I} = \dfrac{1}{2}\left( \vv{\mathrm{O}A}+\vv{\mathrm{O}B}\right)$


\subsection{Condition de colinéarité}

\cadreR{%
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan. Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si, et seulement si,\[xy'-x'y=0\]
}

\medskip

\dem

\begin{itemize}
\item Dans le cas où l'un des deux vecteurs est nul, les vecteurs sont colinéaires et la relation $xy'-x'y=0$ est vérifiée car $x=y=0$ ou $x'=y'=0$.
\item Dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls, dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{v}$. Soit $\begin{cases}x'=kx\\y'=ky\end{cases}$ ce qui équivaut à $xy'-x'y=0$.
\end{itemize}
 
 \medskip

 \textsf{\textsc{{exemple}}}%
 
 \medskip
 
Dans la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle, $K$ est le milieu de $[BC]$, $L$ est le symétrique du point $A$ par rapport à $B$. 

Déterminer la position du point $M$ sur la droite $(AC)$ pour que les points $K$, $L$ et $M$ soient alignés.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(13,3.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](13,0)(0,0)(2.1,3)(6,0)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0.34,2.2)(13.06,-.2)
\psdots[linecolor=prune](1.4,2)(4.05,1.5)(12,0)
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[d](6,0){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[u](2.1,3){\bleu{\footnotesize $C$}}
\uput[ul](1.4,2){\prune{\footnotesize $M$}}
\uput[ur](4.05,1.5){\prune{\footnotesize $K$}}
\uput[d](12,0){\prune{\footnotesize $L$}}
  \end{pspicture}
\end{center}


Dans le repère $\left(A;\vv{AB},\vv{AC}\right)$ nous avons $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$.

\begin{itemize}
\item Les coordonnées du point $K$  milieu du segment $[BC]$ sont $K \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)$.
\item $L$ est le  symétrique du point $A$ par rapport à $B$ donc $\vv{AL} = 2 \vv{AB}$. Les coordonnées du point $L$ sont $L\left( 2 ; 0 \right)$.
\item $M$ est un point de la droite $(AC)$ donc $\vv{AM}=y\vv{AC}$ d'où $M$ a pour coordonnées $M \left( 0 ; y \right) $.
\end{itemize}

Les points $K$, $L$ et $M$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vv{LK}$ et $\vv{LM}$ sont colinéaires.

Calculons les coordonnées des vecteurs $\vv{LK}$ et $\vv{LM}$ :  \[\begin{split}
&\vv{LK} \begin{pmatrix} x_K - x_L \\ y_K - y_L \end{pmatrix} \qquad\text{soit} \qquad \vv{LK}\begin{pmatrix*}[r] \dfrac{1}{2}-2\\[.75em]\dfrac{1}{2}-0\end{pmatrix*}\iff  \vv{LK}\begin{pmatrix*}[r] -\dfrac{3}{2}\\[.75em]\dfrac{1}{2}\end{pmatrix*}\\
\text{et \quad}& \vv{LM} \begin{pmatrix} x_M - x_L \\ y_M - y_L \end{pmatrix} \qquad\text{soit} \qquad \vv{LK}\begin{pmatrix*}[r] 0-2\\y-0\end{pmatrix*}\iff  \vv{LM}\begin{pmatrix*}[r] -2\\y\end{pmatrix*}
\end{split}\] 

Les vecteurs $\vv{LK}$ et $\vv{LM}$ sont colinéaires pour $y$ solution de l'équation :\[-\dfrac{3}{2}\times y - (-2)\times \dfrac{1}{2} = 0 \iff  -\dfrac{3}{2} \times y = -1 \iff  y = \dfrac{2}{3}\]

Ainsi, $M$ est le point de la droite $(AC)$ tel que $\vv{AM} = \dfrac{2}{3} \vv{AC}$

\subsection{Distance dans un repère orthonormé}

\cadreR{%
Soient $A \left( x_A ; y_A \right)$ et $B \left( x_B ; y_B \right)$ deux points du plan muni d'un repère \emph{orthonormal} $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$, la distance $AB$ est donné par \[AB=\sqrt{{\left( x_B - x_A \right)}^2 + {\left( y_B - y_A \right)}^2}\]
}

\medskip

\dem

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(6,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-1)(6,5)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.5,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,0.5){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](-2,1.5)(4,4)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,1.5)(4,1.5)(4,4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](3.75,1.5)(3.75,1.75)(4,1.75)
\uput[dl](-2,1.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](4,4){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[dr](4,1.5){\prune{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](1.5,1.5){\prune{\footnotesize{$ x_B - x_A$}}}
\uput[r](4,2.75){\prune{\footnotesize{$y_B - y_A$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}


Comme $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ est un repère orthonormal, le triangle $AMB$ est un triangle rectangle en $M$. 

D'après le théorème de Pythagore :\[\begin{split}
&{AB}^2 = {AM}^2+ {MB}^2\\
\text{Soit }\:&{AB}^2=\left( x_B - x_A \right)^2 + \left( y_B - y_A \right)^2\\
\text{d'où }\:&{AB}=\sqrt{{\left( x_B - x_A \right)}^2 + {\left( y_B - y_A \right)}^2}
\end{split}\]

\medskip

 \textsf{\textsc{{exemple}}}%
 
 \medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. On considère les points $A(-1;-2)$, $B(2;2)$ et $C(-2;5)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? 

\medskip

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle $ABC$ :

\medskip

\begin{itemize}
\item $AB=\sqrt{{\left(2-(-1)\right)}^2+{\left(2-(-2)\right)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
\item $AC=\sqrt{{\left(-2-(-1)\right)}^2+{\left(5-(-2)\right)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
\item $BC=\sqrt{{(-2-2)}^2+{(5-2)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
\end{itemize}

\medskip

Nous avons $AC^2=AB^2+BC^2$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. 

En outre $AB=BC$ donc $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $B$.


\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 


\exo 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(40,20)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(40,20)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \fig#1#2{
\pspolygon[linewidth=#1,linecolor=#2](0,4)(1,5)(2,4)(3,5)(4,4)(4,3)(3,2)(3,1)(2,0)(1,1)(1,2)(0,3)(0,4)
}
\psset{unit=.8cm}
\rput(1,2){\fig{1.5pt}{bleu}\uput[d](2,0){\bleu{$A$}}}
\cput[linecolor=bleu](3,4.5){\bleu $\mathcal{F}_1$}
%\rput(14,4.5){\fig{1pt}{prune}\uput[ur](4,4){\bleu{$B$}}}
%\rput(6,1){\fig{1pt}{green}\uput[ur](2,0){\bleu{$C$}}}
\uput[d](8,1){\prune{$B$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(3,2)(8,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(11,.5)(19,4)
\uput[d](15,2.25){\prune{\large{$\vv{u}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tracer la figure $\mathcal{F}_2$ image de la figure $\mathcal{F}_1$ par la translation de vecteur $\vv{AB}$.
\item Tracer la figure $\mathcal{F}_3$ image de la figure $\mathcal{F}_2$ par la translation de vecteur $\vv{u}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(30,12)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,0)(30,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.1,10.3)(29.5,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.2,2.8)(23.28,11.98)
\uput[ul](5,7){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](9,1){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[dl](0,3){\prune {$\mathcal{D}$}}
\uput[ul](30,1){\prune {$\Delta$}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](5,7)(9,1)
%\psline[linewidth=.5pt](2.8,-3.2)(30,7)
\end{pspicture}
\end{center}

	Construire un point $E$ sur la droite $\Delta$ et un point $F$ sur la droite $\mathcal{D}$ de façon que $ABEF$ soit un parallélogramme.

\bigskip

\exo 


\begin{center}
\psset{unit=.42cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(30,7)
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(30,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](3,0)(14,0)(18,7)(7,7)(3,0)
\psdot[linecolor=bleu](15.7143,3)
\uput[dl](3,0){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](14,0){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[ur](18,7){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\uput[ul](7,7){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{D}}}}}
\uput[dr](15.7143,3){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{M}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

$ABCD$ est un parallélogramme. $M$ est un point du segment $[BC]$.

\begin{enumerate}
\item Construire le point $N$ tel que le quadrilatère $AMNB$ soit un parallélogramme.
\item Montrer que les segments $[CM]$ et $[DN]$ ont le même milieu.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 


Placer les points $M$ et $N$ tels que $\vv{AM}=\vv{u}+\vv{v}$  et $\vv{AN}=\vv{w}-\vv{v}$
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(32,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(8,2)
}
\def \v#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(4,-3)
}
\def \w#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(-2,-5)
}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,10)
\rput(2,6){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{u}$}}}
\rput(1,5){\v{1.5pt}{prune}\aput{:U}{\prune{$\vv{v}$}}}
\rput(9,6){\w{1.5pt}{vertf}\aput{:D}{\vertf{$\vv{w}$}}}
\psdot[dotstyle=x,linecolor=bleu](18,6)
\uput[ul](18,6){$A$}
  \end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 
 
 \exo 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,0)(26,15)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,0)(26,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psdots[linecolor=bleu,dotstyle=x](3,5)(12,4)(6,11)
\uput[dl](3,5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](12,4){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[u](6,11){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Placer les points $M$ et $N$ tels que  $\vv{AM} =\vv{AB}+\vv{AC}$ et $\vv{MN} =\vv{AB}-\vv{AC}$.
	\item Montrer que $B$ est le milieu du segment $[AN]$.
\end{enumerate}
	
 \bigskip
  \exo 

 \medskip 

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. 

\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}+\vv{OD}=\vv{0}$
	\item En déduire que pour tout point $M$ du plan,  $\vv{MA}+\vv{MB}+\vv{MC}+\vv{MD}=4\vv{MO}$.	
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo
 
 \medskip
 
 Soit un triangle $ABC$. Construire les points $M$ et $N$ tels que  $\vv{MA}+\vv{MB}=\vv{BC}$ et $\vv{NA}+\vv{NC}=\vv{CB}$.
 
 \bigskip
  
\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $M$ le point du plan tel que $3\vv{MA}+\vv{MB}-2\vv{MC}= \vv{0}$. 

Exprimer le vecteur $\vv{AM}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.  Construire le point $M$ dans la figure ci-dessous.
\item Construire le point $N$ tel que $2\vv{AN}+\vv{BN}=2\vv{CN}$.
\item Les points $A$, $M$ et $N$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(22,12)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-2)(22,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](6,8)(2,0)(14,2)(6,8)
\uput[u](6,8){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dl](2,0){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[d](14,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Soit un triangle $ABC$ et les milieux $I$, $J$, et $K$ des côtés $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $M$ et $N$ tels que $\vv{MA}+\vv{MB}=\vv{AC}$ et $\vv{NA}+\vv{NC}=\vv{AB}$.
\item Les droites $(MN)$ et $(IJ)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo 

 \medskip 

$ABCD$  est un parallélogramme.

\begin{enumerate}	
\item	Placer les points $E$ et $F$ définis par les égalités : $\vv{DE}=\dfrac{3}{4} \vv{AB}$ et $\vv{AF}=-\dfrac{4}{3} \vv{AD}$   
\item	Exprimer le vecteur $\vv{AE}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AD}$.
\item	Exprimer le vecteur $\vv{BF}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AD}$.
\item	Montrer que les droites  $(AE)$ et $(BF)$ sont parallèles.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,0)(26,13)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,0)(26,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psset{unit=1cm}
\psdots[linecolor=bleu,dotstyle=x](2,2)(6,2.5)(3,4)
\uput[dl](2,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](6,2.5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[u](3,4){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $M$, $N$ et $P$ tels que  $\vv{AM} =\vv{AB}+\vv{AC}$, $\vv{AN} =\dfrac{3}{2}\vv{AB}$ et $\vv{AP} =2\vv{AC} -\vv{AB}$.
\item Exprimer le vecteur $\vv{MN}$  en fonction des vecteurs $\vv{AB}$  et $\vv{AC}$.
	\item Montrer que les droites  $(MN)$ et $(AP)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
 
 \pagebreak

\exo 


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,0)(28,11)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,0)(28,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psset{unit=1cm}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](3,4)(6,3.5)(5,1.5)(2,2)(3,4)
\uput[ul](3,4){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dl](2,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[dr](5,1.5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\uput[ur](6,3.5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{D}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item $ABCD$ est un parallélogramme. Placer les points $E$ et $F$ tels que  $\overrightarrow {AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AF}=3\overrightarrow {AD}$.
	\item Exprimer les vecteurs  $\overrightarrow {CE}$ et $\overrightarrow {CF}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$  et $\overrightarrow {AD}$ . En déduire que les points $E$, $C$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(30,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(30,12)
\uput[dl](4,2){\small{\textsf {\bleu{A}}}} \uput[dr](16,2){\small{\textsf {\bleu{B}}}}
\uput[ul](7,8){\small{\textsf {\bleu{D}}}} \uput[ur](19,8){\small{\textsf {\bleu{C}}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(4,2)(16,2)(19,8)(7,8)(4,2)
\end{pspicture}
\end{center}

$ABCD$ est un parallélogramme. 
\begin{enumerate}
	\item  Placer les points $E$, $F$ et $G$ tels que :  $\vv{AE} = \dfrac{4}{3}\vv{AB}$, $\vv{FD} = -\dfrac{1}{3}\vv{AD}$ et $\vv{AG} = \dfrac{1}{3}\vv{AB} + \vv{AD}$.
	\item Exprimer le vecteur $\vv{EF}$  en fonction des vecteurs $\vv{AB}$  et $\vv{AD}$.
	\item Les points $E$, $F$ et $G$  sont-ils alignés ?
\end{enumerate} 

 \bigskip 


\exo 

 \medskip 

Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $M$ et $N$ tels que  $\overrightarrow {BM} = 2 \overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow {AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} +\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

\medskip

Les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont-elles parallèles ?

\bigskip



\exo 

 \medskip 

$ABCD$  est un parallélogramme.

\begin{enumerate}	
\item	Placer les points $E$ et $F$ définis par les égalités : $\vv{DE}=\dfrac{3}{4} \vv{AB}$ et $\vv{AF}=-\dfrac{4}{3} \vv{AD}$   
\item	Les droites  $(AE)$ et $(BF)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-9,-4)(23,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-9,-4)(23,11)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](0,0)(4,-1)(2,3)(0,0)
\uput[l](0,0){\bleu $A$}\uput[dr](4,-1){\bleu $B$}\uput[ul](2,3){\bleu $C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ le point défini par $\vv{MA}-3\vv{MC}=\vv{AB}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer le vecteur $\vv{AM}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.
\item Placer le point $M$ sur la figure.
\end{enumerate}
\item Dans le repère $\left( A ; \vv{AB}, \vv{AC} \right)$ on considère le point $D$ de coordonnées $\left( 1 ; 1 \right)$
\begin{enumerate}
\item Placer le point $D$ sur la figure.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
\end{enumerate}
\item Les droites $\left( BC \right)$ et $\left( DM \right)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle.

	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(30,12)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(30,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{unit=1cm}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](3,2)(8,1)(6,5)(3,2)
\uput[dl](3,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[d](8,1){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[u](6,5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $I$, $J$ et $K$ tels que   $\vv{AI} =2\vv{AB}$, $\vv{AJ} =\dfrac{2}{3}\vv{AC}$  et $K$ milieu du segment $[BC]$.
\item Exprimer les coordonnées des points   $I$, $J$ et $K$ dans le repère $\left( A ; \vv{AB}, \vv{AC} \right)$.
	\item Les points $I$, $J$ et $K$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate} 

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 
 
Dans le plan muni d'un repère $\left( {\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$,  on considère les points $A\left( -1;2 \right)$, $B\left( -2;-3 \right)$, $C\left( 7;0 \right)$ et $D\left( 5;4 \right)$.

\medskip

Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?

\bigskip

  \exo 

 \medskip 

Dans le plan muni d'un repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$, on considère les points $A\left(-4;-1\right)$, $B\left(3;2\right)$  et  $C\left(4;-1\right)$.

\begin{enumerate}
	\item Les points  $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? 
	\item Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que  $\vv{BD}=2\vv{BA}+\vv{AC}$.
	
	Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip

Soit $\left(\mathrm {O};\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$ un repère du plan. On considère les points $A(-2;2)$, $B\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)$  et $C\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3}\right)$.
\begin{enumerate}
	\item Les points  $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? 
	\item Déterminer l'ordonnée $y$ du point $D\left(-\dfrac{1}{3};y\right)$ tel que  les points  $A$, $B$ et $D$ soient alignés.
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Dans le plan muni d'un repère \Oij{} on donne les points $A( -1;1)$, $B(2;1)$ et $C(-2;3)$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que $\vv{AM}=2\vv{BC}$.
	\item Déterminer les coordonnées du point $P$ tel que $\vv{BA}+2\vv{BC}+\dfrac{3}{2}\vv{BP}=\vv{0}$.
	\item Les points $B$, $M$ et $P$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo 

 \medskip 
 
Dans le plan muni d'un repère $\left( {\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$,  on considère les points $A\left( 3;4 \right)$, $B\left( -2;1 \right)$ et $C\left( 2;-2 \right)$.

\begin{enumerate}
	\item  Soit $G$ le point du plan tel que  $\vv{GA}+\vv{GB}+\vv{GC}  = \vec{0}$.	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que  $3\vv{OG}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$.
	\item En déduire les coordonnées du point $G$.
\end{enumerate}
\item	Soit $I$ le milieu de $\left[BC\right]$ . Montrer que les vecteurs $\vv{AG}$  et  $\vv{AI}$ sont colinéaires.
\item	Soit $J$ le milieu de $\left[AC\right]$ . Les points $B$, $G$ et $J$ sont-ils alignés ?	
\item  Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?	
\end{enumerate}

 \bigskip 
 

\exo 

 \medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$, on considère les points $A(4;-2)$, $B(2;2)$, $C(-4;-1)$ et $D(-2;-5)$.

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Placer le point $E$ tel que le quadrilatère $ABEC$ soit un parallélogramme.
	\item Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[BC]$.
	\item Les points $A$, O et $M$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les distances $AC$ et $BD$.
	\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \bigskip 
 \exo 

 \medskip 


Le plan est muni d'un repère orthonormé (\emph{unités graphiques 1 cm sur chaque axe})

\begin{enumerate}
\item Placer les points $A(-4;-3)$,  $B(-1;3)$ et $C (3;1)$.
\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme puis, placer $D$ sur la figure.
\item Calculer les coordonnées du centre $I$ du parallélogramme $ABCD$.
\item Soit $M$ le point défini par \[6 \vv{BM} = 4 \vv{AC}+ 7\vv{CB}\] 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\vv{BM}=-\dfrac{2}{3}\vv{BA}-\dfrac{1}{2}\vv{BC}$.
\item Construire le point $M$ sur la figure (\emph{on laissera apparents les traits de construction}).

\item Calculer les coordonnées de $M$.
\end{enumerate}
\item Les points $D$, $I$ et $M$ sont-ils alignés? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

 \bigskip
   
\exo 

 \medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A\left(-5;1\right)$, $B\left(3;-3\right)$, $C\left(5;1\right)$ et  $E\left(2;0\right)$.
	\item
	\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[AB]$.
	\item Les points $E$, $C$ et $M$ sont-ils alignés ?
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$.
	\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Calculer les distances $AC$ et $BD$.
	\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
	\end{enumerate}
	\item Placer le point $N$ de coordonnées $\left(1;3\right)$. 
	
	Les droites $\left(AN\right)$ et $\left(EC\right)$ sont-elles parallèles ?
	\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

\begin{enumerate}
	\item  Placer les points $A\left(-2;\dfrac{5}{2}\right)$, $B\left(4;-\dfrac{1}{2}\right)$  et  $C\left(3;-\dfrac{5}{2}\right)$.
	\item Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $\left[AB\right]$.
	\item Le vecteur $\vec{u}\left(2;4\right)$  est-il colinéaire au vecteur $\vv{AB}$  ? au vecteur $\vv{BC}$ ?
	\item Soit $D\left(-1;y\right)$ où $y$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer $y$ pour que le point $D$ appartienne à la droite $\left(CI\right)$. 
	
	Placer le point $D$ dans le repère.
	\item Quelle est la nature du quadrilatère $ACBD$ ?
	\end{enumerate}
	 	
	\item Le point $B$ appartient-il au cercle de diamètre $\left[AC\right]$ ?
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{FONCTION CARRÉ}

\minitoc

\newpage

\section{Fonction carré}

\subsection{Définition}

\cadreR{La fonction carré est la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$}

\subsubsection{Propriétés}

\begin{itemize}
 \item Un carré est toujours positif ou nul.  Pour tout réel $x$, on a $x^2 \geqslant 0$.
 \item Un nombre et son opposé ont le même carré.   Pour tout réel $x$, on a $x^2 = {(-x)}^2$.
 \end{itemize}

\subsection{Variations de la fonction carré}

\cadreR{La fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur  $[0; +\infty[$
}

\subsubsection{Tableau des variations de la fonction carré}

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.5){$x$} \rput(2,2.5){$- \infty$} \rput(5.75,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.3){\rnode{B}{$0$}} \rput(9.5,1.7){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture} 
\end{center}
\dem

Soient $a$ et $b$ deux réels et $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.

\[ f(a)-f(b)= a^2 -b^2 =(a-b)(a+b)\] 
 \begin{itemize}
 \item Si $a <b \leqslant 0$ :

$a <b \Leftrightarrow a-b <0$ et $a <b \leqslant 0 \Leftrightarrow a+b <0$ donc $f(a)-f(b) > 0$

Ainsi, sur l'intervalle $]-\infty; 0]$ si $a <b $, alors $f(a)>f(b)$. La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty; 0]$.
 
 \item Si $0\leqslant a <b$ :

$a <b \Leftrightarrow a-b <0$ et $0\leqslant a <b  \Leftrightarrow a+b >0$ donc $f(a)-f(b) < 0$

Ainsi, sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ si $a <b $, alors $f(a)<f(b)$. La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
 \end{itemize}

\subsubsection{Conséquences} 

\cadreB{
\begin{itemize}
 \item Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire. Si $a \leqslant b \leqslant 0$ alors $a^2  \geqslant b^2$
\item Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si $0 \leqslant a \leqslant b $ alors $a^2  \leqslant b^2$
 \end{itemize} 
}
  
 \medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

  Déterminer un encadrement de $x^2$ pour $-3 \leqslant x \leqslant 2$.
	
La fonction carré $f$ n'est pas monotone sur l'intervalle  $[-3 ; 2]$. 

$f$ est décroissante sur $[-3 ; 0]$ et croissante sur $[0 ; 2]$.


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\extracolsep{\fill}}m{8cm}@{}}
\begin{itemize}
 \item  Si $-3 \leqslant x \leqslant 0$ alors $0 \leqslant x^2  \leqslant 9$
 
 \medskip
 
\item Si $0 \leqslant x \leqslant 2$ alors $0 \leqslant x^2  \leqslant4$
 \end{itemize} 
 & \psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.5){$x$} \rput(2,2.5){$- 3$} \rput(5.75,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$2$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{9}} \rput(5.75,.3){\rnode{B}{$0$}} \rput(9.5,1.7){\rnode{C}{4}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

D'après les variations de la fonction carré, si $-3 \leqslant x \leqslant 2$ alors $0 \leqslant x^2  \leqslant 9$

	
\subsection{Courbe représentative}

\cadreR{
La courbe représentative de la fonction carré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$ est la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$.
}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(5,5)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(5,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.162}{3.162}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-1,0)(-1,1)(1,1)(1,0)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-1,-1)(4,4)
\uput[dr](3.1,10){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\uput[dr](4,4){\prune{\footnotesize{$y=x$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{remarque :}}}

\medskip

Si $0 \leqslant a \leqslant 1$ alors $a^2  \leqslant a$. Sur l'intervalle $[0;1]$, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ est au dessous de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.

\subsection{Équations, inéquations}

\subsubsection{Équations $x^2 = k$ avec $k$ réel}

\begin{itemize}
\item Si $k<0$, comme un carré est positif, l'équation $x^2=k$ n'a pas de solution.
\item Si $k=0$, l'équation $x^2=0$ a pour unique solution $x=0$
\item Si $k>0$, résoudre l'équation $x^2=k$, revient à résoudre l'équation $x^2 -k=0\Leftrightarrow \left( x + \sqrt{k}\right)\left( x - \sqrt{k}\right)=0$.

On obtient les deux solutions $x=- \sqrt{k}$ ou $x= \sqrt{k}$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}}}
\fbox{$k < 0$} & \fbox{$k=0$} & \fbox{$k>0$}\\[.5em]

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-2)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{3}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4.5,-1.5)(4.5,-1.5)
\uput[dr](0,-1.5){\prune{\footnotesize{$k$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-2)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{3}{\f}
\psdot[linecolor=prune](0,0)
\end{pspicture} &
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-2)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,4)(2,4)(2,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4.5,4)(4.5,4)
\psdots[linecolor=prune](-2,4)(2,4)
\uput[ur](0,4){\prune{\footnotesize{$k$}}}
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\sqrt{k}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$\sqrt{k}$}}}
\end{pspicture} \\
\small{$x^2=k$ n'a pas de solution} & \small{$x^2=0$ a pour unique solution $0$} & \small{$x^2=k$ a deux solutions $- \sqrt{k}$ ou $\sqrt{k}$}\\
\end{tabularx}

\subsubsection{Inéquations $x^2 \leqslant k$ ou $x^2 \geqslant k$ avec $k$ réel}

Résoudre une inéquation $x^2 \leqslant k$ ou $x^2 \geqslant k$ avec $k$ réel revient à étudier le signe de $x^2 -k$.

\medskip

\begin{minipage}[t]{.38\linewidth}
\begin{center}
\fbox{$k<0$}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-2)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{3}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4.5,-1.5)(4.5,-1.5)
\uput[dr](0,-1.5){\prune{\footnotesize{$k$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{itemize}
\item[] L'inéquation $x^2\leqslant k$ n'a pas de solution :\[S=\varnothing \vphantom{\left[\sqrt{k} \right]}\]
\item[] L'inéquation $x^2\geqslant k$ est toujours vraie :\[S=\R \vphantom{\left[\sqrt{k} \right]}\]
\end{itemize}
\end{minipage}\quad \vrule \quad
\begin{minipage}[t]{.6\linewidth}
\begin{center}
\fbox{$k>0$}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-2)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.75pt, linecolor=bleu]{-3}{3}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,4)(2,4)(2,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4.5,4)(4.5,4)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{[-]}(-2,0)(2,0)
\uput[ur](0,4){\prune{\footnotesize{$k$}}}
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\sqrt{k}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$\sqrt{k}$}}}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-2)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3}{-2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.75pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{2}{3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,4)(2,4)(2,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4.5,4)(4.5,4)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{-]}(-5,0)(-2,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{[->}(2,0)(5,0)
\uput[ur](0,4){\prune{\footnotesize{$k$}}}
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\sqrt{k}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$\sqrt{k}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{itemize}
\item[] L'inéquation $x^2\leqslant k$ a pour ensemble solution :\[S=\left[ -\sqrt{k} ; \sqrt{k} \right]\]
\item[] L'inéquation $x^2\geqslant k$ a pour ensemble solution :\[S=\left] -\infty ; -\sqrt{k}\right]\cup \left[\sqrt{k} ; +\infty \right[\]
\end{itemize}
\end{minipage}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'inéquation $x^2 > 9$.

\medskip

Pour tout réel $x$, \[x^2 > 9 \Leftrightarrow x^2 -9 > 0 \Leftrightarrow(x+3)(x-3) >0\]

Étudions le signe du produit $(x+3)(x-3)$ à l'aide d'un tableau de signe.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=0.6pt](16,4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1)(16,1)\psline[linewidth=0.6pt](0,2)(16,2)\psline[linewidth=0.6pt](0,3)(16,3)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,4)
 \psset{arrows=-,linewidth=.5pt} 
 \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$-3$} \rput(11.5,3.5){$3$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$x+3$} \rput(5.5,2.5){$-$}\pnode(7.5,3){m3}\pnode(7.5,2){m2}\ncline{m3}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$} \pnode(11.5,3){n3}\pnode(11.5,2){n2}\ncline{n3}{n2}\rput(13.5,2.5){$+$} 
 \rput(1.5,1.5){$x-3$} \rput(5.5,1.5){$-$}\pnode(7.5,1){m1}\ncline{m2}{m1} \rput(9.5,1.5){$-$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n2}{n1}\ncput*{0}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)$} \rput(5.5,0.5){$+$}\pnode(7.5,0){m0}\ncline{m1}{m0}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$-$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$+$}  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 > 9$ est $S=\left] - \infty ; -3\right[ \cup \left]3 ; + \infty \right[$.



\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\medskip

Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant :

\begin{itemize}
\item[\og]  Pour tout nombre réel $x$, $x+1 \geqslant x$. D'où ${(x+1)}^2 \geqslant x^2$

Soit en développant $x^2 + 2x +1 \geqslant x^2$

On en déduit que $2x +1 \geqslant 0$ soit $x \geqslant -\dfrac{1}{2}$ et donc finalement que tout nombre réel est plus grand que $-\dfrac{1}{2}$. \fg
\end{itemize}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip

$f$ est la fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$. Sa courbe représentative est la parabole $(\mathcal{P})$ tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-2)(12,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-2)(12,15)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=4]{->}(0,0)(-6,-4)(6,30)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,30){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5.477}{5.477}{\f}
\uput[dl](6,26){\bleu $(\mathcal{P})$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Calculer les images des réels :  $-\sqrt{6}$, $1-\sqrt{2}$, $10^{-2}$  et $\dfrac{7}{13}$.
	\item Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?
	\item Soit $g$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $g(x) = \dfrac{3}{2}x +10$.
	
\begin{enumerate}
	\item Tracer dans le repère précédent, la courbe $D$ représentative de la fonction $g$.
	\item Lire graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$. 
	\item En déduire une factorisation de $E(x)=x^2-\dfrac{3}{2}x -10$.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

 \bigskip 

  \exo 

 \medskip 

 Soit $x$ un nombre réel.
\begin{enumerate}
	\item L'affirmation \og Si $x^2 \geqslant 9$ alors $x \geqslant 3$ \fg{} est-elle vraie ?
	\item Écrire une proposition équivalente à :  $x^2 \geqslant 9$ .
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation ${\left( x-3 \right)}^2=25$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation ${\left(1-2x \right)}^2 \geqslant 9$.
\end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo 

 \medskip 

Soit $x$ un réel de l'intervalle $\left[-0,5 ; 3\right]$. 	
\begin{enumerate}
	\item Donner un encadrement de $x^2$ puis de $x^2-4x$
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $x^2-4x= \left(x-2\right)^2-4$.
	\item En déduire un deuxième encadrement de $x^2-4x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

$f$ est la fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
 
Sa courbe représentative est la parabole $(\mathcal{P})$  tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-2)(14,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-2)(14,16)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-7,-4)(7,32)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,32){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5.657}{5.657}{\f}
\uput[dr](5.7,32){\bleu $(\mathcal{P})$}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4,7.5)(-5,21)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Calculer les images des réels : $\left({-10^{-3}}\right)$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $2-\sqrt{3}$.
	\item Quels sont les antécédents éventuels de 20 ?
	\item Le point $A\left(3,6 ; 13\right)$ appartient-il à la parabole $(\mathcal{P})$  ?
	\item Soit  $a$ un réel tel que : $-3 \leqslant a \leqslant 2$. Déterminer un encadrement de $a^2$.
	\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-3)=18$ et $g(5)=6$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de de $g(x)$ en fonction de $x$.
		\item Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}	 
\item Montrer que $f(x)-g(x)=\left(x+\dfrac{9}{2}\right)\left(x-3\right)$. 
\item	Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$. 
\item	Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite $D_g$ avec la parabole  $(\mathcal{P})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

$f$ est la fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
 
Sa courbe représentative $(\mathcal{P})$  est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-2)(14,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-2)(14,16)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-7,-4)(7,32)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,32){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.65685}{5.65685}{\f}
\rput(5.6,27){\bleu $(\mathcal{P})$}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-6,6)(2,26)
\end{pspicture}
\end{center}

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer les images des réels : $\left(-\dfrac{4}{5}\right)$ $\left(-\sqrt{6}\right)$, $\left(1-\sqrt{3}\right)$, $10^{-3}$  et $\dfrac{7}{13}$.
	\item Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?
	\item Placer dans le repère précédent le point $A$ de coordonnées $A\left(-\dfrac{9}{2} ; 20\right)$.
	
	Le point $A$ appartient-il à la parabole $(\mathcal{P})$  ?
	\item Résoudre dans l'ensemble des réels l'inéquation $f(x) \geqslant 8$.
	\item Soit  $a$ un réel tel que : $-\dfrac{\sqrt{2}}{3} \leqslant a \leqslant -0,1$. Déterminer un encadrement de $a^2$.
	\item Si $x \in \left] -1 ; 10^{-2}\right]$, à quel intervalle appartient $f(x)$ ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-6)=6$ et $g(2)=26$.	
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de de $g(x)$ en fonction de $x$.
		\item Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite $D_g$ avec la parabole  $(\mathcal{P})$.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$. 
\end{enumerate}

 \bigskip  
 
\exo 

 \medskip
 Recopier et compléter les égalités suivantes :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{XX}}
\setdefaultenum {A.\;}{}{}{}
\begin{enumerate}
 \item $x^2 +2x =  {\left( x+1\right)}^2 - \cdots$ 
 \item $x^2 -x =  {\left( x- \dfrac{1}{2}\right)}^2 - \cdots$
  \item $x^2 +3x -1 =  {\left( x + \dfrac{3}{2}\right)}^2 - \cdots$ 
 \item $x^2 -5x +7=  {\left( x- \dfrac{5}{2}\right)}^2 + \cdots$ 
 \end{enumerate} &
 \setdefaultenum {A.\;}{}{}{}
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{4}
 \item $2x^2 +3x = 2 \left[{\left( x+ \cdots \right)}^2 \quad \cdots \right] $ 
 \item $-3x^2 -x +1 = -3 \left[ {\left( x+  \cdots \right)}^2 \quad \cdots\right] $
  \item $\dfrac{x^2}{2} +3x -1 = \dfrac{1}{2} \left[{\left( x+ \cdots \right)}^2 \quad \cdots\right] $ 
 \item  $-\dfrac{x^2}{4} +3x +2 = -\dfrac{1}{4} \left[{\left( x- \cdots \right)}^2 \quad \cdots\right] $ 
 \end{enumerate}
 \end{tabularx}

 \bigskip 
 
  \exo
  
  \medskip
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Xm{5.5cm}}
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 9\;\mathrm{cm}$ et $AC = 15\;\mathrm{cm}$. 
 
 $G$ et $D$ sont deux points du segment $[CA]$ tels que $CG = GD$.
 
On construit les rectangles $ADEF$ et $DGHI$ comme indiqué sur la figure.


On pose alors $CG = GD = x$ avec $0 < x < 7,5$.

Le but de l'exercice est de trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles les aires des rectangles $DGHI$ et $ADEF$ sont égales.&
\begin{flushright}
\psset{unit=.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(16,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](10,0)(10,3)(5,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](5,0)(5,6)(0,6)
\pspolygon[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0)(15,0)(0,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $A$}} \uput[d](5,0){\footnotesize{\bleu $D$}} \uput[d](10,0){\footnotesize{\bleu $G$}} \uput[dr](15,0){\footnotesize{\bleu $C$}} \uput[u](10,3){\footnotesize{\bleu $H$}} \uput[ur](5,3){\footnotesize{\bleu $I$}} \uput[u](5,6){\footnotesize{\bleu $E$}} \uput[ul](0,9){\footnotesize{\bleu $B$}}\uput[d](7.5,0){\prune{$x$}}\uput[d](12.5,0){\prune{$x$}}
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(7.3,-.4)(7.5,0.4)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(7.5,-.4)(7.7,0.4)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(12.3,-.4)(12.5,0.4)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(12.5,-.4)(12.7,0.4)
\end{pspicture}
\end{flushright}
 \end{tabularx}
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $GH$ en fonction de $x$. En déduire l'aire en $\mathrm{cm}^2$ du rectangle $DGHI$ en fonction de $x$.
\item Exprimer $ED$ en fonction de $x$. En déduire l'aire en $\mathrm{cm}^2$ du rectangle $ADEF$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Résoudre alors le problème.
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\hspace{2em}}m{6cm}}

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$. 

On considère les points $A(-1;-2)$, $B(7;4)$ et le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $AB$.

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du centre $I$ du cercle $\mathcal{C}$.
\item Calculer le rayon $r$ du cercle  $\mathcal{C}$.
\item Déterminer les abscisses des points $M(x;5)$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
&
\begin{flushright}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(9,7)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-5)(9,7)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,7){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](.5,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,0.5){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](-1,-2)(7,4)
\pscircle[linewidth=1pt,linecolor=bleu](3,1){5}
%\psdots(-1,-2)(7,4)
\psline[linewidth=.5pt,,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,1)(3,1)(3,0)
\uput[ur](-3,1){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}$}}}\uput[dl](-1,-2){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](7,4){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ul](3,1){\prune{\footnotesize{$I$}}}
  \end{pspicture}
\end{flushright}
\end{tabularx}

\exo

\medskip

$A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points distincts de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$. 

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm,yunit=.15cm}
\begin{pspicture}(-7.4,-2)(7.4,40)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-7.4,-2)(7.4,40)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.32456}{6.32456}{\f}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7.4,0){$x$} \uput[dl](0,40){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-6,36)(5,25)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4,16)(3,9)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-6,0)(-6,36)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](5,0)(5,25)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-4,0)(-4,16)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](3,0)(3,9)
\uput[l](-6,36){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[r](5,25){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[r](3,9){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
\uput[l](-4,16){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\uput[d](-6,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](5,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}\uput[d](-4,0){\footnotesize{\prune{$c$}}}\uput[d](3,0){\footnotesize{\prune{$d$}}}
\uput[dr](6.3,40){\bleu{$\mathcal{P}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que les points  $A$, $B$ et $C$ ont pour abscisses respectives $(-6)$, $5$ et $(-4)$. 

Calculer les coordonnées du point $D$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.

\item On note $a$, $b$, $c$ et $d$ les abscisses respectives des points $A$, $B$, $C$ et $D$ de la parabole $\mathcal{P}$. 

Quelle condition les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ doivent-ils vérifier pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles ?
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{SECOND DEGRÉ}

\minitoc

\newpage

\section{Polynômes du second degré}

\subsection{Définition}

\cadreR{
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels et   $a\ne 0$.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}


\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) =-\dfrac{x^2}{3}+\sqrt{2}$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-\dfrac{1}{3}$ , $b=0$ et $c=\sqrt{2}$.
\item La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) ={\left( 2x+1\right)}^2-3x$ est une fonction polynôme du second degré car, pour tout réel $x$, $g(x) =4x^2+x+1$ ($a=4$, $b=1$ et $c=1$)
\item La fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x) =\dfrac{3}{x^2+1}$ n'est pas une fonction polynôme.
\end{itemize}

\subsection{Forme canonique}

\cadreR{
Toute fonction polynôme $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$, peut s'écrire sous la forme : \[f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta \qquad \text{avec }\;\alpha=-\dfrac{b}{2a}\; \text{ et }\;\beta=f(\alpha).\]
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$.

Comme $a\ne0$, pour tout réel $x$, $f(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.


Or pour tout réel $x$,  ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+{\left(\dfrac{b}{2a}\right)}^2 $. On en déduit que pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]\\
&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\\
&=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{split}\]

Soit en posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$, on obtient pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Cherchons la forme canonique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3x+2$.

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=-2 \times \left[x^2+\dfrac{3}{2}x-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{9}{16}-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{25}{16}\right]
\end{split}\]

Ainsi, pour tout réel $x$, $f(x)=-2 {\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{25}{8}$

\section{Variations}


Quand on connaît la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré, on peut en déduire son maximum ou son minimum.

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, alors pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$ avec   $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
\begin{enumerate}
\item Étudions le cas où $a<0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ; 0]$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est croissante sur $[0 ; +\infty [$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a<0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement décroissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\item Étudions le cas où $a>0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a>0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement croissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\end{enumerate}

On retient :

\medskip

\cadreR{
Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$. 

Les variations de $f$ sont données par les tableaux suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,2){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,2.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.5){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,2.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{tabularx}
}


\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par par $f(x)=-3x^2-2x+1$. Ici $a=-3$, $b=-2$ et $c=1$. Ainsi, $-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{1}{3}$ et $f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}$. Comme $a<0$, on en déduit le tableau des variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{1}{3}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1.8){\rnode{B}{$\dfrac{4}{3}$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\section{Courbe représentative}


Dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\vec{i},\vec{j}\right)$ du plan, la courbe représentative d'une fonction polynôme  $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ est une parabole.

On dit que la parabole a pour équation $y=ax^2+bx+c$

Le sommet $S$ de la parabole a pour abscisse $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$. Il correspond au maximum ou au minimum sur $\R$ de la fonction $f$.

La parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ 

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-5)(7,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,-5)(2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,4)(2,4)
\uput[ur](2,4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[l](0,4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(4,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-5)(4,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,-5)(-2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,-4)(-2,-4)
\uput[dl](-2,-4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[r](0,-4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dl](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

La parabole est tournée vers le bas & La parabole est tournée vers le haut 
\end{tabularx}

\subsubsection{Symétrie de la parabole}

Pour des raisons de symétrie, l'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole est la moyenne des abscisses $x_1$ et $x_2$ de deux points de la parabole ayant même ordonnée : $\alpha= \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x^2-6x-5$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.

Déterminons deux points de la courbe représentative de la fonction $f$ ayant la même ordonnée.

Cherchons les solutions de l'équation $f(x)=-5$  \[\begin{split}
2x^2-6x-5=-5&\Leftrightarrow 2x^2-6x=0\\
&\Leftrightarrow 2x  \left( x - 3 \right)=0
\end{split}\]
Soit $x=0$ ou $x=3$. Par conséquent, le sommet de la parabole a pour abscisse $\alpha= \dfrac{0 + 3}{2}=1,5$

%\pagebreak

\section{Équations, inéquations}

\subsection{Résoudre une équation du second degré}


\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $3x^2-x-2=0$. 

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
3x^2-x-2=0&\Leftrightarrow 3 \times \left[x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3  \left[{\left(x-\dfrac{1}{6}\right)}^2-\dfrac{1}{36}-\dfrac{2}{3}\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3 \left[{\left(x-\dfrac{1}{6}\right)}^2-\dfrac{25}{36}\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3  \left[\left(x-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}\right)\left(x-\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}\right)\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3 \left(x+\dfrac{2}{3}\right)\left(x-1\right)=0\\
&\Leftrightarrow  \left(x+\dfrac{2}{3}\right)=0 \quad \text{ou} \quad \left(x-1\right)=0
\end{split}\]

L'équation admet deux solutions $x_1=-\dfrac{2}{3}$ ou $x_2=1$. $S=\left\{ -\dfrac{2}{3} ; 1 \right\}$

\medskip

\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $-2x^2+3x-2=0$. 

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
-2x^2+3x-4=0&\Leftrightarrow -2 \times \left[x^2-\dfrac{3}{2}x+1\right]=0\\
&\Leftrightarrow -2  \left[{\left(x-\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{9}{16}+1\right]=0\\
&\Leftrightarrow -2 \left[{\left(x-\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{7}{36}\right]=0
\end{split}\]

Or pour tout réel $x$, ${\left(x-\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{7}{36} \geqslant \dfrac{7}{36}$ donc l'équation n'a pas de solutions. $S=\varnothing$
\end{enumerate}

%\pagebreak

\subsection{Résoudre une inéquation du second degré}


\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$. 

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
-\dfrac{x^2}{4}-x+3 &= -\dfrac{1}{4} \times \left[x^2+4x-12\right]\\
&= -\dfrac{1}{4}  \left[{\left(x+2\right)}^2-4-12\right]\\
&= -\dfrac{1}{4} \left[{\left(x+2\right)}^2-16\right]\\
&= -\dfrac{1}{4}  \left[\left(x+2+4\right)\left(x+2-4\right)\right]\\
&= -\dfrac{1}{4} \left(x+6\right)\left(x-2\right)
\end{split}\]
Étudions le signe du produit $-\dfrac{1}{4} \left(x+6\right)\left(x-2\right)$ à l'aide d'un tableau de signe.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=.5pt} 
\psframe(16,5)
\psline(0,1)(16,1)\psline(0,2)(16,2)\psline(0,3)(16,3)\psline(0,4)(16,4)
 \psline(3,0)(3,5)
  \rput(1.5,4.5){$x$} \rput(3.5,4.5){$- \infty$} \rput(7.5,4.5){$-6$} \rput(11.5,4.5){$2$}  \rput(15.5,4.5){$+\infty$}
   \rput(1.5,3.5){$-\dfrac{1}{4}$} \rput(5.5,3.5){$-$}\pnode(7.5,4){m0}\pnode(7.5,3){m1}\ncline{m0}{m1}\rput(9.5,3.5){$-$} \pnode(11.5,4){n0}\pnode(11.5,3){n1}\ncline{n0}{n1}\rput(13.5,3.5){$-$} 
 \rput(1.5,2.5){$x+6$} \rput(5.5,2.5){$-$}\pnode(7.5,3){m1}\pnode(7.5,2){m0}\ncline{m1}{m0}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$}\pnode(11.5,2){n0}\ncline{n0}{n1}\rput(13.5,2.5){$+$} 
 \rput(1.5,1.5){$x-2$} \rput(5.5,1.5){$-$}\pnode(7.5,1){m1}\ncline{m0}{m1} \rput(9.5,1.5){$-$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n0}{n1}\ncput*{0}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$-\dfrac{1}{4} \left(x+6\right)\left(x-2\right)$} \rput(5.5,0.5){$-$}\pnode(7.5,0){m0}\ncline{m0}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$-$}  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble $S$ des solutions de l'inéquation $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$ est $S=\left] - \infty ; -6\right] \cup \left[2 ; + \infty \right[$.

\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $\dfrac{x^2}{2}-x+1 \geqslant 0$

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
\dfrac{x^2}{2}-x+1 &= \dfrac{1}{2} \times \left[x^2-2x+2\right]\\
&= \dfrac{1}{2}  \left[{\left(x-1\right)}^2-1+2\right]\\
&= \dfrac{1}{2} \left[{\left(x-1\right)}^2+1\right]
\end{split}\]

Or pour tout réel $x$, ${\left(x-1\right)}^2+1 \geqslant 1$ d'où $\dfrac{1}{2} \left[{\left(x-1\right)}^2+1\right] \geqslant \dfrac{1}{2}$ donc l'ensemble solution de l'inéquation $\dfrac{x^2}{2}-x+1 \geqslant 0$ est $S=\R$
\end{enumerate}

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Xm{6cm}}
On a tracé ci-contre, les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = ax^2$ et $g(x)=bx^2$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

Laquelle des quatre propositions suivantes  est exacte ?
\begin{enumerate}
 \item $a>0$, $b>0$, $a>b$ ; 
  \item $a<0$, $b<0$, $a>b$ ; 
 \item $a>0$, $b>0$, $a<b$ ;
 \item $a<0$, $b<0$, $a<b$.
 \end{enumerate} 
 &\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6.5,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.2*x^2}
\def\g{.4*x^2}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-1)(6,7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4.18}{4.18}{\g}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[dr](5,5){\footnotesize{\bleu{$y=ax^2$}}}
\uput[dr](4.2,7){\footnotesize{\prune{$y=bx^2$}}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx}
 
 \bigskip

\exo 

 \medskip

$\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la  fonction carré $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Les paraboles $\mathcal{C}_1$ à $\mathcal{C}_6$, ont une équation de la forme $y = ax^2$, où $a$ est un réel.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-10)(14,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-10)(14,10)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=4]{->}(0,0)(-7,-20)(7,20)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,20){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4.472}{4.472}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-7}{7}{-.25*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-7}{7}{.25*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6.324}{6.324}{-.5*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6.324}{6.324}{.5*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3.162}{3.162}{-2*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3.162}{3.162}{2*x^2}
\uput[dr](4.5,20){\prune $\mathcal{C}_f$}
\uput[dr](3.2,20){\bleu $\mathcal{C}_1$}
\uput[dr](6.4,20){\bleu $\mathcal{C}_2$}
\uput[ul](7,12){\bleu $\mathcal{C}_3$}
\uput[dl](7,-12){\bleu $\mathcal{C}_4$}
\uput[ur](6.4,-20){\bleu $\mathcal{C}_5$}
\uput[ur](3.2,-20){\bleu $\mathcal{C}_6$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la courbe représentative de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=-\dfrac{x^2}{4}$ ?
\item Quelle est la courbe représentative de la fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x)=2x^2$ ?
\item Déterminer une expression, en fonction de $x$, de la fonction $u$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}_5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$3$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$f(x)$} \rput(2,1){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.2){\rnode{B}{$-2$}} \rput(9.5,1){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture} \hfill 
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$2$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$g(x)$} \rput(2,.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1){\rnode{B}{$1$}} \rput(9.5,.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions polynômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction $f$ ? le même tableau de variation que  la fonction $g$ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}	
$A(x)=x^2+3x-2$ ; & $B(x)=-x^2+6x-11$ ; & $C(x)=x^2-6x+7$ ;  & $D(x)=-x^2-4x+13$;\\
$E(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+x$ ; \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+\dfrac{5}{2}$ ; &   $G(x)=x^2-4x+2$ ; & $H(x)=-3x^2+12x-11$.
\end{tabularx}

\item Déterminer deux fonctions polynômes du second degré ayant respectivement le même tableau de variation que les fonctions $f$ et $g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-2x^2+5x+7$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des valeurs suivant :

\medskip

	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5 \\ \hline
$f(x)$&   &   &   &   &   &   &   &  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-12)(12,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-2*x^2+5*x+7}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-12)(12,12)
\psset{xunit=1cm, yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=2]{->}(0,0)(-4,-12)(6,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,12){$y$}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.076}{4.576}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Par lecture graphique :
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les solutions de l'équation $f(x)=0$ ? 
\item Quelles sont les solutions de l'équation $f(x)=4$ ?
 \item Quels sont les antécédents de $-5$ et de $7$ ?
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.

Le tableau de  valeurs de la fonction est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 &  5   \\ \hline
$f(x)$  &  $8$ & $2$  & $-2$  & $-4$  & $-4$   & $8$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'affirmation \og le minimum de la fonction $f$ est égal à $-4$ \fg{} est-elle vraie ?
\item Quel est l'image de 3 ?
\item Résoudre l'équation $f(x)= 2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.

Le tableau de  valeurs de la fonction est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 &  4  \\ \hline
$f(x)$  &  $8$ & $0$  & $-6$  & $-10$  & $-12$   & $-10$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur du réel $x$ le minimum de la fonction $f$ est-il atteint ?
\item Résoudre l'équation $f(x)= 0$ ?
\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

 \medskip 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Sur la figure ci-contre, $AB = 6$, $M$ est un point du segment $\left[AB\right]$ différent de $A$ et $B$ et les triangles $AMD$ et $MBC$ sont rectangles isocèles.

On cherche à déterminer la distance $AM$ telle que l'aire du triangle $MCD$ soit maximale.


On pose $AM=x$ et on note $f(x)$ l'aire du triangle $MCD$ 

&\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(6.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-}(0,2)(0,0)(6,0)(6,4)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(.9,-.1)(1.1,0.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(-.1,.9)(0.1,1.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(3.85,-.1)(4.05,0.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(3.95,-.1)(4.15,0.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(5.9,1.85)(6.1,2.05)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(5.9,1.95)(6.1,2.15)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{-}(6,4)(0,2)(2,0)(6,4)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-}(0,0.2)(0.2,0.2)(0.2,0)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-}(6,0.2)(5.8,0.2)(5.8,0)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[d](2,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\uput[dr](6,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](6,4){\footnotesize{\prune{$C$}}}
\uput[ul](0,2){\footnotesize{\prune{$D$}}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\end{pspicture}\\
  \end{tabularx} 
  
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $x$ les aires des triangles $AMD$ et $MBC$. En déduire que $f(x)=-x^2+6x$
	\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
	\item En déduire la valeur de $x$ telle que l'aire du triangle $MCD$ soit maximale. Quel est alors l'aire maximale du du triangle $MCD$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Xm{5cm}}
$ABCD$ est un rectangle de périmètre 32.

Quelle est l'aire maximale du rectangle $ABCD$ ? 
&\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,2)(0,2)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}} \uput[ur](5,2){\footnotesize{\bleu{$C$}}}\uput[ul](0,2){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](2.5,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\bigskip

 \exo

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\qquad}m{4cm}}

$ABC$ est un triangle rectangle isocèle tel que $AB=10$. $I$ est le milieu du segment $[AC]$.

\medskip

Où faut-il placer le point $M$ sur le segment $\left[ AB\right]$ pour que l'aire du trapèze $AMNI$ soit maximale ?
&\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(5,0)(0,5)
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(3.5,1.5)(0,2.5)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$C$}}}\uput[d](3.5,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}\uput[ur](3.5,1.5){\footnotesize{\prune{$N$}}}\uput[l](0,2.5){\footnotesize{\prune{$I$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\bigskip

\exo 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Xm{5cm}}

$M$ est un point du segment $\left[ AB\right]$ de longueur 12. 

\`A quelle distance du point $A$ faut-il placer le point $M$ pour que la somme des aires des carrés de côtés respectifs $\left[ AM\right]$ et $\left[ MB\right]$ soit minimale ? 
&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\pspolygon(3,0)(5,0)(5,2)(3,2)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}\uput[d](3,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\bigskip

\exo  

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-\dfrac{3}{4}x+2$ et le point $A$ de coordonnées $(-2 ; -4)$.

Le but de cet exercice est de déterminer la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.


\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$ d'abscisse $a$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $a$ les coordonnées du vecteur $\vv{AM}$.
\item Montrer que ${AM}^2=\dfrac{25}{16} a^2 -5 a + 40$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $a$ par  $f(a)=\dfrac{25}{16} a^2 -5 a + 40$.
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

 \medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X|@{\qquad}X}}
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $x^2=x+1$.
\item $x^2-\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{4}=0$
\item $-2x^2-5x+3=0$
\item $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{6}=0$
\end{enumerate}
 \end{enumerate}&
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
\item Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $x^2-5x+6 \leqslant 0$.
\item $-2x^2+3x\leqslant 5$
\item $3x^2+3x \geqslant \dfrac{9}{4}$
\item $x-1 \geqslant\dfrac{x^2}{3}$
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
  \end{tabularx}
 
 \bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par $f(x) =  x^2+4x-4$ et $g(x) =-x^2+5x+2$.

\begin{enumerate}
	\item Parmi les courbes tracées ci-dessous, déterminer celle qui représente la fonction $f$ et celle qui représente la fonction  $g$. (\emph{Justifier})
	\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-14,-11)(16,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-11)(16,12)
\psset{xunit=.8cm, yunit=0.2cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dy=4,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-22)(8,24)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,23){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{8}{-x^2+5*x+2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.82}{7.82}{x^2-5*x+2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-7}{3.65}{x^2+4*x-4}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-6.69}{2.69}{-(x+2)^2}
\rput(3.1,-20){\prune{\small{$\mathcal{C}_3$}}}
\rput(-6.5,17){\prune{\small{$\mathcal{C}_1$}}}
\rput(-2.25,23){\bleu{\small{$\mathcal{C}_2$}}}
\rput(-3.5,-20){\bleu{\small{$\mathcal{C}_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Factoriser $f(x)-g(x)$.
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
\end{enumerate}
 
  \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

La parabole $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la  fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) =-x^2+3x+7$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-12)(18,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{-x^2+3*x+7}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-12)(18,11)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dy=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-12)(9,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.11}{6.11}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4}{7}{2*x-5}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4}{7}{2-x}
\uput[ur](6.2,-12){\bleu{\small{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](1.5,9.25){\bleu{\small{$S$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
%\item Dessiner l'axe de symétrie de la parabole $\mathcal{C}_f$.
\item Calculer les coordonnées du point $S$ sommet de la parabole $\mathcal{C}_f$.
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant -3$.
\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(x) \geqslant -3$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, quelles semblent être les solutions de l'équation $f(x)=0$.  
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item Que peut-on conclure ?
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
\item Soit $g$ la fonction affine définie par $g(x)=2x-5$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $D$ représentative de la fonction $g$.
\item Étudier le signe de $g(x)-f(x)$. 
\item En déduire les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

$f$ est une fonction polynôme du second degré telle que sa courbe représentative est une parabole de sommet $S\left(\dfrac{3}{2} ; -\dfrac{25}{4}\right)$ passant par le point $A(1; -6)$.  

\begin{enumerate}
	\item Donner le tableau des variations de $f$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant  0$.
\end{enumerate}


\bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur pour tout réel $x$  par $f(x)=2x^2-4x-1$. La courbe représentative de la fonction $f$, notée $C_f$, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Le point $A\left(-1;5\right)$ appartient-il à la courbe $C_f$ ?
	\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.	
	\item La proposition \og Si $0 \leqslant x \leqslant 3$ alors $f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(3)$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?	
	\end{enumerate}
	\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1)=8$  et  $g(3)=-4$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère orthogonal donné ci-dessous.	
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)=2\times\left[\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{49}{16}\right]$.
\item Étudier le signe de $f(x)-g(x)$. 
\item En déduire les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-5)(18,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def \f{2*x^2-4*x-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-5)(18,14)
\psset{xunit=2cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-5)(4.5,14)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4.5,0){$x$} \uput[dl](0,14){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.2pt, linecolor=bleu]{-1.92}{3.92}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.5}{3}{5-3*x}
\uput[dr](4,14){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

$g$ est la fonction affine telle que $g(-1)=5$  et $g(2)=-4$. On note $\mathcal{D}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}

	\item Déterminer l'expression de $g(x)$ en fonction de $x$.
		\item Soient $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x^2-4x-1$ et  $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)= 2 \left[ \left(x - \dfrac{1}{4}\right)^2 -  \dfrac{25}{16}\right]$
	\item Étudier les positions relatives de la parabole  $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{DROITES DANS LE PLAN}

\minitoc

\newpage

\section{Introduction}

Dans le plan muni d'un repère \Oij , on cherche à établir une relation entre les coordonnées $\left( x ; y\right)$ des points du plan appartenant à une droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple 1}}}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère \Oij , on considère les points $A\left( -2 ; 3\right)$ et $B\left( 1 ; -2 \right)$. 

$M\left( x ; y\right)$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix*}[r]3 \\ -5 \end{pmatrix*}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x +2 \\ y - 3 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit :\[
\begin{split}
M \in (AB) & \iff 3 \left(y - 3 \right) - \left(-5 \right) \left( x +2 \right) = 0 \\
&  \iff 3y -9 +5x+10 =0\\
&  \iff 3y  +5x+1 =0 \\
&  \iff y  = -\dfrac{5}{3}x -\dfrac{1}{3}\\
\end{split}
\]
L'équation $3y+5x+1 =0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

L'équation $y=-\dfrac{5}{3}x -\dfrac{1}{3}$ est l'équation réduite de la droite $(AB)$. 

La droite $(AB)$ est la courbe représentative d'une fonction affine $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\dfrac{5}{3}x -\dfrac{1}{3}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple 2}}}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère \Oij , on considère les points $A\left( -3 ; -1\right)$ et $B\left( -3 ; 4 \right)$. 

$M\left( x ; y\right)$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x +3 \\ y +1 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit :\[
\begin{split}
M \in (AB) & \iff 0 \times \left(y +1 \right) - 5 \left( x +3 \right) = 0 \\
&  \iff -5x-15 =0\\
&  \iff x =-3 \\
\end{split}
\]
L'équation $-5x-15 =0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

L'équation $x=3$ est l'équation réduite de la droite $(AB)$.

La droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées, ce n'est pas la courbe représentative d'une fonction.

\section{Équations d'une droite}

\subsection{propriété}

\cadreR{Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. $M$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AM}$ sont colinéaires. }

\subsection{Équation réduite d'une droite}

\subsubsection{Théorème}

\cadreR{Dans le plan muni d'un repère \Oij , toute droite $\mathcal{D}$  a une équation soit de la forme $x=c$ soit de la forme $y=mx+p$}

\dem

Soit $A\left( x_A ; y_A \right)$ et $B\left( x_B ; y_B \right)$ deux points distincts du plan.

La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M( x; y)$ du plan tels que les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit :\[
\begin{split}
M \in (AB) & \iff \left( x_B - x_A \right) \left(y - y_A \right) - \left( y_B - y_A \right) \left( x - x_A \right) = 0 \\
&  \iff \left( x_B - x_A \right) \left(y - y_A \right) = \left( y_B - y_A \right) \left( x - x_A \right) \qquad (1)\\
\end{split}
\]
\begin{itemize}
\item Si la droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées :

les points $A$ et $B$ ont la même abscisse $ x_A = x_B=c$ d'où, $ x_B - x_A=0$. L'équation (1) s'écrit alors :\[\left( y_B - y_A \right) \left( x - c \right)=0 \iff x=c\]
\item Si la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées :

les points $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse d'où, $ x_B - x_A \ne 0$. L'équation (1) s'écrit alors :\[ \left(y - y_A \right) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \left( x - x_A \right) \iff y=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \left( x - x_A \right) + y_A \]
Soit en posant $m=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, la droite $(AB)$ a une équation de la forme $y=mx+p$.
\end{itemize}

\subsubsection{Théorème réciproque}

\cadreR{L'ensemble des points $M(x ; y)$ du plan vérifiant l'équation $x=c$ est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

L'ensemble des points $M(x ; y)$ du plan vérifiant l'équation $y=mx+p$ est une droite coupant l'axe des ordonnées au point $P$ de coordonnées $(0 ; p)$.
}

\dem

\begin{itemize}
\item Le cas de l'équation $x=c$ est trivial : l'équation $x=c$ caractérise l'ensemble des points du plan qui ont la même abscisse.
\item Cas de l'équation $y=mx+p$

$A(0 ; p)$ et $B(1 ; m+p )$ sont deux points distincts de l'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l'équation $y=mx+p$.

Pour tout point $M\left( x ; mx+p \right)$, le vecteur $\vv{AM}$ a pour coordonnées $\vv{AM} \begin{pmatrix*}[l] x-0 \\ mx+p-p \end{pmatrix*}$ soit $\vv{AM} \begin{pmatrix*}[r] x \\ mx \end{pmatrix*}$.

Les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix*}[r] x \\ mx \end{pmatrix*}$ sont colinéaires par conséquent, $M$ est un point de la droite $(AB)$.
\end{itemize}

\subsubsection{remarques}

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=mx+p$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.7*x+1.6}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.6)
\psline[linestyle=dashed](2.2,0)(2.2,3.14)\psline[linestyle=dashed](4.5,0)(4.5,3.14)
\psbrace*[braceWidthInner=2mm,braceWidth=.5pt,braceWidthOuter=2mm,ref=tC,nodesepB=1pt, rot=90](2.2,3.14)(4.5,3.14){\prune{\footnotesize{$x_B - x_A$}}}
\psbrace*[braceWidthInner=1.5mm,braceWidth=.5pt,braceWidthOuter=1.5mm,ref=lC,nodesepA=2pt](4.5,3.14)(4.5,4.75){\prune{\footnotesize{$y_B - y_A$}}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2.2,3.14)(4.5,3.14)(4.5,4.75)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,1.6)(1,1.6)(1,2.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{5.5}{\f}
\uput[ul](5.5,5.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[u](2.2,3.14){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](4.5,4.75){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[l](0,1.6){\prune{\footnotesize{$p$}}}\uput[d](0.5,1.6){\prune{\footnotesize{$1$}}}\uput[r](1,1.95){\prune{\footnotesize{$m$}}}
\uput[d](3.35,0){\prune{\footnotesize{$m=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Le nombre réel $m$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ ;
 \item Le nombre réel $p$ est l'ordonnée à l'origine de la droite $\mathcal{D}$ ;
 \item Le vecteur $\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
 \end{itemize}
 
 \item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x=c$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-3)(5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(5,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](2,-3)(2,4)
\uput[dr](2,4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$c$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item La droite $\mathcal{D}$ n'a pas de coefficient directeur ;
 \item $\vv{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{Déterminer une équation de droite} 

 Équation de la droite passant par deux points $A\left( x_A ; y_A \right)$ et $B\left( x_B ; y_B \right)$.
 
\begin{enumerate}
\item Première méthode

Soit $M( x; y)$ un point de la droite $(AB)$. On calcule les coordonnées des vecteurs $\vv{AB}\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ et $\vv{AM}\begin{pmatrix} X' \\ Y' \end{pmatrix}$ ; on écrit alors la condition de colinéarité \[XY'-X'Y=0\]

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(-2 ; 4)$ et $B\left( 1 ; -\dfrac{1}{2}\right)$

$M( x; y)$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs  $\vv{AB} \begin{pmatrix*}[r] 3 \\ -\dfrac{9}{2} \end{pmatrix*}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x +2 \\ y - 4 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit \[ \begin{split}
3(y-4) +\dfrac{9}{2} (x+2)=0  & \iff  3y-12+\dfrac{9}{2} x+9=0\\
& \iff y=-\dfrac{3}{2}x+1\\
\end{split}\]
Ainsi, la droite $(AB)$ a pour équation $y=-\dfrac{3}{2}x+1$.

\item Seconde méthode

On distingue deux cas :

\begin{enumerate}
\item Si les points $A$ et $B$ ont la même abscisse, $x_A = x_B = c$ alors la droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées et a pour équation $x=c$. 
\item Si les points $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse, $x_A \ne x_B$. 

On calcule le coefficient directeur $m=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ puis, on on détermine l'ordonnée à l'origine à l'aide des coordonnées du point $A$ : \[y=m \left( x - x_A \right) + y_A \]

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(3 ; 1)$ et $B\left( -\dfrac{1}{2} ; -\dfrac{4}{3}\right)$.

Les points $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse donc la droite $\mathcal{D}$ admet une équation de la forme $y=mx+p$ avec \[m=\dfrac{-\dfrac{4}{3}-1}{-\dfrac{1}{2}-3}=\dfrac{-\dfrac{7}{3}}{-\dfrac{7}{2}}=\dfrac{2}{3}\]
La droite $\mathcal{D}$ a pour équation $y=\dfrac{2}{3} x +p$. Comme le point $A(3 ; 1)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite d'où\[\dfrac{2}{3}\times 3 +p =1 \iff p=1\]
Ainsi, la droite $\mathcal{D}$ a pour équation $y=\dfrac{2}{3} x +1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Droites parallèles, droites sécantes}

\subsection{Droites parallèles}

\cadreR{Dans le plan muni d'un repère \Oij, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=mx+p$ et la droite $\mathcal{D}'$ d'équation $y=m'x+p'$ sont parallèles si, et seulement si, $m=m'$.
}

\dem

Soit $\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ et $\vv{u'}\begin{pmatrix} 1 \\ m' \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ :
\[ \mathcal{D}\ //\ \mathcal{D}’ \iff {\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ et } \vv{u'}\begin{pmatrix} 1 \\ m' \end{pmatrix} \text{ sont colinéaires }} \iff {1\times m' - 1 \times m =0} \iff m=m' \] 

\subsubsection{remarque} 

Les droites d'équations $x=c$ et $x=c'$ étant parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles.
  
\subsection{Coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes}

Dans le plan muni d'un repère \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=mx+p$ et la droite $\mathcal{D}'$ dont l'équation est soit $y=m'x+p'$ avec $m \ne m'$ soit $x=c$.

Déterminer les coordonnées $(x_A ; y_A)$ du point d'intersection $A$ de deux droites sécantes c'est résoudre un système d'équations linéaires, formé des équations de chacune des deux droites :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X }
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.75*x-1}
\def\g{-.5*x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-2)(5.5,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.25}{5.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.8}{5.5}{\g}
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt}
\psline[linestyle=dashed](3.2,0)(3.2,1.4)(0,1.4)
\uput[l](5.5,3.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[r](-2,3.4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}'$}}}
\uput[u](3.2,1.4){\prune{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture} & & \psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.75*x-1}
\def\g{-.5*x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-2)(5.5,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.25}{5.5}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](2.8,-2)(2.8,4)
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt}
\psline[linestyle=dashed](2.8,1.1)(0,1.1)
\uput[l](5.5,3.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[dr](2.8,4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}'$}}}
\uput[ul](2.8,1.1){\prune{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture} \\
$\begin{cases} y=mx+p\\y=m'x+p' \end{cases}$ & ou & $\begin{cases} x=c\\ y=mx+p\end{cases}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soient $\mathcal{D}$ et  $\mathcal{D}'$ deux droites d'équations respectives $y=-\dfrac{2}{3}x+3$ et $y=\dfrac{5}{6}x-\dfrac{3}{4}$

Le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ est égal à $-\dfrac{2}{3}$ et celui de la droite $\mathcal{D}'$ est égal à $\dfrac{5}{6}$.

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ont des coefficients directeurs différents donc les deux droites sont sécantes.

Les coordonnées $(x_A ; y_A)$ du point d'intersection $A$ des deux droites correspondent au couple solution du système :\[\begin{split}
\begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+3\\y=\dfrac{5}{6}x-\dfrac{3}{4} \end{cases} &\iff \begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+3\\-\dfrac{2}{3}x+3=\dfrac{5}{6}x-\dfrac{3}{4} \end{cases} \\
& \iff \begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+3\\ -\dfrac{3}{2}x=-\dfrac{15}{4} \end{cases} \\
& \iff \begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{2} +3 = \dfrac{4}{3} \\ x=\dfrac{5}{2} \end{cases}
\end{split}\] 
Le point d'intersection des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ a pour coordonnées $\left( \dfrac{5}{2} ; \dfrac{4}{3} \right)$.

\section{Système d'équations linéaires}

\subsection{Définition}

\cadreR{Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est la donnée de deux équations de la forme $\begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c' \end{cases}$, où $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des réels donnés.}

\medskip

Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ c'est trouver tous les couples $(x ;y)$ vérifiant les deux équations.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Résoudre le système $\left\{
\begin{array}{l c r}
3x-2y & = & -4 \\ 2x+6y & = & 1
\end{array}
\right.$


\[\begin{split}
\left\{\begin{array}{l|l}
3x-2y = -4 & L_1\\ 2x+6y = 1 & L_2
\end{array}\right. &\iff \left\{\begin{array}{l|l}
3x-2y = -4 & L_1\\ 11x = -11 & L_2 \leftarrow 3 \times L_1 +L_2
\end{array}\right. \\
& \iff \begin{cases} 3x-2y = -4\\x=-1 \end{cases} \\
& \iff \begin{cases} x=-1 \\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}
\end{split}\]

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 


Par lecture graphique, déterminer une équation réduite chacune des six droites.

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}		
\begin{pspicture}(-10,-10)(12,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-10)(12,10)
\psset{unit=.8cm}		
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(6,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\def\f{-2*x/3+3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{6}{\f}
\def\f{.5*x+1.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\def\f{.25*x-3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\def\g{-1.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5}{6}{\g}
\def\g{-1.5*x+1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-2.66}{4}{\g}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](-3.5,-5)(-3.5,5)
\uput[ul](-3.5,-5){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\uput[ur](4,-5){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\uput[dl](5,-2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\uput[ur](4,.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\uput[ul](4,3.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_5$}}}
\uput[dl](-4,-1.5){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_6$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur $0,5$ et passe par le point $A(-4 ;1)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour ordonnée à l'origine $-1,5$ et passe par le point $A(1 ;-2)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\begin{pmatrix*}[r] -3 \\ 2 \end{pmatrix*}$ et passe par le point $B(-1 ;-2)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par les points $A(2 ;-1)$ et $B(-1 ;0)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par les points $A(-5 ;-4)$ et $B(-5 ;5)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par le point $A(-3 ;2)$ et est parallèle à la droite $d$ d'équation $y=-\dfrac{2}{3}x +1$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
%\exo 
%
% \medskip 
%
%Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, $M$ est un point de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-\dfrac{x}{2}+6$ d'abscisse $a\in \left]0 ; 12\right[$
%
%\begin{center}
%\psset{unit=.5cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(14,8)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(14,8)
%\psframe[linewidth=.5pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines](0,0)(7.2,2.4)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-2)(14,8)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](14,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{14}{6-.5*x}
%\uput[d](7.2,0){\footnotesize{\prune $A$}}
%\uput[u](7.2,2.4){\footnotesize{\prune $M$}}
%\uput[l](0,2.4){\footnotesize{\prune $B$}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer l'aire du rectangle $OAMB$ pour $a=7,2$.
%\item Pour quelle valeur du réel $a$ l'aire du rectangle $OAMB$ est-elle maximale ? 
%
%Quelle est alors l'aire du rectangle $OAMB$ ?
%\end{enumerate}
%
% \bigskip 

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-3x+2$ et le point  $A(-5 ; 7)$.

On veut déterminer la distance $d$ du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $M(x ;y)$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer ${AM}^2$ en fonction de $x$.
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle la distance ${AM}^2$ est minimale.

En déduire la distance $d$ du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item Donner les coordonnées du point $M$ pour lesquelles la distance $AM$ est minimale. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère \Oij, on donne les points $A(-3 ; -1)$, $B( 3; 3)$ et $C(-5 ; 7)$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la médiane $(AM)$.
\item Calculer les coordonnées du point $G$ centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points $A(-3 ; 4)$, $B( 6; 1)$ et $C(-3 ; -2)$.

\begin{enumerate}
\item On note $d$ la médiatrice du segment $[BC]$
\begin{enumerate}
\item Soit $M(x ; y)$ un point de la droite $d$. Exprimer ${MB}^2$ et ${MC}^2$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Déterminer une équation de la médiatrice $d$ du segment $[BC]$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la médiatrice $\Delta$ du segment $[AC]$.
\item Calculer les coordonnées du point $\Omega$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points $A(6 ; 5)$, $B(-1;6)$ et $C(2 ;-3)$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la médiatrice $d$ du segment $[BC]$.
\item En déduire une équation de la hauteur $(AK)$ du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la hauteur $BL$ du triangle $ABC$.
\item Calculer les coordonnées du point $H$ orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\bigskip


\exo 

 \medskip 

Soit \Oij un repère orthonormé du plan.

\begin{enumerate}
	\item	On considère la droite  $\mathcal{D}$ passant par le point $E\left( 4;-2 \right)$  et admettant pour coefficient directeur $(-2)$
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
	\item Le point $F\left( 2;-1 \right)$ est-il un point de la droite $\mathcal{D}$  ?	
\end{enumerate}
\item On considère les points $A\left( -4;9 \right)$  et $B\left(2 ;12 \right)$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
	\item Les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ sont elles parallèles ?
\end{enumerate}
\item Résoudre le système $S:\left\{ {\begin{array}{rcl}   y & =& -2x+6  \\   y &= &0,5x+11   \\\end{array}} \right.$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item On admettra maintenant que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ sont sécantes en $H(-2 : 10)$.

Démontrer que le triangle $BHE$ est rectangle en $H$.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo 

 \medskip 


Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , placer les points $A(-5;3)$, $B(3;7)$ et $C(-2;-8)$.

La figure sera complétée au fur et à mesure des questions.

\begin{enumerate}
\item Centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $M(x ; y)$ un point de la droite $\mathcal{D}$ médiatrice du segment $[AB]$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer ${MA}^2$ et ${MB}^2$ en fonction de $x$ et $y$.
\item En déduire une équation de la médiatrice $\mathcal{D}$ du segment $[AB]$.
\end{enumerate}
\item La médiatrice $d$ du segment $[BC]$ a pour équation $y=-\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3}$. Tracer la droite $d$ dans le repère \Oij.
\item  Calculer les coordonnées du point $\Omega$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item Orthocentre du triangle $ABC$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la hauteur  $(AA')$ du triangle $ABC$.
\item Déterminer une équation de la hauteur  $(CC')$ du triangle $ABC$.
\item Calculer les coordonnées du point $H$ orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point $G$ tel que $3\vv{\Omega G}  = \vv{\Omega H}$.
\item Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Le point $G$ appartient-il à la médiane $(CI)$ ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle.  Les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont définis par : $\vv{A'C}=6\vv{A'B}$ ; $\vv{B'A}=\dfrac{1}{3}\vv{B'C}$ et  $\vv{C'B}=-\dfrac{1}{2}\vv{C'A}$.
 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(28,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(28,22)
\psset{unit=.8cm}
\psline [linewidth=1pt,linecolor=bleu](2.5,3.5)(10,3.5)(4.5,8.5)(2.5,3.5)
\uput[dl](2.5,3.5){\footnotesize{\bleu $A$}}
\uput[dr](10,3.5){\footnotesize{\bleu $B$}}
\uput[u](4.5,8.5){\footnotesize{\bleu $C$}}
\end{pspicture}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessus, placer les points $A'$, $B'$ et $C'$.
\item On se place dans le repère $\left( A; \vv{AB},\vv{AC} \right)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ ainsi que celles des points $A'$, $B'$ et $C'$.
\item Déterminer une équation des droites $(BB')$ et $(CC')$. 

En déduire les coordonnées du point $K$, intersection des droites $(BB')$ et $(CC')$
\item Les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont-elles concourantes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo 

 \medskip 


Un capital de  10~000~\euro\,  a perdu 6\% de sa valeur au bout d'un an.

Ce capital avait été placé de la manière suivante :

\begin{itemize}
	\item une partie $x$ a été placée sur un compte d'épargne qui rapporte 5\% d'intérêts par an ;
	\item le reste du capital noté $y$ a été placé en bourse. Un an plus tard, le portefeuille boursier a perdu 20\% de sa valeur.
\end{itemize}

Calculer le montant en euros de chacune des deux sommes $x$ et $y$. 

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Un assembleur commande deux types de composants électroniques.
\begin{itemize}
	\item Le composant A est vendu par lot de 30 au prix de {2 550\euro} le lot.
	\item Le composant B est vendu par lot de 40 au prix de {1 400\euro} le lot.
\end{itemize}

L'assembleur a commandé au total 720 composants pour un montant global de 37 200 \euro, déterminer le nombre de lots de chacun des composants.	
	
\bigskip
	
	\exo 

 \medskip 

Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$. 

La parabole $\mathcal{P}$ passe par le point $A\left(0;-3\right)$  et coupe la droite $d$ d'équation $y=-2x+3$ en deux points d'abscisses respectives $-1$ et 2.

Déterminer l'équation de la parabole $\mathcal{P}$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{STATISTIQUES}

\minitoc

\newpage

Les premières études statistiques étaient des recensements démographiques : on en a conservé le vocabulaire.
\begin{itemize}
\item[] \emph{Population} : C'est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique.
\item[] \emph{Individu} : C'est un élément de la population.
\item[] \emph{Caractère} : C'est l'aspect que l'on observe sur les individus. Un caractère permet de déterminer une partition de la population selon ses diverses valeurs  (par exemple le genre est un caractère à deux modalités : masculin ou féminin). 

Lorsque les différentes valeurs d'un caractère sont des nombres, le caractère est \emph{ quantitatif}. Dans le cas contraire, le caractère est \emph{ qualitatif}.
\end{itemize}

\section{Effectifs - fréquences}

\subsection{Effectifs et fréquences}
\cadreB{L'effectif d'une valeur du caractère étudié est le nombre d'individus de la population ayant cette valeur.

La fréquence d'une valeur est le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total de la population. ( la fréquence peut être exprimée en pourcentage )\[\text{féquence}=\dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}\]}

\subsection{Effectifs cumulés et fréquences cumulées}

On étudie un caractère quantitatif dans une population.
\begin{itemize}
\item Les différentes valeurs $x_i$ du caractère quantitatif constituent une série statistique notée $\left( x_i\right)$.
\item On note $n_i$ l'effectif de la valeur $x_i$.
\end{itemize}

\medskip

\cadreB{

L'effectif cumulé croissant de la valeur $x_i$ est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à $x_i$. 

La fréquence cumulée croissante de la valeur $x_i$ est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à $x_i$. 
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par jour sur un mois. On a obtenu la distribution suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre total de journées d'intervention est $2 + 4 + 9 + 6 + 3 + 1=25$. Les fréquences des différentes valeurs du nombre d'intervention sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{5ex} Fréquence  $f_i =\dfrac{n_i}{25}$  & 0,08 & 0,16 & 0,36 & 0,24 & 0,12 & 0,04 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le tableau suivant donne les effectifs cumulés croissants  ainsi que les fréquences cumulées croissantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
Effectif cumulé  & 2 & 6 & 15 & 21 & 24 & 25 \\ \hline
Fréquence cumulée  & 0,08 & 0,24 & 0,6 & 0,84 & 0,96 & 1 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\section{Caractéristiques d'une série statistique}

\subsection{Caractéristiques de position}

\subsubsection{La moyenne}

\parbox{0.6\linewidth}{On considère la série statistique donnée par le tableau ci-contre.

On note $N=n_1+n_2+\cdots+n_p$ l'effectif total}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\begin{flushright}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_p$\\ \hline
Effectif  $n_i$ & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{flushright}}

\cadreR{
La moyenne d'une série statistique est le quotient noté $\overline{x}$ de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total.\[\overline{x}=\dfrac{{n_1}{x_1}+{n_2}{x_2}+\cdots+{n_p}{x_p}}{N}\]
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

Soit $f_i =\dfrac{n_i}{N}$ la  fréquence de la valeur $x_i$ alors, la moyenne $\overline{x}={f_1}{x_1}+{f_2}{x_2}+\cdots+{f_p}{x_p}$. 

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Avec la série statistique précédente :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
Fréquence  $f_i$  & 0,08 & 0,16 & 0,36 & 0,24 & 0,12 & 0,04 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre moyen d'interventions par jour est :\[\overline{x}=\dfrac{2 \times 3 + 4 \times 5 + 9 \times 6 + 6\times 7 + 3 \times 8 + 1 \times 9}{25} = 6,2\]  ou en utilisant les fréquences :\[ \overline{x}=0,08 \times 3 + 0,16 \times 5 + 0,36 \times 6 + 0,24\times 7 + 0,12 \times 8 + 0,04 \times 9 =6,2\]

\subsubsection{La médiane}

La médiane d'une série statistique est une valeur telle qu'il y ait autant d'observations ayant une valeur supérieure à la médiane que d'observations ayant une valeur inférieure à la médiane.

\medskip

\cadreR{
La médiane d'une série statistique de $N$ valeurs rangées par ordre croissant est le nombre $M_e$ défini par :
\begin{itemize}
\item si l'effectif $N$ est impair, la médiane $M_e$ est la valeur centrale du caractère c'est à dire la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ de la série ordonnée.
\item si l'effectif $N$ est pair, la médiane $M_e$ est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère c'est à dire la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ de la série ordonnée.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans la série précédente, l'effectif total $N=25$ donc la médiane est la valeur du caractère de rang 13 soit $Me=6$.

\subsubsection{Les quantiles}

\begin{enumerate}
\item \textsf{\textsc{\small{les quartiles}}}

Les quartiles au nombre de trois $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$ partagent l'ensemble étudié de $N$ éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en quatre sous ensembles.


\cadreR{
\begin{itemize}
\item Le premier quartile noté $Q_1$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 25 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_1$.
\item Le troisième quartile noté $Q_3$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 75 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_3$.
\end{itemize}
}

\begin{center}
	\psset{unit=1cm,braceWidth=1pt}
	\begin{pspicture}(-1,-2.5)(13,1.5) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psbrace[linecolor=prune,fillcolor=prune,rot=-90,ref=B,nodesepB=-4pt](5.95,.5)(0,.5){\prune{\footnotesize{Au moins 50\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=prune,fillcolor=prune,rot=-90,ref=B,nodesepB=-4pt](12,.5)(6.05,.5){\prune{\footnotesize{Au moins 50\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=bleu,fillcolor=bleu,rot=90,ref=B,nodesepB=8pt](0,-.5)(3,-.5){\bleu{\footnotesize{Au moins 25\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=bleu,fillcolor=bleu,rot=90,ref=B,nodesepB=8pt](0,-1.5)(9,-1.5){\bleu{\footnotesize{Au moins 75\% des valeurs}}}
\psline[linewidth=1pt]{|-|}(0,0)(12,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](6,-.15)(6,.15)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](3,-.15)(3,.15)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](9,-.15)(9,.15)
\uput[l](0,0){$x_{\text{min}}$}\uput[r](12,0){$x_{\text{max}}$}\uput[u](6,0){\prune{$M_e$}}\uput[u](6,0){\prune{$M_e$}}\uput[d](3,0){\bleu{$Q_1$}}\uput[d](9,0){\bleu{$Q_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item \textsf{\textsc{\small{les déciles}}}

Les déciles au nombre de neuf $D_1$, $D_2$, \ldots , $D_9$ partagent l'ensemble étudié de $N$ éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en dix sous ensembles.


\cadreB{
\begin{itemize}
\item Le premier décile noté $D_1$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 10 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_1$.
\item Le neuvième décile noté $D_9$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 90 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_9$.
\end{itemize}
}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

Le deuxième quartile $Q_2$ et le cinquième décile $D_5$ sont égaux à la médiane.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{vocabulaire}}}

\medskip

\cadreB{
La moyenne, la médiane, les quantiles sont appelés caractéristiques de position d'une série statistique.
}

\subsection{Caractéristiques de dispersion}

\cadreR{
\begin{itemize}
\item L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série statistique.
\item L'écart interquartile est égal à la différence entre le troisième et le premier quartiles.
\item L'écart interdécile est égal à la différence entre le neuvième et le premier déciles.
\end{itemize}
}

\subsection{Boîtes à moustaches}

La représentation graphique de la dispersion d'une série statistique se fait à l'aide de diagramme en boîte appelés aussi \og boîte à moustaches \fg{} ou \og box-plot \fg{}.

Pour une catégorie donnée, on construit, en face d'un axe permettant de repérer les quantiles de la variable étudiée, un rectangle dont la longueur est égale à l'écart interquartile  $Q_3 -Q_1$, la médiane est représentée par un trait. On ajoute alors des segments aux extrémités menant jusqu'aux valeurs extrêmes, ou jusqu'aux premier et neuvième déciles. 

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Le tableau suivant donne la distribution du revenu salarial par secteur d'activité en France en 2014.

\begin{center}
 \begin{tabularx}{.75\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-6}
 \multicolumn{1}{l|}{} & D1 & Q1 & Médiane & Q3 & D9\\ \hline
Secteur privé & \np{2218} & \np{8570} & \np{17520} & \np{25377} & \np{37234}\\ \hline
Secteur public & \np{4716} & \np{15744} & \np{21221} & \np{27996} & \np{36797}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize{Source : INSEE}}
 \end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}	
\psset{xunit=.2cm,yunit=.75cm} 
	\begin{pspicture}(0,-1)(50,4) 
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\psaxes[linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,xlabelFactor= \,000,Ox=0,Dx=5]{-}(0,0)(0,-.1)(42,.1)
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psline(4.716,0.75)(4.716,1.25) \psline(4.716,1)(15.744,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](15.744,0.5)(27.996,1.5)  \psline(27.996,1)(36.797,1) \psline(36.797,0.75)(36.7978,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](21.221,0.61)(21.221,1.4)
\psline(2.218,2.75)(2.218,3.25) \psline(2.218,3)(8.57,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](8.57,2.5)(25.377,3.5)  \psline(25.377,3)(37.234,3) \psline(37.234,2.75)(37.234,3.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](17.52,2.61)(17.52,3.4)
\uput[r](38,1){\footnotesize{Secteur public}}\uput[r](38,3){\footnotesize{Secteur privé}}
%\psline(d1,0.75)(d1,1.25) \psline(d1,1)(q1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](q1,0.5)(q3,1.5)  \psline(q3,1)(d9,1) \psline(d9,0.75)(d9,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](m,0.61)(m,1.4)% 
\end{pspicture}
\end{center}

\section{Test statistique}

On considère une population d'effectif $N$, très grand, dans laquelle on connaît la proportion $p$ des individus présentant un certain caractère.

\subsection{Échantillonnage}

\subsubsection{Échantillon}

Une urne contient des boules blanches et des boules noires en proportion $p$.

On tire au hasard une boule dans l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans le sac. 

En répétant $n$ fois ce procédé, on constitue un échantillon aléatoire de taille $n$ de la population des boules de l'urne.

\medskip

\cadreB{
Un échantillon de taille $n$ est constitué de $n$ éléments pris au hasard dans la population dont l'effectif $N$ est suffisamment grand par rapport à l'effectif $n$ de l'échantillon pour considérer que le tirage des éléments de l'échantillon s'effectue avec remise.
}

\subsubsection{Fluctuation d'échantillonnage}



Si on prélève plusieurs échantillons d'effectif $n$, où $n \geqslant 30$, dans la même population, on constate que la fréquence du caractère observé fluctue autour de la proportion $p$ du caractère. Ce phénomène dû au hasard dans la constitution des échantillons est appelé \emph{fluctuation d'échantillonnage}.

\subsection{Intervalle de fluctuation}

On prélève un échantillon dans la population et on note $f$ la fréquence d'apparition du caractère observé dans cet échantillon.

\subsubsection{Intervalle de fluctuation au seuil de 95\%}

\cadreB{
Un intervalle de fluctuation de la fréquence $f$ au seuil de 95\% relatif aux échantillons de taille $n$ est un intervalle $I$ tel que, pour au moins 95\% de l'ensemble des échantillons possibles, la fréquence observée appartient à $I$.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{propriété}}}

\medskip

\cadreR{
Pour une proportion $p$ comprise entre 0,2 et 0,8, et des échantillons de taille $n \geqslant 25$, l'intervalle $\left[ {p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}} ;  {p +\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ est un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence $f$ observée.
}

\subsubsection{Prise de décision}

Selon la situation étudiée, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\% peut permettre :

\begin{itemize}
\item de décider si l'échantillon est représentatif de l'ensemble de la population ;
\item d'accepter ou pas l'hypothèse que la proportion d'individus présentant le caractère étudié est égale à $p$.
\end{itemize}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

En première partie de soirée une nouvelle série a attiré près de 5,7 millions de téléspectateurs soit 28\% de part d'audience.

Pour estimer le degré de satisfaction de cette série auprès du public, on réalise une enquête auprès de 300 personnes.  On constate que 96 personnes sur les 300 personnes interrogées ont regardé cette série.

Ce sondage remet-il en question la part d'audience de 28\% de cette série ?

\begin{enumerate}
\item La fréquence observée de la part d'audience de la série dans l'échantillon de taille 300 est :\[ f=  \dfrac{96}{300}=0,32\]
\item On a ici $p=0,28$ et $n=300$. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% de la part d'audience de la série dans les échantillons de taille 300 est :\[ I= \left[ {0,28 - \dfrac{1}{\sqrt{300}}} ;  {0,28 +\dfrac{1}{\sqrt{300}}}\right]\]
Soit avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, un intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% de la part d'audience de la série est $I=\left[ 0,22 ; 0,34 \right]$
\item Comme $f=0,32$ appartient à l'intervalle de fluctuation $I=\left[ 0,22 ; 0,34 \right]$, on accepte l'hypothèse selon laquelle la part d'audience de la série est de 28\%.
\end{enumerate}

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo
 
 \medskip
 
Pour les trois séries statistiques ci dessous, la médiane est égale à 10. Compléter le tableau ci-dessous par des données pour chacune des séries sachant que :

\begin{itemize}
\item La moyenne de la série 1 est égale à 10.
\item La moyenne de la série 2 est la plus petite possible.
\item La moyenne de la série 3 est la plus grande possible.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
indice $i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline
Série 1  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18 \\ \hline
Série 2  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18\\ \hline
Série 3  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Dans une entreprise, il y a 28 cadres et 92 ouvriers. Le salaire moyen des cadres est de \np{3450} \euro{} et celui des ouvriers est de \np{1320} \euro. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer le salaire moyen de l'ensemble des salariés de cette entreprise.
	\item  \begin{enumerate}
	\item Quel est le pourcentage d'augmentation du salaire moyen si on verse une prime de 35 \euro{} à chaque salarié ?
	\item On augmente le salaire de chaque cadre de 2 \% et celui de chaque ouvrier de 4 \%.
	
	Le salaire moyen dans l'entreprise a-t-il augmenté de 3\% ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo

\medskip

Un concours est organisé dans deux centres d'examens. Dans le premier centre, les garçons ont obtenu 13 de moyenne et les filles 12 de moyenne. Dans le second centre, les garçons ont obtenu 9 de moyenne et les filles 8 de moyenne.
 
Le président du jury en déduit que les garçons ont eu de meilleurs résultats que les filles Est-ce si sûr ? 

Sachant qu'il y avait 58 garçons et 104 filles dans le premier centre, et 87 garçons et 32 filles dans le second centre, calculer la moyenne générale des  garçons puis celle des filles. Conclure.

\bigskip
 
  \exo 

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Le tableau suivant donne la distribution des salaires mensuels nets, en euros, en France en 2015.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Déciles & D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9\\ \hline
Hommes & \np{1262} & \np{1427} & \np{1573} & \np{1728} & \np{1906} & \np{2130} & \np{2451} & \np{2996} & \np{3990}\\ \hline
Femmes & \np{1171} & \np{1288} & \np{1396} & \np{1512} & \np{1650} & \np{1830} & \np{2073} & \np{2432} & \np{3149}\\ \hline\hline
\textbf{\textsf{Ensemble}} & \np{1213} & \np{1357} & \np{1490} & \np{1630} & \np{1797} & \np{2004} & \np{2286} & \np{2752} & \np{3646}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize{Souce : Insee Première (\emph{octobre 2017)}}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner le salaire net médian des salariés hommes et des salariées femmes.

\item Calculer les variations en pourcentage des déciles des femmes par rapport à ceux des hommes 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Déciles & D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9\\ \hline
Hommes & \np{1262} & \np{1427} & \np{1573} & \np{1728} & \np{1906} & \np{2130} & \np{2451} & \np{2996} & \np{3990}\\ \hline
Femmes & \np{1171} & \np{1288} & \np{1396} & \np{1512} & \np{1650} & \np{1830} & \np{2073} & \np{2432} & \np{3149}\\ \hline
\textsf{Écarts en \%} & $-7,2$ & \iffalse{$-9,7$}\fi & \iffalse{$-11,3$}\fi & \iffalse{$-12,5$}\fi & \iffalse{$-13,4$}\fi & \iffalse{$-14,1$}\fi & \iffalse{$-15,4$}\fi & \iffalse{$-18,8$}\fi & \iffalse{$-21,1$}\fi\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Recopier et compléter la phrase : 


\og Les écarts de salaire entre femmes par rapport aux hommes \ldots le long de l'échelle salariale : de $-7,2\%$ pour le 1\up{er} décile à \ldots pour le 9\up{e} décile.\fg
\end{enumerate}
\item Le montant en euros du premier quartile est de \np{1488} euros pour les salariés hommes et de \np{1332} euros pour les salariées femmes. Le troisième quartile est de  \np{2678} euros pour les hommes et de \np{2208} euros pour les femmes.

La distribution des salaires mensuels nets de l'ensemble des salariés est représentée ci-dessous (centiles C5 à C95). 

\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-2,-1)(21,10) 
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](-2,-1)(21,10)
\uput[r](-2,2){\footnotesize{\textsf{Ensemble}}} 
\uput[r](-2,5){\footnotesize{\textsf{Femmes}}} 
\uput[r](-2,8){\footnotesize{\textsf{Hommes}}}   
\psset{xunit=.02mm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1000]{-}(0,0)(5000,0)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm} 
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psline(1.213,0.75)(1.213,1.25) \psline(1.213,1)(1.423,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.423,0.5)(2.482,1.5)  \psline(2.482,1)(3.646,1) \psline(3.646,0.75)(3.646,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.797,0.61)(1.797,1.4)
\psdots[linecolor=prune,linewidth=.5pt](1.123,1)(4.652,1)
\uput[ul](1.2,1){\scriptsize{\textsf{\textbf{\np{1123}}}}} \uput[u](4.652,1){\scriptsize{\textsf{\textbf{\np{4652}}}}} 
%\psline(1.136,2.25)(1.136,2.75) \psline(1.136,2.5)(1.332,2.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.332,2)(2.208,3)  \psline(2.208,2.5)(3.149,2.5) \psline(3.149,2.25)(3.149,2.75)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.65,2.11)(1.65,2.9)
%\psline(1.262,3.75)(1.262,4.25) \psline(1.262,4)(1.488,4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.488,3.5)(2.678,4.5)  \psline(2.678,4)(3.99,4) \psline(3.99,3.75)(3.99,4.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.906,3.61)(1.906,4.4)
%\psline(d1,0.75)(d1,1.25) \psline(d1,1)(q1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](q1,0.5)(q3,1.5)  \psline(q3,1)(d9,1) \psline(d9,0.75)(d9,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](m,0.61)(m,1.4)% 
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation du nombre \np{4652}.
\item Sur le même graphique, représenter la distribution des salaires nets des hommes et des femmes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le montant en euros du salaire mensuel moyen net selon les catégories socioprofessionnelles en France en 2015.

\medskip

{\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{}&	 \multicolumn{2}{c|}{\textbf{\textsf{Hommes}}} &	\multicolumn{2}{c|}{\textbf{\textsf{Femmes}}} \\ \cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{}&	Salaires nets \par(en euros) &	Effectifs \par(en \%) &	Salaires nets \par(en euros) &	Effectifs \par(en \%)\\ \hline
Cadres & \np{4451} & 20,6 & \np{3561} & 15,6 \\ \hline
Professions intermédiaires & \np{2420} & 18,9 & \np{2081} &	20,8 \\ \hline
Employés & \np{1739} & 16,2 & \np{1591} & 50,8 \\ \hline
Ouvriers & \np{1765} & 	44,3 & \np{1483} & 	12,8\\ \hline
\multicolumn{5}{r}{\footnotesize{Souce : Insee Première (\emph{octobre 2017)}}}
\end{tabularx}}}

\begin{enumerate}\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire moyen des hommes et celui des femmes.
\item Recopier et compléter la phrase : 

\og En 2015, une salariée gagne, en moyenne  \ldots \% de moins qu'un salarié. \fg
\end{enumerate}
\item 58,5\% des salariés sont des hommes. 

De quel pourcentage, le salaire net médian de l'ensemble des salariés est-il inférieur au salaire net moyen ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate} 
 \item Compléter le tableau ci-dessous qui donne la distribution des salaires mensuels bruts des 100 salariés d'une entreprise.
 
\begin{center}
 \begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Salaires en euros & 1500 & 1600 & 1900 & 2400 & 2700 & 3200 & 5000\\ \hline
Effectifs & 30 & 25 & 15 & 12 & 8 & 6 & 4 \\ \hline
Fréquences &  &  &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  \item \begin{enumerate}
  \item Donner le montant du salaire mensuel brut médian.
  \item Calculer le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% des salariés les mieux rémunérés.
  \end{enumerate}
 \item  Calculer le montant du salaire mensuel brut moyen.	
   \end{enumerate}
 
 \bigskip

 \exo 

 \medskip 

Le tableau suivant donne le montant des salaires annuels exprimés en milliers d'euros d'une petite entreprise.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
		Salaires & 16 & 18 & 20 & 25 & 30 & 40\\ 		\hline	
		Nombre de salariés~ & 6 & 9 & 10 & 8 & 5 & 2\\ 		\hline					
		\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la  médiane, le premier et le troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire à l'aide d'un diagramme en boîte.
	\item Calculer le montant en euros du salaire moyen annuel de cette entreprise.
	\item Soit $S$  la fonction définie sur $\R$  par :\[S\left( x \right) = 6\times\left( {16 - x} \right)^2  + 9\times\left( {18 - x} \right)^2  + 10\times\left( {20 - x} \right)^2  + 8\times\left( {25 - x} \right)^2  + 5\times\left( {30 - x} \right)^2  + 2\times\left( {40 - x} \right)^2 \]
	\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $S(x) = 40x^2  - 1776x + 21152$
\item Déterminer le sens de variations de la fonction $S$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Une entreprise de produits alimentaires fabrique et distribue une marque de café dans des sachets de 250 grammes. On suppose que le
poids du sachet vide est négligeable.

La machine utilisée pour remplir les sachets est contrôlée selon la procédure suivante.

À chaque heure, un échantillon aléatoire de 30 sachets est prélevé dans la production ; on mesure la masse de chaque sachet et on calcule la masse moyenne $\overline{x}$ de l'échantillon. 

Un réglage de la machine est nécessaire si l'un des critères suivants n'est pas vérifié :
\begin{itemize}
\item les 30 sachets ont une masse supérieure ou égale à 244 grammes ;
\item 50\% au moins des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $[248 ; 252]$ ;
\item 95\% au moins des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $\left[245 ;  256\right]$.
\end{itemize}

Au cours de la production, l'échantillon suivant a été prélevé.
\begin{center} 
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
253 & 249 & 250 & 248 & 244 & 252 & 250 & 250 & 251 & 248\\
251 & 255 & 253 & 252 & 252 & 249 & 253 & 248 & 251 & 253\\
246 & 250 & 245 & 246 & 257 & 251 & 252 & 252 & 250 & 251\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Masse  & 244 & 245 & 246 & 247 & 248 & 249 & 250 & 251 & 252 & 253 & 254 & 255 & 256 & 257\\\hline
Effectif &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline					
		\end{tabularx}
\end{center}
\item Représenter la dispersion de cette série à l'aide d'un diagramme en boîte.
\item Faut-il effectuer un réglage de la  machine ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Chez un fabricant de lames de parquet en chêne rustique on indique :
\begin{itemize}
\item longueur moyenne des lames : 45 cm ;
\item lames de longueur inférieure à 35 cm : 23 \%.
\end{itemize}
On prélève un échantillon de 60 lames dans le stock, pour vérification. On constate que 18 lames ont une longueur inférieure à 35 cm. 

\begin{enumerate}
%\item Calculer la fréquence des lames dont la longueur est inférieure à 35 cm dans l'échantillon.
\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% de la fréquence des lames dont la longueur est inférieure à 35 cm dans les échantillons de taille 60.
\item L'affirmation \og 23\% des lames ont une longueur inférieure à 35 cm\fg{} est-elle remise en cause ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Le directeur commercial affirme que 80\,\% des consommateurs sont satisfaits de la qualité des produits commercialisés par son entreprise. 

On réalise une étude de satisfaction sur un échantillon de 120~personnes. Parmi les personnes interrogées, 90 déclarent être satisfaites des produits.

Déterminer, en justifiant, si l'on doit remettre en question l'affirmation du directeur commercial.

\bigskip

\exo

\medskip

Selon une publication de l'INSEE, 28\,\% des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

\begin{enumerate}
\item On interroge un échantillon de 100 ménages choisis au hasard, et on constate que dans cet échantillon 35 ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?


\item On interroge au hasard 300 ménages qui résident dans le même arrondissement d'une grande agglomération, et on constate également que 105 ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{FONCTION INVERSE}

\minitoc

\newpage

\section{Fonction inverse}

\subsection{Définition}

\cadreR{La fonction inverse est la fonction définie pour tout réel $x \ne 0$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{ensemble de définition}}}

\medskip

L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls  noté $\R^*$, c'est la réunion de deux intervalles $] -\infty ; 0 [ \cup ]0;+\infty[$

\subsection{Variations de la fonction inverse}

\cadreR{La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
}

\subsubsection{Tableau des variations de la fonction inverse}

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(5.7,0)(5.7,2)\psline(5.8,0)(5.8,2)
\rput(0.75,2.5){$x$} \rput(2,2.5){$- \infty$} \rput(5.75,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{}} \rput(5.6,.3){\rnode{B}{}}  \rput(5.9,1.7){\rnode{A1}{}} \rput(9.5,.3){\rnode{B1}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{A1}{B1} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\dem

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls tels que $a < b$. 

Étudions le signe de $f(a)-f(b)= \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b - a}{ab}$ sur chacun des intervalles  $] -\infty ; 0 [$ ou $]0;+\infty[$

\medskip

\begin{minipage}[t]{.48\linewidth}

\begin{center}
\fbox{$a < b <0$}
\end{center}

 Si $a < b <0$ alors $b-a> 0$ et $ab > 0$ donc $\dfrac{b-a}{ab} > 0$ soit $f(a)-f(b)>0$

\medskip

Ainsi, pour tous réels $a$ et $b$ strictement négatifs, si  $a < b$ alors  $f(a) > f(b)$.

\medskip

La fonction inverse est strictement décroissante sur $] -\infty ; 0 [$.

\end{minipage}\hfill \vrule \hfill
\begin{minipage}[t]{.48\linewidth}

\begin{center}
\fbox{$0 < a < b$}
\end{center}

Si $0 < a < b$ alors $b-a> 0$ et $ab > 0$ donc $\dfrac{b-a}{ab} > 0$ soit $f(a)-f(b)>0$


\medskip

Ainsi, pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, si  $a < b$ alors  $f(a) > f(b)$.

\medskip

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
\end{minipage}

	
\subsection{Courbe représentative}

\cadreR{
La courbe représentative de la fonction inverse  est l'hyperbole d'équation $y=\dfrac{1}{x}$.
}
\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque :}}}

\medskip

Pour tout réel $a \ne 0$, $f(-a)=-\dfrac{1}{a}=-f(a)$.

Les points $M\left( a ; f(a) \right)$ et $M'\left( -a ; f(-a) \right)$ sont symétriques par rapport à l'origine du repère.


L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-8)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-8)(10,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){$x$}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}\uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](0,1.6)(.625,1.6)(.625,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](0,-1.6)(-.625,-1.6)(-.625,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](-.625,-1.6)(.625,1.6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{-.25}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.25}{5}{\f}
\uput[ur](.625,1.6){\prune $M$}\uput[dl](-.625,-1.6){\prune $M'$}
\uput[d](.625,0){\prune\footnotesize{$a$}} \uput[l](0,1.6){\prune\footnotesize{$\dfrac{1}{a}$}}
\uput[u](-.625,0){\prune \footnotesize{$-a$}} \uput[r](0,-1.6){\prune \footnotesize{$-\dfrac{1}{a}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque :}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item On peut rendre $f(x)=\dfrac{1}{x}$ aussi grand que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de 0 et positif.
\item On peut rendre $f(x)=\dfrac{1}{x}$ aussi proche de 0 que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment grand.
\end{itemize}


Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsque $x$ tend vers $+\infty$, et de l'axe des ordonnées lorsque $x$ se rapproche de 0.

On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.


\section{Quotient d'expressions}



Un quotient d'expressions est une fonction $f$ qui peut s'écrire sous la forme \mbox{$f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}$}.

Ces fonctions sont définies pour toutes les valeurs du réel $x$ telles que le dénominateur $B(x)\ne 0$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)= \dfrac{2x+1}{3-2x}$.

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $3-2x \ne 0$ soit $x \ne \dfrac{3}{2}$. 

L'ensemble de définition de la fonction $f$ est  $D_f =\left] - \infty ; \dfrac{3}{2} \right[ \cup \left]  \dfrac{3}{2}; +\infty ; \right[$ que l'on note aussi $\R-\left\{ \dfrac{3}{2} \right\}$.

\subsection{Équation quotient}

\cadreR{L'équation quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ est équivalente à $A(x)=0$ et $B(x)\ne 0$.
}

\preuve

\begin{itemize}
\item Si le quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ est nul, alors ce quotient existe (ce qui signifie que le dénominateur $B(x)\ne 0$) et que le numérateur $A(x)=0$.
\item Réciproquement si $A(x)=0$ et $B(x)\ne 0$, alors le quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ existe et il est nul.
\end{itemize}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}
\begin{enumerate}
\item L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=0$ équivaut à $2x+3=0$ et $x+1 \ne 0$. La solution de cette équation est $x=-\dfrac{3}{2}$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\dfrac{3x+1}{2x-3}=2$.

Cette équation existe si, et seulement si, $2x-3 \ne 0$ soit pour tout réel $x \ne \dfrac{3}{2}$.

Or pour tout réel $x \ne \dfrac{3}{2}$ :  \[\begin{split}
\dfrac{3x+1}{2x-3}=2 &\iff \dfrac{3x+1}{2x-3}-2 =0\\
&\iff \dfrac{3x+1}{2x-3}-\dfrac{2\times(2x-3)}{2x-3} =0\\
&\iff \dfrac{3x+1-4x+6}{2x-3} =0\\
&\iff \dfrac{-x+7}{2x-3} =0\\
\end{split}\]
Donc l'équation $\dfrac{3x+1}{2x-3}=2$ équivaut à $-x+7=0$ et  $x \ne \dfrac{3}{2}$. La solution de cette équation est $x=7$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\dfrac{3}{x}=\dfrac{x}{2}$.

Pour tout réel $x \ne 0$ :  \[\begin{split}
\dfrac{3}{x}=\dfrac{x}{2} &\iff \dfrac{3}{x}-\dfrac{x}{2} =0\\
&\iff \dfrac{6-x^2}{2x} =0\\
\end{split}\]
Donc l'équation $\dfrac{3}{x}=\dfrac{x}{2}$ équivaut à $6-x^2=0$ et  $x \ne 0$. 

Or $6-x^2=0 \iff x^2=6$, c'est à dire $x=-\sqrt{6}$ ou $x=\sqrt{6}$. Pour ces deux valeurs, la condition $x \ne 0$ est respectée.

L'ensemble des solutions de l'équation $\dfrac{3}{x}=\dfrac{x}{2}$ est $S=\left\{ -\sqrt{6} ; \sqrt{6}\right\}$
\end{enumerate}


\subsection{Inéquations quotient}

\cadreR{Le quotient de deux nombres réels de même signe est positif.

Le quotient de deux nombres réels de signes contraires est négatif.
}

\medskip

Les inéquations quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}\leqslant 0$, $\dfrac{A(x)}{B(x)}< 0$, $\dfrac{A(x)}{B(x)}\geqslant 0$ et $\dfrac{A(x)}{B(x)}> 0$ se résolvent après l'étude du signe du quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip
 

Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\dfrac{2}{3x-2} \geqslant 1$

Le quotient $\dfrac{2}{3x-2}$ est défini pour tout réel $x$ tel que le dénominateur $3x-2 \ne 0$. 

Pour tout réel $x \ne \dfrac{2}{3}$ : \[
\begin{split}
\dfrac{2}{3x-2} \geqslant 1 & \iff \dfrac{2}{3x-2} -1 \geqslant 0 \\
&  \iff \dfrac{2-3x+2}{3x-2} \geqslant 0 \\
&  \iff \dfrac{4-3x}{3x-2} \geqslant 0 \\
\end{split}
\]
Pour déterminer le signe du quotient $\dfrac{4-3x}{3x-2}$, on étudie les signe de chacun des termes du quotient :
\[ 4-3x \leqslant 0 \iff x \geqslant  \dfrac{4}{3} \qquad \text{et} \qquad 3x-2 \leqslant 0 \iff x \leqslant \dfrac{2}{3} \]
On résume dans un seul tableau le signe de chacun des termes et, on en déduit le signe du quotient en utilisant la règle des signes d'un quotient.

La double barre dans le tableau indique que $\dfrac{2}{3}$ est une valeur interdite   :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,2)(16,2)\psline[linewidth=0.6pt](0,3)(16,3)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,4)
 \psset{arrows=-,linewidth=.5pt} 
 \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$\dfrac{2}{3}$} \rput(11.5,3.5){$\dfrac{4}{3}$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$4-3x$} \rput(5.5,2.5){$+$}\pnode(7.5,3){m3}\pnode(7.5,2){m2}\ncline{m3}{m2}\rput(9.5,2.5){$+$} \pnode(11.5,3){n3}\pnode(11.5,2){n2}\ncline{n3}{n2}\ncput*{0}\rput(13.5,2.5){$-$} 
 \rput(1.5,1.5){$3x-2$} \rput(5.5,1.5){$-$} \pnode(7.5,1){m1}\ncline{m2}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,1.5){$+$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n2}{n1}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$\dfrac{3-4x}{3x+2}$} \rput(5.5,0.5){$-$} \pnode(7.5,0){m0}\ncline[doubleline=true,doublesep=2pt,linewidth=.5pt]{m1}{m0} \rput(9.5,0.5){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$-$}
 \psframe[linewidth=0.6pt](16,4)
 \psline[linewidth=0.6pt](0,1)(16,1)  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{3-4x}{3x+2} \geqslant 0$ est $S=\left]  \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3} \right]$.

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\medskip

$f$ est la fonction inverse.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'image par $f$ de chacun des nombres réels suivants :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $-0,01$ & \item $-\dfrac{2}{3}$ &\item  $\dfrac{3}{2}$  &\item  $1-\dfrac{4}{3}$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\item Calculer l'image par $f$ de chacun des nombres réels suivants sans laisser de racine carrée au dénominateur :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $-\sqrt{2}$ &\item $-2\sqrt{3}$ &\item  $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$  &\item  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier $\sqrt{2}$ est inférieur à 2, puis comparer $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\dfrac{1}{2}$.
\item Comparer les inverses de $\sqrt{15}$ et $4$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement de $\dfrac{1}{x}$ dans chacun des cas suivants :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $-0,5 < x < -0,4$ & \item $\dfrac{2}{3} < x < 1$ & \item $x  > \dfrac{1}{5}$ & \item $x  \leqslant -\sqrt{2}$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\item Dans chaque cas, trouver les réels $x$ qui satisfont la condition donnée :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{3}{4}$ & \item $\dfrac{1}{x} > 2$ & \item $-2  < \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{5}$ & \item $-\dfrac{1}{3}  \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 3$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600 ?

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses. 
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $x > -2 \implies \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$ & \item $x > 4 \implies \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{4}$ &  \item $x < 0,6 \implies \dfrac{1}{x} > \dfrac{5}{3}$ & \item $x \leqslant -\dfrac{2}{3} \implies \dfrac{1}{x} \geqslant -1,5$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\item Pour chacune des implications précédentes, énoncer la réciproque et dire si celle ci est  vraie ou fausse. 
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel tel que $1<x\leqslant 2$
\begin{enumerate}
\item Montrer que ${\left(x-1\right)}^3 \leqslant {\left(x-1\right)}^2$
\item Que peut-on en déduire pour $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^3}$ et $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ ?
\end{enumerate}
\item La proposition \og Pour tout réel $x > 1$, $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^3} \geqslant \dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip

 Soit $a \ne 0$ un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombres $a$, $a^2$ et $\dfrac{1}{a}$

\begin{enumerate}
	\item Les courbes représentatives des fonctions $f \colon x \mapsto x^2$, $g \colon x \mapsto x$ et $h \colon x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sont représentées sur le graphique ci-dessous

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\def\h{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(6,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.732}{1.732}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3}{-.333}{\h}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.333}{3}{\h}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=vert](-3,-3)(3,3)
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombres $a$, $a^2$ et $\dfrac{1}{a}$ selon les différentes valeurs du réel $a$.

\item Si $0 < a \leqslant 1$ montrer que $ a^2 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{a}$
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.2)(4,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\newrgbcolor{jaunec}{1 .98 .8}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=vert,fillstyle=solid,fillcolor=jaunec,addfillstyle=hlines,hatchcolor=vert,hatchwidth=0.25pt](.414,0)(.414,2.414)(1,1)(1,0)(.414,0)
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=prune,fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt](1,0)(1,1)(2.414,.414)(2.414,0)(1,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.2,-.2)(4,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.333}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=vert](.414,0)(.414,2.414)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.414,0)(2.414,.414)
\uput[ul](4,.25){\footnotesize{\bleu $\mathcal{C}_f$}}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{\prune $A$}}\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune $M$}}\uput[u](2.4,.4){\footnotesize{\bleu $M'$}}\uput[ur](1,1){\footnotesize{\bleu $B$}}\uput[ur](.4,2.4){\footnotesize{\bleu $N'$}}\uput[d](.4,0){\footnotesize{\vert $N$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij on considère les points $A(1;0)$ $M( a; 0)$ et $N(b ; 0)$ avec $b < 1 < a$.

$\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=\dfrac{1}{x}$. 

Les points $B$, $M'$ et $N'$ sont des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ ayant respectivement la même abscisse que les points $A$, $M$ et $N$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'abscisse du point $M$ pour que l'aire du trapèze $AMM'B$ soit égale à une unité d'aire.	
	\item Déterminer l'abscisse du point $N$ pour que l'aire du trapèze $ABNN'$ soit égale à une unité d'aire.
\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chercher l'erreur dans le raisonnement suivant :

\og Comme la fonction inverse est décroissante, $\dfrac{1}{2x+3} \leqslant 1 \Leftrightarrow 2x+3 \geqslant 1$ d'où $x \geqslant -1$\fg{}.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\dfrac{1}{2x+3} \leqslant 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X m{6cm}} 
Pour deux résistances $R_1$ et $R_2$ montées en parallèle, la résistance $R$ du dipôle vérifie la relation  $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$.


Les résistances sont exprimées en ohms ($\Omega$). 

On donne  $R_1=4$ et  $R_2 =x$.
&
%\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
	\begin{pspicture}(0,-1.5)(10,1.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\definecolor{orangeClair} {rgb}{.98 .64 .26}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=2](0,0){A}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](5,1){B}
\ncangle[angleA=0, angleB=-180,armB=1.2cm]{A}{B}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](5,-1){C}
\ncangle[angleA=0, angleB=180,armB=1.2cm]{A}{C}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=1.5](10,0){D}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{D}{B}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{D}{C}
\rput(5,1){$R_1$}
\rput(5,-1){$R_2$}
\end{pspicture}
%\end{center}
 \end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $R=\dfrac{4x}{x+4}$
\item Déterminer la résistance $R_2$ pour que la résistance $R$ du dipôle soit égale à $3\, \Omega$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x}{x+4}$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $A$ et $B$ tels que $f(x)=A+\dfrac{B}{x+4}$
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Est-il possible que la résistance $R$ du dipôle soit supérieur à $4\, \Omega$ ?

\end{enumerate}

 \bigskip 
  
 \exo 

 \medskip 

On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'une voiture pour le week-end est de 90\euro{}, que la consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un litre de carburant est de 1,50\euro.


\begin{enumerate}
	\item Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
	
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru ?


\item Soit $x>0$ le nombre de kilomètres parcourus par un client qui  loue une voiture pendant le week-end.
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $x$, le montant $f(x)$ du prix de revient moyen par kilomètre parcouru.
	
	\item Préciser les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre parcouru a été de 0,52\euro .
\begin{enumerate}
	\item Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end ?
	\item Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3}{x+1}$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante.
	\item Résoudre l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x)\leqslant 6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

À l'occasion d'une randonnée, la vitesse moyenne d'un cycliste à l'aller est de 15 km/h.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour lorsque la vitesse moyenne au retour est de 21 km/h ?

\item On note $x$ la vitesse moyenne exprimée en km/h du cycliste au retour et $V(x)$ la vitesse moyenne du cycliste sur le trajet aller-retour.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $V(x)= \dfrac{30x}{x+15}$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ la vitesse moyenne sur le trajet total sera supérieure à 20 km/h ?
\item La vitesse moyenne  sur le trajet total peut-elle dépasser les 30 km/h ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur l'intervalle $]-2 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{5}{x+2}$ . Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$  est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(26,17)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{5/(x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-2)(26,17)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(6.5,8.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.4,0){$x$} \uput[l](-0.05,8.3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.41}{6.5}{\f}
\rput(6.25,1){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Résoudre graphiquement $f(x)\geqslant 2$.
	\item Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $-2<a<b$
	
\begin{enumerate}
	\item Comparer $f(a)$  et $f(b)$.
	\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-2 ; +\infty[$.
\end{enumerate}
 
	\item Soit $g$ la fonction affine telle que  $g(-1,5)=4$ et $g(2,5)=0$ .
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère orthogonal précédent.
\end{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-2 ; +\infty[$, $f(x)-g(x)=\dfrac{x^2-0,5x}{x+2}$.
	\item Étudier le signe de $f(x)-g(x)$. Interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip


\exo

\begin{tabularx}{\linewidth}{X m{4.5cm}} 
 
$ABCD$ est un rectangle tel que $AB =8$ et $BC =5$.

$M$ est un point du segment $[AB]$ distinct de $B$. 

La droite $(CM)$ coupe la droite $(AD)$ en $N$
&
 \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.5pt, linecolor=bleu}
\psline(0,8)(0,0)(8,0)(8,5)(0,5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](8,0)(0,7.5)
 \uput[l](0,5){\footnotesize{\bleu{$A$}}}\uput[ur](8,5){\footnotesize{\bleu{$B$}}} \uput[dr](8,0){\footnotesize{\bleu{$C$}}}\uput[dl](0,0){\bleu{$D$}}
\uput[d](1.33,5){\footnotesize{\prune{$x$}}}\uput[ur](2.66,5){\footnotesize{\prune{$M$}}} \uput[l](0,7.5){\footnotesize{\prune{$N$}}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx}

 \begin{enumerate}
 \item On pose $AM=x$
 \begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles du réel $x$ ?
\item Exprimer la distance $AN$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; 8[$ par $f(x)= \dfrac{40}{8-x}-5$.

Étudier les variations de la fonction $f$.

\item Pour quelles valeurs de $x$ la distance $AN$ est-elle comprise entre 3 et 20 ?
\item Est-il possible que $AN \geqslant 1995$ ?
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\exo 

 \medskip 

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :
\begin{itemize}
	\item la fonction d'offre $f$ est donnée par $f(q)=0,5q$
	\item la fonction demande $g$ est donnée par $g(q)=\dfrac{78-6q}{q+8}$
\end{itemize}

 où $f(q)$ et $g(q)$ sont les prix d'un article en euros, pour une quantité $q$ comprise entre 1 et 12 millions d'unités.
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-4,-1)(28,19) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x}
\def\g{(78-6*x)/(x+8)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,18) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(13,9)
\uput[dl](0,9){\footnotesize{Prix (en \euro)} } 
\rput(13.2,.2){\footnotesize{Quantité} } 
\rput(13.2,-.2){\footnotesize{(en millions)} } 
\rput(1.5,8.5){\scriptsize{\prune{Courbe de demande}}} 
\rput(1.5,8.25){\scriptsize{\prune{du marché}}}
\rput(12.5,6.5){\scriptsize{\bleu{Courbe d'offre}}} 
\rput(12.5,6.25){\scriptsize{\bleu{du marché}}}    
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{12}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1}{12}{\g}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item À l'aide du graphique précédent, déterminer si la demande est excédentaire quand le prix de vente d'un article est de 1~\euro{}.
	\item On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50 \euro{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché ;
	\item Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché ;
	\item Quel problème cela pose-t-il ?
\end{enumerate}
   
\item On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.

Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

L'hyperbole $C_f$  tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$. L'hyperbole $C_f$ a pour équation $y=\dfrac{4x-37}{2x-1}$. 

\begin{enumerate}	
	\item 	
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
	\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.
	\item Résoudre l'équation $f(x)=3$.
	\end{enumerate}
	\item 	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{x-0,5}$.
	\item 2 a-t-il un antécédent par $f$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-7)=8$  et $g(6)=-5$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère orthogonal donné en annexe.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
		\item Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et $D$.
	\item Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-17,-12)(15,22)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(-1,21){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\def\f{(4*x-37)/(2*x-1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-17,-12)(15,20)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8.5,-12)(7.5,20)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,20){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8.5}{-.47}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1.75}{7.5}{\f}
%\psline(-7,8)(6,-5)
\uput[dr](2,-10.5){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{PROBABILITÉS}

\minitoc

\newpage

 \section{Vocabulaire et notations} 

\subsection{Expérience aléatoire}


\cadreB{%
\begin{itemize}
\item Une  expérience aléatoire est une  expérience dont le résultat est soumis au hasard.
\item L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est l'univers associé à cette expérience aléatoire. On le note $\Omega$.
\item Chacun des résultats de cette expérience aléatoire est une éventualité ou un évènement élémentaire.
\end{itemize}
}

\medskip

	\emph{Remarques} :
	
\begin{enumerate}
	\item Le résultat d'une expérience aléatoire est défini par l'expérimentateur. 

On lance un dé cubique :
\begin{itemize}
	\item Si on s'intéresse au chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera l'un des des chiffres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. L'univers associé à cette expérience est $\Omega = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 , 6 \right\}$
		\item Par contre, si on s'intéresse à la parité du chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera \og pair \fg{} ou \og impair \fg{}. L'univers associé à cette expérience est $\Omega = \left\{\text{pair}, \text{impair} \right\}$
\end{itemize}
\item L'univers  $\Omega$ n'est pas toujours un ensemble fini .

On lance une pièce de monnaie jusqu'à obtenir \og face \fg{} un résultat est un mot de longueur finie ou infinie formé avec les deux lettres P pour \og pile \fg{} et F pour \og face \fg{}. Par exemple, le résultat PPPF signifie qu'on a lancé quatre fois la pièce, les trois premiers lancers ont donné \og pile \fg{} et le quatrième \og face \fg{}.

$\Omega$ est l'ensemble des mots de la forme $\underbrace{\text{P} \cdots \text{P}}_{k \text{ fois}}\text{F}$, $k \in \N$ et du mot de longueur infinie formé avec la lettre P.
\end{enumerate}
	
	\subsection{Évènement}
	
\cadreB{%
Un évènement associé à une expérience aléatoire est une partie de l'univers $\Omega$ constituée de l'ensemble des évènements élémentaires de $\Omega$ pour lesquels on sait si une propriété est vérifiée ou non à l'issue de l'expérience aléatoire.

\begin{itemize}
	\item L'évènement certain est noté $\Omega$, il est toujours réalisé.
	\item L'évènement impossible est noté $\varnothing$, il ne se réalise jamais.
	\end{itemize}
}

\medskip	

	\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
Dans le cas d'un lancer de dé cubique, les phrases \og le résultat est un multiple de 3 \fg{}, \og le résultat est 6 \fg{} et \og le résultat est 7 \fg{} définissent trois évènements.

\subsection{Opérations sur les évènements}
	
\cadreB{%

Soit $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire, $A$ et $B$ deux évènements

\begin{itemize}
	\item L'évènement \og $A$ ne s'est pas réalisé \fg{} est l'évènement contraire de $A$ noté $\overline{A}$.
	\item L'évènement \og au moins un des évènements $A$ ou $B$ s'est réalisé \fg{}  est l'évènement \og $A$ ou $B$ \fg{} noté $A \cup B$.
	\item L'évènement \og les évènements $A$ et $B$ se sont réalisés \fg{}  est l'évènement \og $A$ et $B$ \fg{} noté $A \cap B$.
	\item Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. 
	
	On a alors  $A \cap B = \varnothing$.
	
	Les évènements  $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles.
\end{itemize}
}

\medskip	

	\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
On lance un dé cubique. 

On note $A$ l'évènement \og obtenir un nombre est pair \fg{}, $B$ l'évènement \og le nombre obtenu est un nombre premier \fg{}

\begin{itemize}
	\item $A=\left\{ 2 , 4 , 6 \right\}$ et $\overline{A}=\left\{ 1 , 3 , 5 \right\}$.
	\item $B=\left\{ 2 , 3 , 5 \right\}$ d'où $A \cup B=\left\{ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \right\}$ et $A \cap B=\left\{ 2 \right\}$.
	\end{itemize}
	
	
 \section{Probabilité} 

\subsection{Loi de probabilité} 

\cadreR{%
$\Omega$ désigne un univers de $n$ éventualités $\left\{ e_1, e_2, \ldots , e_n \right\}$.

Définir une loi de probabilité $p$ sur $\Omega$, c'est associer, à chaque évènement élémentaire $e_i$ un nombre réel $p\left(e_i\right)~=~p_i$ de l'intervalle $[0; 1]$,
tel que :\[ p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\]
}
 
\subsection{Probabilité d'un évènement} 

\cadreR{%
Soit $\Omega$ un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.

La probabilité d'un évènement $A$, est le réel noté $p(A)$ tel que :
\begin{itemize}
	\item $p(A) \in [0; 1]$
	\item $p(A)$ est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.
\end{itemize}
}

\subsection{Propriétés} 

\cadreB{%

Soit $\Omega$ un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.

\begin{enumerate}
	\item La probabilité de l'évènement certain est égale à 1. $p\left(\Omega\right)=1$.	
	\item La probabilité de l'évènement impossible est nulle. $p(\varnothing)=0$.	
	%\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements incompatibles alors  $p\left(A \cup B \right) = p(A) + p(B)$
	\item Pour tout évènement $A$, $p(\overline{A})=1-p(A)$.	
	\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements $p\left(A \cup B \right) = p(A) + p(B) - p\left(A \cap B \right)$
\end{enumerate}
}

 
\subsection{Équiprobabilité} 


\cadreR{%
Soit $\Omega$ un univers fini de $n$ éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité  c'est à dire, si $p(e_1)= p(e_2)=  \cdots = p(e_n) = \dfrac{1}{n}$, alors l'univers est dit équiprobable. 

On a alors pour tout évènement $A$, \[p(A)=\dfrac{\text{nombre des issues favorables à }A}{\text{nombre des issues possibles}} = \dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}\]
}

\medskip

\emph{Notation} :

Soit $E$ un ensemble fini, le cardinal de $E$ noté $\mathrm{card}(E)$ est le nombre d'éléments de l'ensemble $E$.

\medskip

		\textsf {\textsc{\small{exemples}}}
		
\medskip
\begin{enumerate}
\item \emph{On lance deux dés équilibrés. Quel est l'évènement le plus probable $A$ \og la somme des nombres obtenus est égale à 7 \fg{} ou $B$ \og la somme des nombres obtenus est égale à 8 \fg{} ?}


Si on  s'intéresse à la somme des deux dés, l'univers est $\Omega = \left\{2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 \right\}$ mais il n'y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n'a pas la même probabilité. 

\begin{center}
$2=1+1$ alors que $5=1+4$ ou $5=2+3$
\end{center}
 
On se place dans une situation d'équiprobabilité en représentant une issue à l'aide d'un couple $(a,b)$ où $a$ est le résultat du premier dé et $b$ le résultat du second dé. 

L'univers $\Omega$ associé à cette expérience est l'ensemble des couples formés avec les éléments de $\left\{ 1, 2, 3, 4, 5 , 6\right\}$. 

Les dés étant équilibrés, il y a $6 ^2=36$ résultats équiprobables.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-7}
\multicolumn{1}{c|}	{}& 1 &	2	& 3 &	4 & 5 &	6 \\ \hline
1 &	(1,1) & (1,2) &	(1,3) &	(1,4) &	(1,5) &	(1,6) \\ \hline
2	& (2,1) &	(2,2) & (2,3) &	(2,4) &	(2,5) &	(2,6)\\ \hline
3	& (3,1) &	(3,2) &	(3,3) &	(3,4) &	(3,5) &	(3,6)\\ \hline
4	& (4,1) &	(4,2) &	(4,3) &	(4,4) &	(4,5) &	(4,6)\\ \hline
5 &	(5,1) &	(5,2) &	(5,3) &	(5,4) &	(5,5) &	(5,6)\\ \hline
6	& (6,1) &	(6,2) &	(6,3) &	(6,4) &	(6,5) &	(6,6)\\ \hline
\end{tabularx}	
\end{center}

L'évènement $A$ est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D'où : \[p(A)=  \dfrac{6}{36} =\dfrac{1}{6}\]

L'évènement $B$ est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D'où : \[p(B)=  \dfrac{5}{36}\]

L'évènement le plus probable est $A$.

	\item \emph{La probabilité de l'évènement $B$ \og obtenir au moins un double six en lançant 12 fois deux dés \fg{} est-elle supérieure à la probabilité de l'évènement $A$ \og obtenir au moins une fois un six en lançant deux fois un dé \fg{}  ?}
 

\begin{enumerate}
	\item Probabilité de l'évènement $A$
	
 Lorsqu'on lance deux fois un dé il y a $6 ^2=36$ résultats équiprobables. 
	
	L'évènement $A$ \og obtenir au moins un six \fg{} est l'évènement contraire de l'évènement \og n'obtenir aucun six au cours des deux lancers \fg{}. 	
	
	Or l'évènement $\overline{A}$ est l'ensemble des couples formés avec les éléments de $\left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$. 
	
	Le nombre d'éléments de $\overline{A}$ est $5^2=25$ d'où $p \left( \overline{A} \right) = \dfrac{5^2}{6^2}$ et \[ p(A) = 1- p \left( \overline{A} \right) = 1- \dfrac{5^2}{6^2}=\dfrac{11}{36} \approx 0,306\]
	
	\item Probabilité de l'évènement $B$
	
Lorsqu'on lance une fois deux dés, il y a 36 couples de résultats équiprobables. La probabilité de l'évènement \og ne pas obtenir de double six \fg{} vaut $\dfrac{35}{36}$.

Lorsqu'on lance 12 fois deux dés, la probabilité de l'évènement $\overline{B}$ \og ne pas obtenir de double six \fg{} vaut $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{12}$ d'où \[ p(B) = 1- p \left( \overline{B} \right) = 1- \left(\dfrac{35}{36}\right)^{12} \approx 0,287\]
\end{enumerate}

Ainsi, la probabilité de l'évènement $B$ \og obtenir au moins un double six en lançant 12 fois deux dés \fg{} est inférieure à la probabilité de l'évènement $A$ \og obtenir au moins une fois un six en lançant deux fois un dé \fg{}
\end{enumerate}

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 

Dans une entreprise, on a relevé qu'au cours d'une année: 40\% des salariés ont été absents au moins 1 jour; 30\% des salariés ont été absents au moins 2 jours ; 15\% des salariés ont été absents au moins 3 jours ; 10\% des salariés ont été absents au moins 4 jours ; 5\% des salariés ont été absents au moins 5 jours.

On choisit au hasard un salarié de cette entreprise. Quelle est la probabilité pour que ce salarié :

\begin{enumerate}
	\item n'ait jamais été absent au cours de cette année ?
	\item ait été absent une seule journée au cours de cette année ?
	\item ait été absent au plus 3 jours ?
\end{enumerate}

\bigskip

  \exo

\medskip

On tire, au hasard, une carte d'un jeu de 32 cartes. 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les probabilités des événements suivants :
\begin{enumerate}
	\item $R$ : \og la carte est un roi \fg ;
	\item $F$ : \og la carte est une figure \fg  ;
	\item $C$ : \og la carte est un c\oe{}ur \fg.
	\end{enumerate}
\item Décrire l'événement $F \cap C$ puis calculer sa probabilité $p(F \cap C)$. 

En déduire la probabilité $p(F \cup C)$ d'obtenir une figure ou un c\oe{}ur.

\end{enumerate}
 
 \bigskip 

 \exo

\medskip

 On  choisi au hasard  un nombre entre 1 et 36.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité des événements suivants :
\begin{itemize}
	\item $A$ : \og le nombre est un multiple de 3 \fg
	\item $B$ : \og le nombre est un multiple de 4 \fg
	\item $C$ : \og le nombre est un multiple de 9 \fg
	\item $D$ : \og le nombre est premier \fg
\end{itemize}

\item Calculer la probabilité des évènements : $A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $A \cap \overline{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo

\medskip

Les résultats d'une enquête sur l'audience de deux magazines A et B, sont les suivants:

3 \% de la population lit les deux magazines. Le magazine A est lu par 12 \% de la population  tandis que le magazine B est lu par 7 \% de la population. 

On interroge une personne de cette population au hasard. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne lise pas le magazine A.
	\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne lise aucun des deux magazines. 
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
\exo 

 \medskip 

Une enquête a été réalisée auprès d'un échantillon représentatif de la population d'une municipalité afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.

L'enquête révèle que 60\,\% des habitants pratiquent le tri sélectif, 55 \% des habitants sont sensibles au développement durable, et, la moitié de la population  est sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

On interroge au hasard un habitant de cette ville. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $D$ : La personne interrogée est sensible au développement durable.
\item $T$ : La personne interrogée pratique le tri sélectif.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne pratique pas le tri sélectif ?
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée est sensible au développement durable ou pratique le tri sélectif.
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne soit pas sensible au développement durable et ne pratique pas le tri sélectif.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Deux maladies A et B affectent les animaux d'un pays. 
 
On estime que  12\% des animaux sont atteints de la maladie A, 8\% des animaux sont atteints de la maladie B et 3\% des animaux sont atteints des deux maladies. 

On prend un animal de ce pays au hasard.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité que cet animal soit atteint seulement de la maladie A.
	\item Calculer la probabilité que cet animal ne soit pas malade.
\end{enumerate}

 \bigskip  
  
\exo 

 \medskip 

Un fabriquant de lentilles  hydrophiles a constaté à l'issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts :  un rayon de courbure défectueux ou une perméabilité à l'oxygène défectueuse.
 
Au cours d'une semaine, on a constaté que 6\,\% des lentilles présentent au moins un des deux défauts, 5\,\% des lentilles présentent un rayon de courbure défectueux et 3\,\% présentent une perméabilité à l'oxygène défectueuse.

On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement : \og la lentille prélevée présente un rayon de courbure défectueux \fg{} ;
\item $B$ l'évènement : \og la lentille prélevée présente une perméabilité à l'oxygène défectueuse \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og la lentille prélevée au hasard ne présente aucun défaut \fg. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og la lentille prélevée au hasard présente les deux défauts \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : \og la lentille prélevée au hasard n'a qu'un seul des deux défauts \fg.
\end{enumerate}

 \bigskip 

 \exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.  Une étude statistique a permis de constater que 10\% des articles fabriqués sont défectueux.

Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés $a$ et $b$.

On prélève un article au hasard et on note, $A$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $b$ \fg.

On donne les probabilités suivantes : $p(A) = 0,05$ ; $p(B) = 0,06$.

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement  $A\cup B$.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut \fg ? 
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard présente les deux défauts \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard n'a qu'un seul des deux défauts \fg.  
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

\medskip

On considère un alphabet soit formé des trois lettres $A$, $B$ et $C$.

\begin{enumerate}
\item Avec cet alphabet on écrit un mot de deux lettres. Quelle est la probabilité que ce mot soit écrit avec deux lettres différentes ?
\item Quelle est la probabilité d'écrire un mot de trois lettres différentes ?  
\end{enumerate}
 
\bigskip

\exo 

 \medskip

On lance trois fois de suite un dé équilibré et on forme un nombre avec les résultats obtenus : par exemple, si on tire 4,3 et 3 on obtient : $433$.
\begin{enumerate}
\item Combien de nombres différents peut-on obtenir ? Quelle est la probabilité d'obtenir $433$ ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre composé de trois chiffres tous différents ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre composé seulement des chiffres $1$ ou $2$ ?
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{TRIGONOMÉTRIE}

\minitoc

\newpage

\section{Repérage sur un cercle}

\subsection{Cercle trigonométrique}

\begin{minipage}{12cm} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij 

Le cercle trigonométrique est le cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon 1 orienté dans le sens direct.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}\uput[d](.5,0){\footnotesize{\red $\vv{i}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\red $\vv{j}$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){1.2}{30}{60}
\uput[dl](-.75,-.75){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\rput(1,1){\prune +}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsection{Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique}

\begin{minipage}{12cm}

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij 

La droite $\mathcal{D}$ est tangente en $I$ au cercle trigonométrique $\mathcal{C}$.

$A$ est le point de coordonnées $\left( 1 ; 1\right)$. La droite $\mathcal{D}$ est munie du repère $\left( I ; A\right)$.


Par enroulement de la droite réelle $\mathcal{D}$ sur le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ :
\begin{itemize}
\item à tout point de la droite d'abscisse $x$ on peut associer un unique point $M$ du cercle trigonométrique, image du réel $x$ ;
\item tout point $M$ du cercle trigonométrique est l'image d'une infinité de réels. Si le point $M$ est associé à un réel $x$, alors il est associé à tout réel de la forme $x + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.5)(1.2,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{ $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}\uput[d](.5,0){\footnotesize{\red $\vv{i}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\red $\vv{j}$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](1,-1.5)(1,2.8)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](1,0)(1,2.18)
\psbezier[linewidth=1pt,linestyle=dashed, linecolor=prune,arrowscale=1.5]{->}(1,2.18)(.4,2.18)(-.4,1.8)(-.57242,.819952)
\psarc[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0){1}{124.9} {360}
\psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,0){1}{0}{124.92}
\psdot[linecolor=prune](-.57242,.819952)
\psline[linewidth=.75pt](.92,1)(1.08,1)
\uput[dr](1,2.8){\bleu{$\mathcal{D}$}}
\uput[r](1,1){\bleu{$A$}}
\uput[l](1,1){\footnotesize{1}}
\uput[r](1,2.18){$x$}
\uput[ul](-.57,.82){$M$}
\uput[dl](-.75,-.75){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsection{Mesure d'un angle en radian}

\subsubsection{Définition}

{\cadreB{
\begin{minipage}{12cm} Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre O, de rayon 1.

Un radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte le cercle $\mathcal{C}$ suivant un arc de longueur 1.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{57.2958}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{ $J$}}\uput[d](.5,0){\footnotesize{\red $\vv{i}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\red $\vv{j}$}}
\rput{57.2958}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)\rput[bl]{*0}(1.05,0.05){\prune $M$}}
\uput[r](.3,.2){\footnotesize{\prune{1 rad}}}
\psarc[linecolor=prune]{-}(0,0){.4}{0}{57.2958}
\psarc[linecolor=bleu,linewidth=1pt]{-}(0,0){1}{57.29}{360}
\psarc[linecolor=prune,linewidth=1.25pt]{-}(0,0){1}{0}{57.2958}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
}}
\medskip

\textsf {\textsc{remarque :}}

\medskip

Les mesures en radians et en degrés d'un angle géométrique sont proportionnelles :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Degrés	& $0\degres$	& $30\degres$	& $45\degres$ & $60\degres$ & $90\degres$ & $120\degres$ & $180\degres$ \\ \hline
$x$ en radians \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 0	& $\dfrac{\pi}{6}$	& $\dfrac{\pi}{4}$	& $\dfrac{\pi}{3}$	& $\dfrac{\pi}{2}$	& $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\pi$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsubsection{Valeurs remarquables}

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\prune $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\prune $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu,linestyle=solid](0,0){1} 
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,labelsep=4pt}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=45+90,\i=1+1}{4}{\cnode*(1;\n){2pt}{A\i}}}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=30+30,\i=1+1}{12}{\cnode*(1;\n){2pt}{B\i}}}
\ncline{A1}{A2}  \ncline{A2}{A3}  \ncline{A3}{A4}  \ncline{A4}{A1}
\ncline{B1}{B5}  \ncline{B5}{B7}  \ncline{B7}{B11}  \ncline{B11}{B1}
\ncline{B2}{B4}  \ncline{B4}{B8} \ncline{B8}{B10} \ncline{B10}{B2} 
\nput{10}{A1}{\footnotesize{$\dfrac{\pi}{4}$}}\nput{170}{A2}{\footnotesize{$\dfrac{3\pi}{4}$}}\nput{-170}{A3}{\footnotesize{$-\dfrac{3\pi}{4}$}}\nput{-10}{A4}{\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{4}$}}
\nput{0}{B1}{\footnotesize{$\dfrac{\pi}{6}$}}\nput{180}{B5}{\footnotesize{$\dfrac{5\pi}{6}$}}\nput{-180}{B7}{\footnotesize{$-\dfrac{5\pi}{6}$}}\nput{0}{B11}{\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{6}$}}
\nput{25}{B2}{\footnotesize{$\dfrac{\pi}{3}$}}\nput{145}{B4}{\footnotesize{$\dfrac{2\pi}{3}$}}\nput{-105}{B8}{\footnotesize{$-\dfrac{2\pi}{3}$}}\nput{-105}{B10}{\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{3}$}}
\uput[ur](0,1){\footnotesize{$\dfrac{\pi}{2}$}}\uput[ul](-1,0){\footnotesize{$\pi$}}\uput[dl](0,-1){\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{2}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\section{Cosinus et sinus d'un nombre réel}

\subsection{Définition}
\begin{minipage}{12cm}
\cadreR{Soit $M$  le point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.

\begin{itemize}
\item Le cosinus du réel $x$, noté $\cos{x}$, est l'abscisse du point $M$.
\item Le sinus du réel $x$, noté $\sin{x}$, est l'ordonnée du point $M$.
\end{itemize}}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=.75pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,.766)(.642,.766)(.642,0)
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[d](.642,0){$\cos{x}$}\uput[l](0,.766){$\sin{x}$}
\uput[l](1.2,.4){\prune{$x$}}
\psarc[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0){1}{50}{360} 
\psarc[linecolor=prune,linewidth=1.25pt]{->}(0,0){1}{0}{50}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\subsection{Propriétés}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Pour tout réel $x$ et pour tout entier relatif $k$, $\cos{\left( x +k\times 2\pi \right)} = \cos{x}$ et $\sin{\left( x +k\times 2\pi \right)} = \sin{x}$
\item Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos{x} \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1$
\item Pour tout réel $x$, $\cos^2{x} + \sin^2{x} =1$
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple :}}}

\medskip

 Sachant que $\sin{x} = - \dfrac{\sqrt{5}}{3}$  avec $-\dfrac{\pi}{2}<x<0$, déterminer la valeur exacte de  $\cos{x}$.
 
 Pour tout réel $x$, $\cos^2{x} + \sin^2{x} =1$ donc $\cos^2{x} + \dfrac{5}{9} =1$, soit $\cos^2{x} = \dfrac{4}{9}$.
 
 Il existe deux valeurs possibles du cosinus :\[\cos{x} =  -\dfrac{2}{3}\qquad\text{ ou }\qquad\cos{x} =  \dfrac{2}{3}\]
 
 Comme  $-\dfrac{\pi}{2}<x<0$, alors $\cos{x} > 0$ donc $\cos{x} =  \dfrac{2}{3}$.

\subsection{Valeurs remarquables}

\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 0	& $\dfrac{\pi}{6}$	& $\dfrac{\pi}{4}$	& $\dfrac{\pi}{3}$	& $\dfrac{\pi}{2}$	 \\ \hline
$\cos{x}$ \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 1	& $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	& $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	& $\dfrac{1}{2}$	& 0	 \\ \hline
$\sin{x}$ \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 0	& $\dfrac{1}{2}$	& $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	& $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	& 1	 \\ \hline
\end{tabularx}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-.1,-.1)(1.1,1.1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\psarc[linecolor=bleu,linewidth=1.25pt](0,0){1}{0}{90}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed}
\psline(.866,0)(.866,.5)(0,0.5)\psline(.707,0)(.707,.707)(0,0.707)\psline(0.5,0)(.5,.866)(0,0.866)
\uput[15](.866,.5){\prune $\dfrac{\pi}{6}$}\uput[d](.866,0){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{$\dfrac{1}{2}$}}
\uput[30](.707,.707){\prune $\dfrac{\pi}{4}$}\uput[d](.707,0){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}}\uput[l](0,.707){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}}
\uput[45](.5,.866){\prune $\dfrac{\pi}{3}$}\uput[d](.5,0){\footnotesize{$\dfrac{1}{2}$}}\uput[l](0,.866){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}}
\uput[ur](0,1){\prune $\dfrac{\pi}{2}$}\uput[l](0,1){\footnotesize{$1$}}\uput[d](1,0){\footnotesize{$1$}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\subsection{Angles associés}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Pour tout réel $x$ :\[\boxed{\begin{aligned} \cos{(-x)}  &=  \cos{x} \\ \sin{(-x)}  &= -\sin{x} \end{aligned}}\] 
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{50}
\pswedge[linecolor=grisb,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{.4}{-50}{0}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{-50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[dr](.642,-.766){\prune $N$}
\uput[r](.32,.2){\footnotesize{$x$}}\uput[r](.32,-.2){\footnotesize{$-x$}}
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){.4}{0}{50}
\psarc[linecolor=bleu]{<-}(0,0){.4}{-50}{0}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,.766)(.642,.766)(.642,-.766)(0,-.766)
\end{pspicture}

$M$ et $N$ sont symétriques par rapport à $\left( OI \right)$ &  Pour tout réel $x$ :\[\boxed{\begin{aligned} \cos{(\pi -x)}  &=  - \cos{x} \\ \sin{(\pi -x)}  &= \sin{x} \end{aligned}}\]
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{50}
\pswedge[linecolor=grisb,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{.3}{0}{130}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{130}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[ul](-.642,.766){\prune $N$}
\uput[r](.32,.2){\footnotesize{$x$}}\uput[u](-.05,.3){\footnotesize{$\pi -x$}}
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){.4}{0}{50}
\psarc[linecolor=bleu]{->}(0,0){.3}{0}{130}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.642,0)(-.642,.766)(.642,.766)(.642,0)
\end{pspicture}

$M$ et $N$ sont symétriques par rapport à $\left( OJ \right)$ &
Pour tout réel $x$ :\[\boxed{\begin{aligned} \cos{(\pi +x)}  &=  - \cos{x} \\ \sin{(\pi +x)}  &= -\sin{x} \end{aligned}}\]  
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{50}
\pswedge[linecolor=grisb,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{.3}{0}{230}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{230}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[dl](-.642,-.766){\prune $N$}
\uput[r](.32,.2){\footnotesize{$x$}}\uput[l](0,.4){\footnotesize{$\pi +x$}}
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){.4}{0}{50}
\psarc[linecolor=bleu]{->}(0,0){.3}{0}{230}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,.766)(.642,.766)(.642,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.642,0)(-.642,-.766)(0,-.766)
\end{pspicture} 

$M$ et $N$ sont symétriques par rapport à $O$
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples :}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item $\cos{\dfrac{4\pi}{3}} = \cos{\left( \pi +\dfrac{\pi}{3}\right)} = -\cos{\dfrac{\pi}{3}} = -\dfrac{1}{2}$
\item $\sin{\dfrac{3\pi}{4}} = \sin{\left( \pi -\dfrac{\pi}{4}\right)} = \sin{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\end{enumerate}

\subsection{Équations}

\begin{itemize}
\item \textsf{Équation} $\cos{x} =\cos{a}$

\begin{minipage}{11.3cm}
\cadreR{Soit $a$ un réel donné. Les solutions dans $\R$ de l'équation \mbox{$\cos{x} =\cos{a}$} sont :$ 
\begin{cases}
 x &= a + k \times 2 \pi\\
x &= -a + k \times 2  \pi
\end{cases}$  où $k$ est un entier relatif.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{-50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M(a)$}\uput[dr](.642,-.766){\prune $N(-a)$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.642,.766)(.642,-.766)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(.642,0)
\uput[d](.33,0){\red $\cos{a}$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\item \textsf{Équation} $\sin{x} =\sin{a}$

\begin{minipage}{11.3cm}
\cadreR{Soit $a$ un réel donné. Les solutions dans $\R$ de l'équation \mbox{$\sin{x} =\sin{a}$} sont : $ 
\begin{cases}
 x &= a + k \times 2  \pi\\
x &=\pi -a + k \times 2  \pi
\end{cases}$ où $k$ est un entier relatif.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{40}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{140}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.766,.642){\prune $M(a)$}\uput[ul](-.7,.642){\prune $N (\pi -a)$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.766,.642)(.766,.642)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(0,.642)
\uput[l](0,.321){\red $\sin{a}$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{itemize}

\textsf{\textsc{\small{exemples :}}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 

Comme $\cos{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ l'équation est équivalente à l'équation $\cos{x} = \cos{\dfrac{\pi}{6}}$

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{30}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{-30}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[r](.866,.5){\prune $\dfrac{\pi}{6}$}\uput[r](.866,-.5){\prune $-\dfrac{\pi}{6}$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.866,.5)(.866,-.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(.866,0)
\rput(.433,-.15){\footnotesize{\red $\cos{\dfrac{\pi}{6}}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les solutions  dans $\R$ de l'équation $\cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont $x = \dfrac{\pi}{6} + k \times 2  \pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + k \times 2  \pi$ avec $k$ entier relatif.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation  $\sin{x} = \sin{\dfrac{7\pi}{10}}$.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{126}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{54}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[u](-.59,.809){\prune $\dfrac{7\pi}{10}$}\uput[u](.59,.809){\prune $\pi-\dfrac{7\pi}{10}$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.587,.809)(.587,.809)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(0,.809,0)
\uput[l](0,.4){\footnotesize{\red $\sin{\dfrac{7\pi}{10}}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les solutions  dans $\R$ de l'équation $\sin{x} =\sin{\dfrac{7\pi}{10}}$ sont $x = \dfrac{7\pi}{10} + k \times 2  \pi$ ou $x = \dfrac{3\pi}{10} + k \times 2  \pi$ avec $k$ entier relatif.

\end{enumerate}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo 

 \medskip
 
 \begin{enumerate}
 \item Convertir en radians les mesures d'angle géométriques donnés en degrés :
 \begin{enumerate}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{@{}X}}
\item $210^\circ$	& \item $5^\circ$	& \item $198^\circ$ & \item $315^\circ$ & \item $72^\circ$ & \item $40^\circ$
\end{tabularx}
 \end{enumerate}
 \item Convertir en degrés les mesures des angles géométriques donnés en radians :
 \begin{enumerate}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{@{}X}}
\item $\dfrac{\pi}{9}$	& \item $\dfrac{5\pi}{6}$ & \item $\dfrac{7\pi}{12}$ & \item $\dfrac{9\pi}{5}$ & \item $\dfrac{14\pi}{9}$ & \item $\dfrac{72\pi}{45}$
\end{tabularx}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 
 \exo
 
 \medskip
 
 Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel $x \in \left] - \pi ; \pi\right]$ dont l'image par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique coïncide avec le point image du réel donné. 
 
 \begin{enumerate}
 \setdefaultenum {a) }{} {}{}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{@{}X}}
\item $\dfrac{41\pi}{6}$	& \item $-\dfrac{15\pi}{2}$ & \item $13\pi$ & \item $-\dfrac{10\pi}{3}$ & \item $-35\pi$ & \item $\dfrac{52\pi}{9}$
\end{tabularx}
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
\exo 

 \medskip

Le pentagone $ABCDE$ est inscrit dans le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$.
 	\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.4,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.4,0){$x$} \uput[dl](0,1.3){$y$}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=0+72,\i=1+1}{5}{\pnode(1;\n){S\i}}}
\ncline{S1}{S2}  \ncline{S2}{S3}  \ncline{S3}{S4}  \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S1}
\nput[labelsep=6pt]{72}{S2}{$A$}\nput[labelsep=6pt]{154}{S3}{$B$}\nput[labelsep=6pt]{216}{S4}{$C$}\nput[labelsep=6pt]{-72}{S5}{$D$}\nput[labelsep=6pt]{-54}{S1}{$E$}
\pscircle[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){1.015} 
\end{pspicture}
	\end{center} 
	
	À quels réels de l'intervalle $]-\pi ; \pi ]$  sont associés les sommets de ce pentagone ?
	
\bigskip

\exo 

\begin{minipage}{11cm}
Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left( \mathrm{O}; I, J\right)$, on a tracé le polygone régulier étoilé $ABCDEFGHI$.
\begin{enumerate}
	 \item À quels réels de l'intervalle $]-\pi ; \pi ]$  sont associés les sommets de ce polygone ?	
	\item  Donner les coordonnées des points $C$ et $F$.
	\item  Les points $A$ et $H$ ont-ils la même abscisse ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{5.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.4,1.4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.4)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](1.4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=0+40,\i=1+1}{9}{\pnode(1;\n){S\i}}}
\ncline{S1}{S5}  \ncline{S2}{S6}  \ncline{S3}{S7}  \ncline{S4}{S8} \ncline{S5}{S9} \ncline{S6}{S1}  \ncline{S7}{S2}  \ncline{S8}{S3}  \ncline{S9}{S4}  \nput[labelsep=6pt]{40}{S2}{$G$}\nput[labelsep=6pt]{80}{S3}{$E$}\nput[labelsep=6pt]{120}{S4}{$C$}\nput[labelsep=6pt]{160}{S5}{$A$}\nput[labelsep=6pt]{200}{S6}{$H$}\nput[labelsep=6pt]{240}{S7}{$F$}\nput[labelsep=6pt]{280}{S8}{$D$}\nput[labelsep=6pt]{320}{S9}{$B$}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\end{pspicture}
	\end{flushright}
	\end{minipage}

\exo 

\begin{minipage}{10.5cm}
	\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item  Placer sur le cercle trigonométrique les points $A$, $B$, $C$ et $D$ repérés respectivement par les réels $\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$, $\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, $\dfrac{2\pi}{3}$   et $\dfrac{3\pi}{4}$.
		\item 	Donner les coordonnées des quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\end{enumerate}

\item  $M$ est un point du  cercle trigonométrique tel que la mesure en radians de l'angle  $\widehat{IOM} = \alpha$ avec \mbox{$\alpha \in \left] 0; \dfrac{\pi}{2} \right[$}.

Placer sur le cercle trigonométrique les points $M_1$ et $M_2$ tels que $\widehat{IOM_{1}}  = \dfrac{\pi}{2}+\alpha$ et  $\widehat{IOM_{2}} = \pi -\alpha$.

	
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{6.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-7)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\degrees[360]
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-7)(7,7)
\psset{unit=2.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.167,-1.167)(1.167,1.167)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}
\uput[dr](1,0){\bleu{\footnotesize{$I$}}}
\uput[dl](0,1){\bleu{\footnotesize{$J$}}}
\pscircle[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0){1}
\SpecialCoor
 \pnode(1;18){M}\uput[18](M){\prune{\footnotesize{$M$}}} 
 \psline[linecolor=prune,linewidth=1.5pt](M)
 \psarc[linecolor=prune,linewidth=0.5pt]{->}(0,0){.4}{0}{18}
\uput{.45}[9](0,0){\prune{\footnotesize{$\alpha$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
	\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item \begin{enumerate} \item On donne $\sin{\left(\dfrac{\pi}{10}\right)}= \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$.  Donner la valeur exacte de $\sin{\left(-\dfrac{9\pi}{10}\right)}$.	
	\item Calculer  $\cos{\left(\dfrac{\pi}{10}\right)}$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
 
\exo

\medskip

Connaissant la valeur de $\cos{x}$ ou de $\sin{x}$ sur l'intervalle donné, déterminer la valeur du sinus ou du cosinus du réel $x$ correspondant :

$\sin{x} = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$ ; \hfill   $\cos{x} =- \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $x\in \left[0 ; \pi \right]$ ; \hfill   $\sin{x} = \dfrac{1}{2}$ et $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$.   

$\cos{x} = -\dfrac{1}{2}$ et $x\in \left[-\pi ; 0\right]$ ; \hfill $\cos{x}= \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ et $x\in \left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right ]$; \hfill   $\sin{x} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ et $x\in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi \right]$ .

\bigskip

\exo

\medskip

Simplifier chacune des expressions suivantes :

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item $A =\cos{\left(\pi - x\right)} +2 \cos{x} - 3\cos{\left(\pi + x\right)}$
	\item $B =\sin{\left(2\pi - x\right)} -2 \sin{\left(\pi + x\right)} + 3\sin{\left(x -\pi \right)}$
	\item $C =\cos{\left( - x\right)} -2 \cos{\left(3\pi - x\right)} + 2\cos{\left(x +\pi \right)}$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item $D =\left(1+ \cos{t} + \sin{t} \right) ^2 -2\left(1+ \cos{t}  \right)\left(1+ \sin{t}  \right)$
	\item $E = \cos^4{t} - \sin^4{t} +2\sin^2{t}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

 \exo 

 \medskip  

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle  $\left ]-\pi; \pi \right ]$.  

 $\cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; \hfill  $\sin{x} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; \hfill $1+2 \cos{x} =0$ ; \hfill $1-2 \sin{x} =0$.

 \bigskip 

\exo

\medskip

Résoudre les équations suivantes :

$\cos{x} = \cos{\dfrac{2\pi}{3}}$ ; \hfill   $\sin{x} = \sin{\dfrac{3\pi}{4}}$ ; \hfill   $\sin{x} = \sin{\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)}$ ; \hfill   $\cos{x} = \cos{\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)}$.

\bigskip

\exo

\medskip

 On donne $\cos{\dfrac{\pi}{5}} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la valeur exacte de $\sin{\dfrac{\pi}{5}}$.
\item En déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de $-\dfrac{\pi}{5}$ ; $\dfrac{4\pi}{5}$ et $-\dfrac{4\pi}{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer $\cos{x}$ sachant que $\sin{x} = \dfrac{3}{5}$ et $x \in \left ] \dfrac{\pi}{2}; \pi \right ]$.
\item Résoudre dans l'intervalle  $\left ]-\pi; \pi \right ]$ l'équation $2\cos^2{x} - 1 =0$.
\end{enumerate} 

 \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2-X -\dfrac{3}{4}=0$.
	\item En déduire les solutions dans l'intervalle  $\left ]-\pi; \pi \right ]$ de l'équation $\sin^2{x}- \sin{x} -\dfrac{3}{4}=0$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2x^2-3x -2=0$.
	\item En déduire les solutions de l'équation : $2 \cos^2{x}-3 \cos{x} -2=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 
 
 Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique, $A$ le point du cercle trigonométrique image du réel $\dfrac{\pi}{4}$ et $I$ le point de coordonnées $( 1 ; 0)$. 
 	\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.4,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.4,0){$x$} \uput[dl](0,1.4){$y$}
\pscircle[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){1.015} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(.707,.707)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(.707,.707)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(.707,.707)
\uput[dr](1,0){$I$}\uput[ur](.707,.707){$A$} 
\end{pspicture}
	\end{center} 
	\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées du point $A$. 
	\item Calculer distance $IA$. 
	\item Montrer que $IA= 2 \times \sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$. (\emph{On pourra utiliser le point $M$ milieu du segment $[IA]$.})
	\item En déduire la valeur exacte de $\sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$.
	\item Déterminer alors $\cos{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$, $\cos{\left( \dfrac{7\pi}{8}\right)}$ et $\sin{\left( \dfrac{7\pi}{8}\right)}$.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate} \item  En reproduisant la méthode précédente pour calculer $\sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$, calculer $\sin{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$.
	\item En déduire $\cos{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$, $\cos{\left( \dfrac{11\pi}{12}\right)}$, $\cos{\left( \dfrac{13\pi}{12}\right)}$, $\sin{\left( \dfrac{11\pi}{12}\right)}$ et $\sin{\left( \dfrac{13\pi}{12}\right)}$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 
 
 Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , $M$ est un point du cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ et $I$ le point de coordonnées $( 1 ; 0)$. 
 	\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-.3)(1.4,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{.18 .54 .34}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-.3)(1.4,1.3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.4,0){$x$} \uput[dl](0,1.3){$y$}
\psarc[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){1}{-15}{195} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,0)(.54,.841)(0,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=bleu, linestyle=dashed](.54,.841)(.54,0)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune](.54,.841)
\psarc[linecolor=vert,arcsep=1pt](-1,0){.3}{0}{28.65}\psarc[linecolor=vert,arcsep=1pt](0,0){.24}{0}{57.29}\psarc[linecolor=vert,arcsep=1pt](0,0){.28}{0}{57.29}
\uput[dr](1,0){$I$}\uput[dl](-1,0){$N$}\uput[ur](.54,.841){$M$} \uput[d](.54,0){$H$} 
\end{pspicture}
	\end{center} 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\widehat{IOM}=2\widehat{INM}$
	\item Soit $x$ le réel dont $M$ est l'image par enroulement de la droite réelle sur le cercle $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que  $MN^2= 2\cos{x}+2$.	
	\item En considérant le triangle rectangle $MHN$, montrer que $\cos^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\dfrac{1+\cos{x}}{2}$.
	\end{enumerate}
	\item Application :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer la valeur de $\cos{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$ puis en déduire la valeur de  $\sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$.
	\item Déterminer la valeur de $\cos{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$ puis en déduire la valeur de $\sin{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
	
	\bigskip
	
	\exo 

 \medskip 
 
 Dans la figure ci-dessous, on considère le demi-cercle de rayon 5 cm. 
 	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-.5)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\pswedge*[linewidth=1pt,linecolor=grisb](0,0){5}{0}{30}
\pswedge*[linewidth=1pt,linecolor=grisb](0,0){5}{150}{180}
\psarc[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0){1.4}{0}{30}
\psarc[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0){1.4}{150}{180}
\pspolygon[linewidth=1pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](0,0)(4.33,2.5)(-4.33,2.5)(0,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](4.33,2.5)(-4.33,2.5)
\pspolygon[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](-4.33,2.5)(0,0)(4.33,2.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-5,0)(5,0)
\psarc[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){5}{0}{180}
\uput[dl](-5,0){$A$}\uput[d](0,0){O}\uput[dr](5,0){$B$}\uput[ur](4.33,2.5){$C$}\uput[ul](-4.33,2.5){$D$}
\uput[r](1.4,.6){\footnotesize{$30^\circ$}}\uput[l](-1.4,.6){\footnotesize{$30^\circ$}}
\end{pspicture}
	\end{center} 
	
	Comparer l'aire située sous la corde $DC$ et l'aire de la partie du demi-cercle située au dessus de la corde $DC$.
	
\bigskip
	
	\exo 

 \medskip 
 	
 	Pour tout entier $n$ non nul on considère le réel $a_n = n \sin{\left( \dfrac{\pi}{n}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{n}\right)}$
 	\begin{enumerate}
 	\item Calculer  $a_1 = \sin{\left(\pi\right)}\cos{\left(\pi\right)}$,  $a_2 = 2 \sin{\left( \dfrac{\pi}{2}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{2}\right)}$,  $a_3 = 3 \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{3}\right)}$, $a_4 = 4 \sin{\left( \dfrac{\pi}{4}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{4}\right)}$ et  \mbox{$a_6 = 6 \sin{\left( \dfrac{\pi}{6}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{6}\right)}$}.
 	\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée des réels  suivants :
 	
 	$a_{100} = 100 \sin{\left( \dfrac{\pi}{100}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{100}\right)}$,  $a_{500} = 500 \sin{\left( \dfrac{\pi}{500}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{500}\right)}$ et  $a_{1000} = 1000 \sin{\left( \dfrac{\pi}{1000}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{1000}\right)}$.
 	\item \begin{enumerate}
 	\item Emettre une conjecture sur la valeur de $a_n$ quand $n$ devient de plus en plus grand.
 	\item On considère l'algorithme ci-dessous :
 	
 	\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.8em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$N \leftarrow 1$

$A \leftarrow \sin{\left(\pi\right)}\times\cos{\left(\pi\right)}$

Tant que $\pi - A \geqslant 10^{-4}$

\begin{itemize}
\item[] $N \leftarrow N+1$
\item[] $A \leftarrow N\times \sin{\left( \dfrac{\pi}{N}\right)}\times\cos{\left( \dfrac{\pi}{N}\right)}$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center} 

Donner une interprétation de la valeur de la variable $N$ calculée par cet algorithme.
 	\end{enumerate}
 	\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter{GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE}

\minitoc

\newpage

 \section{Positions relatives de droites et plans} 

\subsection{Règles d'incidence}

\cadreB{
\begin{itemize}
\item Deux points distincts de l'espace déterminent une droite unique.
\item Trois points non alignés de l'espace déterminent un plan unique.
\item Si deux points distincts $A$ et $B$ de l'espace appartiennent à un même plan $\mathcal{P}$ alors, la droite $(AB)$ est contenue dans le plan $\mathcal{P}$.
\item Dans chaque plan de l'espace, on peut appliquer tous les théorèmes de la géométrie plane.
\end{itemize}
}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-3.5,-2)(6.5,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\newrgbcolor{bordQ}{.624 .712 .804}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(4,0,0)(4,6,0)(0,6,0)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu, linewidth=1pt](3.8,-1.2,0)(-1,6,0)
\pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](3,4,0)\pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](.8,3.3,0)\pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](2.4,.9,0)
\pstThreeDPut(3,4,.2){\footnotesize{$C$}}\pstThreeDPut(.8,3.3,.2){\footnotesize{$B$}}\pstThreeDPut(2.4,.9,.2){\footnotesize{$A$}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.3,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{Positions relatives d'une droite et d'un plan}

\cadreB{
Soit $\mathcal{P}$ un plan et $\mathcal{D}$ une droite de l'espace. Trois cas peuvent se présenter :
\begin{itemize}
\item la droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$ ;
\item la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants ;
\item la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ n'ont aucun pont commun.
\end{itemize}
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](-1,-.5,0)(4,-.5,0)(4,7.2,0)(-1,7.2,0)(-1,-.5,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](0.2,.5,0)(3.2,6.5,0)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.3,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](2.8,6,0){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,5)
\newrgbcolor{prune}{.65 0 .48}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](-1,-.5,1)(4,-.5,1)(4,7.2,1)(-1,7.2,1)(-1,-.5,1)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](-1,-2,4)(.8,2.8,1)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](.8,2.8,1)(1.544,4.784,-.24)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](1.544,4.784,-.24)(2,6,-1)
\pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](.8,2.8,1)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.3,1){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}\pstPlanePut[plane=xz,Alpha=170](-1,-1.5,3.7){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](.7,2.9,1){\red{\footnotesize{$I$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.65 0 .48}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](-1,-.5,0)(4,-.5,0)(4,7.2,0)(-1,7.2,0)(-1,-.5,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](3,-.5,3)(1,6.5,3)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.3,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}\pstPlanePut[plane=xz,Alpha=170](3,-.5,3.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}\\
$\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$ & $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécants : $\mathcal{D} \cap \mathcal{P} = \{ I \}$  & $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont disjoints : $\mathcal{D} \cap \mathcal{P} = \varnothing$\\ \hline
\end{tabularx}

\subsection{Positions relatives de deux droites}

\subsubsection{Droites coplanaires}

\cadreR{Deux droites sont coplanaires lorsqu'elles sont contenues dans le même plan.}

\medskip

\cadreB{
Soient $\mathcal{D}$ et $\Delta$ deux droites de l'espace. Quatre cas peuvent se présenter :
\begin{itemize}
\item les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont confondues ;
\item les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont strictement parallèles ;
\item les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont sécantes ;
\item les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ne sont pas coplanaires.
\end{itemize}
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 \multicolumn{3}{|c|}{Droites coplanaires} & \multirow{2}*{Droites non coplanaires}\\ \cline{1-3}
\multicolumn{2}{|c|}{Droites parallèles}& Droites sécantes & \\ \hline
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](-1,-.3,0)(4,-.3,0)(4,5.3,0)(-1,5.3,0)(-1,-.3,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](0,0,0)(3.2,5,0)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.1,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](1.2,0,0){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=150](2.8,4.6,0){\bleu{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{pruneb}{.645 .18 .536}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](-1,-.3,0)(4,-.3,0)(4,5.3,0)(-1,5.3,0)(-1,-.3,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](1,0,0)(3.8,5,0)
\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt](-.5,-.2,0)(2.3,4.8,0)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.1,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](2,0,0){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=150](2,4.6,0){\pruneb{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{pruneb}{.645 .18 .536}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](-1,-.3,0)(4,-.3,0)(4,5.3,0)(-1,5.3,0)(-1,-.3,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](0,0,0)(3.2,5,0)
\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt](3,.5,0)(0,5,0)
\pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](1.63,2.55,0)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.1,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](0,.2,0){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=160](0,4,0){\pruneb{\footnotesize{$\Delta$}}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](2.7,2.6,0){\red{\footnotesize{$I$}}}
\end{pspicture} &
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{pruneb}{.645 .18 .536}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](-1,-.3,0)(4,-.3,0)(4,5.3,0)(-1,5.3,0)(-1,-.3,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](0,0,0)(3.5,5,0)
\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt](1,3,2)(1,3,0) \pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](1,3,0)(1,3,-1.5)   \pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt](1,3,-1.5)(1,3,-2.5)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.1,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](1,0,0){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\pstPlanePut[plane=yz,Alpha=135](1,3.2,1.8){\pruneb{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture}\\
$\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont confondues & $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont strictement parallèles : $\mathcal{D} \cap \Delta =\varnothing $  & $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécantes : $\mathcal{D} \cap \Delta =\{I\}$ & $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont non coplanaires : $\mathcal{D} \cap \Delta =\varnothing $\\ \hline
\end{tabularx}

\subsection{Positions relatives de deux plans}



\cadreB{ Deux plans de l'espace sont soit sécants, soit parallèles}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Plans parallèles} & Plans sécants \\ \hline 
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\newrgbcolor{bordQ}{.624 .712 .804}
\newrgbcolor{bordnQ}{.224 .312 .404}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,-1,1)(4,-1,1)(4,6,1)(0,6,1)(0,-1,1)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](0,.5,1)(4,.5,1)(4,7.5,1)(0,7.5,1)(0,.5,1)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,-.7,1){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.8,1){\bordnQ{\footnotesize{$\mathcal{Q}$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\newrgbcolor{bordQ}{.624 .712 .804}
\newrgbcolor{bordnQ}{.224 .312 .404}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,1)(4,0,1)(4,7,1)(0,7,1)(0,0,1)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,4)(4,0,4)(4,7,4)(0,7,4)(0,0,4)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.3,1){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.3,4){\bordnQ{\footnotesize{$\mathcal{Q}$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{unit=.5cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-4.5)(7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.65 0 .48}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\newrgbcolor{bordQ}{.624 .712 .804}
\newrgbcolor{bordnQ}{.224 .312 .404}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,.5,0)(0,0,0)(4,0,0)(4,7,0)(0,7,0)(0,4,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,4,0)(0,.5,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](0,4,0)(0,1.75,3)(4,1.75,3)(4,5.8,-2.4)(0,5.8,-2.4)(0,5.35,-1.8)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,4,0)(0,5.35,-1.8)
\pstThreeDLine[linecolor=red,linewidth=.75pt](6,4,0)(-2,4,0)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.3,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}\pstPlanePut[plane=yz,Alpha=120](4,5.6,-1.9){\bordnQ{\footnotesize{$\mathcal{Q}$}}}
\pstThreeDPut(-2,4,.3){\red{\footnotesize{$d$}}}
\end{pspicture} \\
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont confondus  & Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont strictement parallèles  & Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont sécants selon une droite $d$ \\ \hline
\end{tabularx}


\section{Parallélisme dans l'espace} 

\subsection{Droites parallèles}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Par un point $A$ donné dans l'espace, il passe une et une seule droite $\mathcal{D}$ parallèle à une droite donnée $\Delta$.
\item Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
\item Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.
\end{itemize}}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-3.5)(7,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{pruneb}{.645 .18 .536}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(5,0,0)(5,7,0)(0,7,0)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu, linewidth=1pt](4,1.5,3)(4,1.5,0)\pstThreeDLine[linecolor=bleu, linewidth=1pt](3,5.5,3)(3,5.5,0)\pstThreeDLine[linecolor=pruneb, linewidth=1pt](1,2,3)(1,2,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](4,1.5,0)(4,1.5,-.5)\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](3,5.5,0)(3,5.5,-1)\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](1,2,0)(1,2,-2)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu, linewidth=1pt](4,1.5,-.5)(4,1.5,-2)\pstThreeDLine[linecolor=bleu, linewidth=1pt](3,5.5,-1)(3,5.5,-2)\pstThreeDLine[linecolor=pruneb, linewidth=1pt](1,2,-2)(1,2,-3)
\pstThreeDDot[linecolor=bleu,linewidth=.8pt](4,1.5,-1.5) \pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](4,1.5,0)\pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](3,5.5,0)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](4,1.7,0){\footnotesize{\red{$I$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3,5.7,0){\footnotesize{\red{$J$}}}\pstThreeDPut(4,1.2,-1.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\pstThreeDPut(4,1.8,3){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}\pstThreeDPut(3,5.8,3){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}\pstThreeDPut(1,2.3,3){\pruneb{\footnotesize{$\Delta$}}}
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](4.8,.3,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{Droite parallèle à un plan}

\subsubsection{Propriété 1 :}
 
\cadreR{
Si une droite  $\Delta$ est parallèle à une droite $\mathcal{D}$ incluse dans un plan $\mathcal{D}$, alors  $\Delta$ est parallèle à $\mathcal{P}$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{pruneb}{.645 .18 .536}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(4,0,0)(4,7,0)(0,7,0)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](3,1,0)(1,6,0)\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt](3,1,2)(1,6,2)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.2,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](.8,5.8,0){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\pstThreeDPut(.8,5.8,2.2){\pruneb{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Propriété 2 :}
 
\cadreR{
Si une droite  $\mathcal{D}$ est parallèle à deux plans sécants $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, alors elle est parallèle à leur intersection.
}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{pruneb}{.645 .18 .536}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\pstThreeDLine[linecolor=fondQ,linewidth=.1pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](-2,-2,0)(4.5,-2,0)(4.5,5,0)(-2,5,0)(-2,-2,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(4,0,0)(4,0,3)(0,0,3)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(-1,3,0)(-1,3,3)(0,0,3)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](3,3.5,0)(3,3.5,4)\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](3,3.5,0)(3,3.5,-.75)\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt](0,0,0)(0,0,4)\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,0,-1)(0,0,4)
\pstPlanePut[plane=yz,Alpha=135](4,.1,.5){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}_1$}}}\pstPlanePut[plane=yz,Alpha=120](0,.1,.2){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}_2$}}}\pstThreeDPut(3,3.2,0){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\pstThreeDPut(0,.2,4){\pruneb{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Théorème du toit :}
 
\cadreR{
Soit $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites parallèles.

Soit $\mathcal{P}_1$ un plan contenant la droite $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{P}_2$ un plan contenant la droite $\mathcal{D}_2$.

Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants, alors leur droite d'intersection est parallèle à $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{pruneb}{.645 .18 .536}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
%\pstThreeDCoor[xMin=-2,yMin=-2,zMin=-4,xMax=4,yMax=6,zMax=3]
\pstThreeDLine[linecolor=fondQ,linewidth=.1pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](-2,-2,0)(4.5,-2,0)(4.5,6,0)(-2,6,0)(-2,-2,0)
\pstThreeDLine[linecolor=fondP,linewidth=.1pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](4.5,-.875,0)(4.5,1.625,3)(-2,3.25,3)(-2,.75,0)(4.5,-.875,0)
\pstThreeDLine[linecolor=fondP,linewidth=.1pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](4.5,3.125,0)(4.5,1.625,3)(-2,3.25,3)(-2,4.75,0)(4.5,3.125,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt](4.5,-.875,0)(4.5,1.625,3)(4.5,3.125,0)\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt](-2,3.25,3)(-2,4.75,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](-2,3.25,3)(-2,.75,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](5,-1,0)(.5,.125,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](.5,.125,0)(-3,1,0) 
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](5,3,0)(-3,5,0)
\pstThreeDLine[linecolor=pruneb,linewidth=1pt](5.5,1.375,3)(-2.5,3.375,3)

\pstPlanePut[plane=xz,Alpha=190](3,-.7,.2){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}_1$}}}\pstPlanePut[plane=xz,Alpha=190](4.3,2.9,.2){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}_2$}}}\pstPlanePut[plane=xz,Alpha=170](6,-.7,.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}\pstPlanePut[plane=xz,Alpha=170](6,3.2,.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}\pstThreeDPut(-2.5,3,3){\pruneb{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{Plans parallèles}

\subsubsection{Propriété 1 :}
 
\cadreR{
Soit $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans parallèles. Alors, toute droite  $\mathcal{D}$ parallèle à $\mathcal{P}_1$ est parallèle à $\mathcal{P}_2$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\newrgbcolor{bordQ}{.624 .712 .804}
\newrgbcolor{bordnQ}{.224 .312 .404}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,2.5)(4,0,2.5)(4,7,2.5)(0,7,2.5)(0,0,2.5)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(4,0,0)(4,7,0)(0,7,0)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](2,-1,4)(0,6,4)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.7,.1,2.5){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}_1$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.7,.1,0){\bordnQ{\footnotesize{$\mathcal{P}_2$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](1.3,.3,4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Propriété 2 :}
 
\cadreR{
Deux droites sécantes parallèles à un même plan $\mathcal{P}$ déterminent un plan $\mathcal{Q}$ parallèle au plan  $\mathcal{P}$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\newrgbcolor{bordQ}{.624 .712 .804}
\newrgbcolor{bordnQ}{.224 .312 .404}
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(4,0,0)(4,7,0)(0,7,0)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,2.5)(4,0,2.5)(4,7,2.5)(0,7,2.5)(0,0,2.5)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](3.5,1,2.5)(.5,6,2.5)\pstThreeDLine[linecolor=bleu,linewidth=1pt](.5,.5,2.5)(3.5,6.5,2.5)
\pstThreeDDot[linecolor=red,linewidth=.8pt](2,3.5,2.5)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.2,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.3,2.5){\bordnQ{\footnotesize{$\mathcal{Q}$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3,1,2.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3,6,2.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](1.7,3.4,2.5){\red{\footnotesize{$I$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Propriété 3 :}
 
\cadreR{
Si $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont deux plans parallèles, alors tout plan $\mathcal{Q}$ qui coupe le plan $\mathcal{P}_1$, coupe le plan $\mathcal{P}_2$ et les droites d'intersection sont parallèles.
}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,coorType=2}
\begin{pspicture}(-2,-4.5)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.65 0 .48}
\newrgbcolor{fondP}{0.956 0.924 .876}
\newrgbcolor{bordP}{.678 .562 .538}
\newrgbcolor{bordnP}{.578 .362 .338}
\newrgbcolor{fondQ}{.755 .858 .872}
\newrgbcolor{bordQ}{.624 .712 .804}
\newrgbcolor{bordnQ}{.224 .312 .404}
\pstThreeDLine[linecolor=fondP,linewidth=.1pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,0)(4,0,0)(4,7,0)(0,7,0)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=fondP,linewidth=.1pt,fillcolor=fondP,fillstyle=solid,opacity=.5](0,0,2.5)(4,0,2.5)(4,7,2.5)(0,7,2.5)(0,0,2.5)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,fillcolor=fondQ,fillstyle=solid,opacity=.5](0,3,2.5)(0,2.4,4)(4,2.4,4)(4,5,-2.5)(0,5,-2.5)(0,4.8,-2)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt](0,4,0)(0,3.8,.5)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,4.8,-2)(0,4,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordQ,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,3.8,.5)(0,3,2.5)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt](0,1.2,0)(0,0,0)(4,0,0)(4,7,0)(0,7,0)(0,4,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,4,0)(0,1.2,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt](0,.9,2.5)(0,0,2.5)(4,0,2.5)(4,7,2.5)(0,7,2.5)(0,3,2.5)
\pstThreeDLine[linecolor=bordP,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,3,2.5)(0,.9,2.5)
\pstThreeDLine[linecolor=red,linewidth=.75pt](5.5,4,0)(-.8,4,0)\pstThreeDLine[linecolor=red,linewidth=.75pt](5.5,3,2.5)(-1,3,2.5)
\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.2,0){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}_1$}}}\pstPlanePut[plane=xy,Alpha=170](3.8,.2,2.5){\bordnP{\footnotesize{$\mathcal{P}_2$}}}\pstPlanePut[plane=yz,Alpha=120](4,5,-2.2){\bordnQ{\footnotesize{$\mathcal{Q}$}}}
\pstThreeDPut(5.8,4,0.2){\red{\footnotesize{$d_1$}}}\pstThreeDPut(-1,3,2.7){\red{\footnotesize{$d_2$}}}
\end{pspicture}
\end{center}



\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Dans une caisse cubique, on empile des boules de 6cm de rayon comme l'indique le dessin ci-contre.
\begin{enumerate}
	\item Combien de boules contient la caisse ?
	\item Quel est le volume de la caisse qui contient exactement cet empilement de boules ?
	\item Le pourcentage du volume la caisse occupé par les boules est-il inférieur à 52 \% ?
\end{enumerate}

&
%\psset{unit=.4cm}
%\begin{pspicture}(-7,-3)(8,10)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\newrgbcolor{bc}{0.42 0.44 .84}
%%\def\bille{\pscircle[fillstyle=gradient,gradbegin=bc,gradend=white, gradmidpoint=0.82,gradangle=48,linestyle=none](0,0){1}}
%\psset{Alpha=48,Beta=12}
%\def\bille{\pscircle[linecolor=bc,linewidth=.1pt](0,0){1}\psBall(0,0){bc}{1}}
%\multido{\nx=1+2}{5}{
%\multido{\ny=1+2}{5}{
%\multido{\nz=1+2}{5}{
%\pstThreeDPut(\nx,\ny,\nz){\bille}
%}
%}
%}
%\pstThreeDBox[linecolor=bleu,linewidth=.75pt,hiddenLine](0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,10)
%\end{pspicture}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(8,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{bc2}{.52 .42 .93}
\newrgbcolor{bc}{0.42 0.44 .84}
\psset{Alpha=48,Beta=12}
\def\bille{\pstThreeDSphere[SegmentColor={[cmyk]{.48,.56,0,.1}},linecolor=bc,linewidth=.1pt, increment=20](0,0,0){1}}
\multido{\nx=1+2}{5}{
\multido{\ny=1+2}{5}{
\multido{\nz=1+2}{5}{
\pstThreeDPut(\nx,\ny,\nz){\bille}
}
}
}
\pstThreeDBox[linecolor=bleu,linewidth=.75pt,hiddenLine](0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,10)
\end{pspicture}
 \end{tabularx}
 

 \bigskip 

\exo 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 $SABCD$ est une pyramide à base carrée. $I$ est un point du segment $[BC]$, distinct de $B$ et $C$.
 
\begin{enumerate}
 \item Montrer que les plans $(SAI)$ et $(SCD)$ sont sécants.
 \item Construire leur intersection.
\end{enumerate}
&

\psset{xunit=1cm , yunit=0.8cm}

\begin{pspicture}(-.5,-2)(4.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](3,0)(0,0)(2,4)(3,0)(4,1)(2,4)
 \psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt}
 \psline(0,0)(1,1)(2,4)
 \psline(1,1)(4,1)
 \uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $B$}}
 \uput[dr](3,0){\footnotesize{\bleu $C$}}
 \uput[ur](4,1){\footnotesize{\bleu $D$}}
 \uput[ur](1,1){\footnotesize{\bleu $A$}}
 \uput[u](2,4){\footnotesize{\bleu $S$}}
  \psdot[linecolor=prune](1,0)\uput[d](1,0){\prune $I$}
\end{pspicture}
 \end{tabularx}
 
 \bigskip

\exo 

\begin{minipage}{9cm}
$ABCD$ est un tétraèdre.
 
$I$ est un point du segment $[BC]$ distinct de $B$ et de $C$.

$J$ est un point du segment $[AD]$ distinct de $A$ et de $D$.

Dans chacun des cas suivants, montrer que les plans sont sécants et déterminer leur intersection.

\begin{enumerate}
 \item $(DIJ)$ et $(BCD)$.
 \item $(DIJ)$ et $(ABD)$.
 \item $(DIJ)$ et $(ABC)$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,0.1)(9,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu, linewidth=1pt}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,2)(8,3)
\psline(3,7)(5,1)(8,3)(3,7)(0,2)(5,1)
\uput[l](0,2){$A$}
\uput[d](5,1){$B$}
\uput[r](8,3){$C$}
\uput[u](3,7){$D$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=.8,linecolor=prune](1,3.666667)\uput[r](1,3.666667){$J$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=.8,linecolor=prune](7,2.333333)\uput[r](7,2.333333){$I$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
 
\bigskip

\exo

 
\begin{minipage}{9cm}
 $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle. 
 
 $I$ est un point du segment $[AE]$ distinct de $A$ et de $E$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $A$, $C$, $G$ et $I$ sont coplanaires.
 \item Démontrer que la droite $(GI)$ n'est pas contenue dans le plan $(ABCD)$.
 \item Construire $J$, intersection de la droite $(GI)$ et du plan $(ABCD)$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-2)(5.5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu, linewidth=1pt}
 \psline(0,2)(0,0)(4,-0.5)(4,1.5)(0,2)(1,2.5)(5,2)(5,0)(4,-0.5)
 \psline(4,1.5)(5,2)
 \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,0)(1,0.5)(1,2.5)
 \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](1,0.5)(5,0)
 \uput[u](1,2.5){$H$}
 \uput[ur](5,2){$G$}
 \uput[dr](4,1.5){$F$}
 \uput[l](0,2){$E$}
 \uput[ur](1,0.5){$D$}
 \uput[r](5,0){$C$}
 \uput[dl](0,0){$A$}
 \uput[dr](4,-0.5){$B$}
\psdot(0,0.5)\uput[l](0,0.5){$I$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 


$SABC$ est un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[SA]$, $J$ est le milieu de $[SC]$ et $K$ est un point de $[SB]$ distinct du milieu de ce segment. $N$ est le point d'intersection des droites $(JK)$ et $(BC)$.
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(14,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{Alpha=120,Beta=20}
\pstThreeDLine[linecolor=bleu, linewidth=1.25pt](10,0,12)(6,12,0)(10,0,0)(0,0,0)(10,0,12)(10,0,0)
\pstThreeDLine[linecolor=bleu, linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,0,0)(6,12,0)
\pstThreeDLine[linecolor=prune, linewidth=.5pt](9.9,-.2,6)(10.1,.2,6)
\pstThreeDLine[linecolor=prune, linewidth=.5pt](5,-0.2,6.2)(5,.2,5.8)
\pstThreeDLine[linecolor=prune, linewidth=.5pt](9,3.2,9.1)(9,2.8,8.9)
\pstThreeDPut(10,0,-.5){\footnotesize{\bleu $A$}}
\pstThreeDPut(6.5,12,0){\footnotesize{\bleu $B$}}
\pstThreeDPut(0,-.5,-.5){\footnotesize{\bleu $C$}}
\pstThreeDPut(10,0,12.5){\footnotesize{\bleu $S$}}
\pstThreeDPut(10.5,0,6.5){\footnotesize{\prune $I$}}
\pstThreeDPut(5,-.5,6.5){\footnotesize{\prune $J$}}
\pstThreeDPut(9,3.5,9.5){\footnotesize{\prune $K$}}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Placer sur la figure, le point $M$ intersection de la droite $(IK)$  avec le plan $(ABC)$.
	\item Soit $d$ la droite d'intersection des plans $(ABC)$ et $(IJK)$.	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $N$ est un point de la droite $d$
	\item Tracer la droite $d$ sur la figure.
\end{enumerate}
	\item Montrer que la droite $(IJ)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
		\item Montrer que les droites $(AC)$ et $d$ sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 


$ABCD$ est un tétraèdre. $L$, $M$ et $N$ sont trois points placés respectivement sur les arêtes $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Placer le point $J$ intersection de la droite $(MN)$ avec le plan $(BCD)$.
	\item Placer le point $K$ intersection de la droite $(BD)$ avec le plan $(LMN)$.
	\item Les droites $(BC)$ et $(LM)$ sont sécantes en $I$, montrer que les points 	$I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(6,5.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1.25pt,, linecolor=bleu](3,5.5)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.75pt,, linecolor=bleu](0,1.5)(5.5,2)
\pspolygon[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](3,5.5)(0,1.5)(4,0)(5.5,2) 
 \uput[l](3.2,5.7){\bleu {\footnotesize{\textbf{$A$}}}}
\uput[l](0,1.5){\bleu {\footnotesize{\textbf{$B$}}}}
\uput[l](4.2,-0.3){\bleu {\footnotesize{\textbf{$C$}}}}
\uput[r](5.5,2){\bleu {\footnotesize{\textbf{$D$}}}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.9,2.7)(3.54,2.53)(4,4.1)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt,linecolor=prune](0.9,2.7)(4,4.1)
 \uput[l](0.9,2.7){\prune {\footnotesize{\textbf{$L$}}}}
\uput[r](3.5,2.5){\prune {\footnotesize{\textbf{$M$}}}}
\uput[r](4,4.1){\prune {\footnotesize{\textbf{$N$}}}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \bigskip 

 
\exo 

 \medskip 


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 $ABCDEFG$ est un cube. $M$ est un point de l'arête $[AB]$. 
\begin{enumerate}
 \item Le plan $(GEM)$ coupe l'arête $[BC]$ en $N$. Que peut-on dire des droites $(GE)$ et $(MN)$ ?
 \item Représenter la trace du plan $(GEM)$ sur les faces du cube.
\end{enumerate}
&
\psset{coorType=2,Alpha=90}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,3)
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pstThreeDLine[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](0,3,3)(3,0,3)(3,1.2,0)
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\pstThreeDLine(0,3,3)(0,0,3)(3,0,3)(3,3,3)(0,3,3)(0,3,0)(3,3,0)(3,0,0)(3,0,3)\pstThreeDLine(3,3,0)(3,3,3)
\pstThreeDLine[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,0,3)(0,0,0)(3,0,0)
\pstThreeDLine[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,0,0)(0,3,0)

\pstThreeDPut(3.3,0,0){\bleu $A$} \pstThreeDPut(3.3,3.3,0){\bleu $B$}\pstThreeDPut(0,3.3,0){\bleu $C$}\pstThreeDPut(0,-.3,0){\bleu $D$}
\pstThreeDPut(3.3,0,3.2){\bleu $E$} \pstThreeDPut(3.3,3.3,3){\bleu $F$}\pstThreeDPut(0,3.3,3.2){\bleu $G$}\pstThreeDPut(0,0,3.2){\bleu $H$}
\pstThreeDPut(3.3,1.3,-.10){\prune $M$}
\end{pspicture}
 \end{tabularx}
 

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 


Les points $M$, $A$ et $I$ sont respectivement les points d'intersection d'un plan $\mathcal{P}$ avec les arêtes $[SG]$, $[SE]$ et $[SR]$ de la pyramide $SROGE$.

\begin{enumerate}
\item Représenter la droite $\mathcal{D}$ intersection du plan $\mathcal{P}$ avec le plan de base de la pyramide $SROGE$.
\item \begin{enumerate}
\item Construire le point $N$ intersection  du plan $\mathcal{P}$ avec l'arête $[S0]$.
\item Représenter la trace du plan $\mathcal{P}$ sur les faces de la pyramide $SROGE$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{coorType=2,Alpha=90}
\begin{pspicture}(-3,-7)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pstThreeDLine[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](5,5,0)(5,0,0)(3,2.4,9)(5,5,0)(0,5,0)(3,2.4,9)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,0,0)(3,2.4,9)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](5,0,0)(0,0,0)(0,5,0)
\psset{dotstyle=*,linecolor=prune,linewidth=1pt,dotscale=.8}
\pstThreeDDot(3.8,1.44,5.4) \pstThreeDDot(4.4,4.22,2.7) \pstThreeDDot(1.5,3.7,4.5)
\pstThreeDPut(3,2.4,9.2){\bleu $S$} \pstThreeDPut(0,5.3,0){\bleu $R$}\pstThreeDPut(0,-.4,0){\bleu $O$}\pstThreeDPut(5.4,0,0){\bleu $G$}\pstThreeDPut(5.4,5.4,0){\bleu $E$}
\pstThreeDPut(4,1.2,5.5){\prune $M$} \pstThreeDPut(4.5,4.5,2.7){\prune $A$}\pstThreeDPut(1.5,4,4.6){\prune $I$}
 
\end{pspicture}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\chapter*{LES CONTRÔLES (2018-2018)}
\addstarredchapter{CONTRÔLES}
\minitoc

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 1}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 29 septembre 2017} 

\exo \hfill (3 \emph{points})

 \medskip 

Soit $f$ une fonction définie pour tout réel $x$ et telle que :
\begin{itemize}
\item l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions ;
\item 2 a exactement deux antécédents.
\end{itemize}

 Parmi les courbes tracées ci-dessous, quelles sont celles qui peuvent représenter la fonction $f$ ?
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x+1)*(5-3*x)*(x-4)/8}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\pscustom[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{
\swapaxes
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500]{-1.696}{4.51}{\f}}
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](-2.5,5)(-1,-2.5)(1,-2.5)(2.5,2)(5,-2)
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x+1)*(3*x-5)*(x-4)/8}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.467}{4.751}{\f}
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x+1)*(5-3*x)*(x-4)/8}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.696}{4.51}{\f}
\rput(1,-4){Courbe $\mathcal{C}_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo  \hfill (5 \emph{points})

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-6 ; 8]$. La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-13,-3)(18,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x^2-6*x+5)/(x^2+2)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-13,-3)(18,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-1.5)(9,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{8}{\f}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu, dotscale=.8](-6,2.026)(8,.318)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement l'image de 0 par la fonction $f$.
\item Résoudre graphiquement l'équation  $f(x)=0$.
\item Résoudre graphiquement l'inéquation  $f(x)\geqslant \dfrac{5}{2}$.
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Si $a$ est un réel de l'intervalle $[-4 ; 5]$, à quel intervalle appartient $f(a)$ ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo  \hfill (3,5 \emph{points})

 \medskip 


On considère une fonction  $f$ dont le tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,3.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,3.5) \psline(0,2.3)(16.5,2.3) \psline(1.5,0)(1.5,3.5)
\rput(0.75,2.9){$x$} \rput(2,2.9){$-10$}\rput(5.5,2.9){$-\dfrac{7}{2}$} \rput(9,2.9){$1$} \rput(12.5,2.9){$2$}  \rput(14.25,2.9){$\dfrac{17}{3}$} \rput(16,2.9){$8$} 
\rput(0.75,1.15){$f(x)$} \rput(2,2){\rnode{A}{$-2$}} \rput(5.5,.3){\rnode{B}{$-5$}}  \rput(9,2){\rnode{C}{$0$}}\rput(12.5,.3){\rnode{D}{$-3$}} \rput(16,2){\rnode{E}{$4$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncline{C}{D}  \ncline{D}{E}\ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Comparer $f\left(-4\right)$ et $f\left(-\dfrac{13}{3}\right)$
	\item Peut-on comparer les images de $0$ et de $2$ ?
	\item Résoudre l'inéquation $f(x)\leqslant 0$ ?	
\end{enumerate}
 
 \bigskip 

\exo  \hfill (8,5 \emph{points})

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie pour tout rée $x$  par $f(x)=(3x-4)^2-(5x+3)^2$.

\begin{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$. 
	
	Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
	\item Développer l'expression de $f(x)$.
	\item Calculer l'image par la fonction $f$ de $-1$.
	\item Calculer les antécédents par la fonction $f$ de $7$ ?
\end{enumerate}

\newpage
		
\chaptermark{\textsc{contrôle \no 2}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 20 octobre 2017} 

\begin{center}
\textsf{\textsc{\textbf{sujet a}}}
\end{center}

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+b$ et $f(3)=-1$.

\medskip

Lequel des quatre tableaux de variation ci-dessous est celui de la fonction $f$ ?

\medskip

 \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$-\dfrac{3}{2}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$A(x)$} \rput(2.1,1.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$\dfrac{3}{2}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$B(x)$} \rput(2.1,.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,1.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture} 

\medskip

\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$-\dfrac{2}{3}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$C(x)$} \rput(2.1,.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,1.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$\dfrac{3}{2}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$D(x)$} \rput(2.1,1.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture}

\bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3$
\begin{enumerate}
	\item Donner le tableau du signe de $f(x)$.
	\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ comparer $f(a)$ et $f(b)$.	
	\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé tracer la courbe $D_1$ représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-8)(16,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-8)(16,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-4)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1) =-3$ et $g(2) =3$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $D_2$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\item Déterminer l'expression de de $g(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant 2x -1$
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 

$ABCD$ est un trapèze de hauteur $h=6$ avec $AB=17$ et  $CD=9$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(18,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=bleu,fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.5pt](7,0)(17,0)(14,6)(5,6)(7,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu,linestyle=dashed](5,6)(5,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](5,6)(7,0)
\pspolygon[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(5,6)(14,6)(17,0)(0,0)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](17,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](14,6){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](5,6){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[l](5,3){\footnotesize{\bleu{$h$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{$x$}}
\uput[d](7,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\end{pspicture} 
\end{center}

À tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le réel  $x=AM$. 

On note $f$ la fonction telle que le nombre $f(x)$ est égal à l'aire du trapèze $MBCD$.
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
	\item Justifier que $f(x)=78-3x$.		
	\item Déterminer la position du point $M$ pour que l'aire du trapèze $MBCD$ soit supérieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze $ABCD$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=(3-2x)^2-(3x+2)^2$. 
\begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\leqslant 0$.
	\end{enumerate}
	
\pagebreak

\begin{center}
\textsf{\textsc{\textbf{sujet b}}}
\end{center}

\setcounter{nexo}{0}
\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\dfrac{4}{3}x+b$ et $f(3)=-3$.

\medskip

Lequel des quatre tableaux de variation ci-dessous est celui de la fonction $f$ ?

\medskip

 \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$-\dfrac{4}{3}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$A(x)$} \rput(2.1,1.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$\dfrac{3}{4}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$B(x)$} \rput(2.1,1.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture} 

\medskip

\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$-\dfrac{7}{3}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$C(x)$} \rput(2.1,.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,1.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8,2.5) \psline(1.6,0)(1.6,2.5) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\rput(.8,2){$x$}\rput(2.1,2){$- \infty$} \rput(4.8,2){$\dfrac{3}{4}$}\rput(7.5,2){$+\infty$}
\rput(.8,.75){$D(x)$} \rput(2.1,.2){\rnode{A}{}} \rput(7.5,1.2){\rnode{B}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0} 
\end{pspicture}

\bigskip 

\exo 

 \medskip 


\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+1$
\begin{enumerate}
	\item Donner le tableau du signe de $f(x)$.
	\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ comparer $f(a)$ et $f(b)$.	
	\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé tracer la courbe $D_1$ représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-8)(16,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-8)(16,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-4)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-2) =-3$ et $g(6) =1$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $D_2$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\item Déterminer l'expression de de $g(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant \dfrac{x}{2} -2$
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 

$ABCD$ est un trapèze de hauteur $h=6$ avec $AB=17$ et  $CD=7$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(18,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=bleu,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.5pt](7,0)(17,0)(12,6)(5,6)(7,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu,linestyle=dashed](5,6)(5,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](5,6)(7,0)
\pspolygon[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(5,6)(12,6)(17,0)(0,0)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](17,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](12,6){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](5,6){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[l](5,3){\footnotesize{\bleu{$h$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{$x$}}
\uput[d](7,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\end{pspicture} 
\end{center}

À tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le réel  $x=AM$. 

On note $f$ la fonction telle que le nombre $f(x)$ est égal à l'aire du trapèze $MBCD$.
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
	\item Justifier que $f(x)=72-3x$.		
		\item Déterminer la position du point $M$ pour que l'aire du trapèze $MBCD$ soit supérieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze $ABCD$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=(2-3x)^2-(2x+3)^2$. 
\begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\leqslant 0$.
	\end{enumerate}
	
\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 3}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 24 novembre 2017} 

\exo 

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction affine telle que $f(-3) =5$ et $f(0,5) =-2$.

\begin{enumerate}
\item Dans le repère donné en annexe ci-dessous, tracer la droite $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $f$.
\item Déterminer l'expression de de $f(x)$ en fonction de $x$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ tracée en annexe ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2$.
 
 \begin{enumerate}
\item Donner une expression factorisée de $g(x)-f(x)$.
\item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$  et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-5)(14,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\rput(0,13){\textsf{\textbf{\textsc{annexe}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-5)(14,12)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.44949}{2.44949}{\f}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-3,5)(1,-3)
\uput[dr](2.5,6){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=9x^2-(5x-3)^2$. 

\begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Donner le tableau de signes de la fonction $f$.
	\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-9,-6)(23,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-9,-6)(23,12)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](0,0)(4,-1)(2,3)(0,0)
\uput[l](0,0){\bleu $A$}\uput[dr](4,-1){\bleu $B$}\uput[u](2,3){\bleu $C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$ et $N$ défini par $\vv{BM}=2\vv{AC}$ et $\vv{AN}=\dfrac{1}{2}\vv{BC}$.
\item Les points $C$, $M$ et $N$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-9,-7)(23,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-9,-7)(23,11)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](0,0)(7,-1)(2,4)(0,0)
\uput[l](0,0){\bleu $A$}\uput[dr](7,-1){\bleu $B$}\uput[u](2,4){\bleu $C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Placer le point $D$ défini par $\vv{AD}=\vv{AB}+\vv{AC}$. Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
\item Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. Placer le point $G$ défini par $\vv{AG}=\dfrac{2}{3}\vv{AI}$. 
\item Les points $G$, $I$ et $D$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 4}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 11 décembre 2017}

\begin{center}
\textsf{\textsc{\textbf{sujet a}}}
\end{center}

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=\left(4x^2-25\right)-(2x-5)(2-3x)$. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer  $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

 \medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\vec{i},\vec{j}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-13)(16,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-13)(16,14)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-6.5)(8,7)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\prune O}
\uput[d](.5,0){\prune $\vec{i}$} \uput[l](0,.5){\prune $\vec{j}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A\left(-\dfrac{1}{2} ; 5 \right)$, $B\left( \dfrac{11}{2} ; 1 \right)$, $C\left( 1 ; -3\right)$ et  $E\left( \dfrac{3}{2} ; -5\right)$.
	\item \begin{enumerate}
			\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$.
			\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.	
		\end{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du point $M$ centre du parallélogramme $ABCD$.
	\item Les points $A$, $M$ et $E$ sont-ils alignés ?
	\item \begin{enumerate}
			\item Calculer les distances $AB$, $BE$  et $AE$.
			\item Quelle est la nature du triangle $ABE$ ?
		\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}
\textsf{\textsc{\textbf{sujet b}}}
\end{center}
\setcounter{nexo}{0}
\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=\left(9x^2-16\right)-(3x-4)(2-5x)$. 

\begin{enumerate}
\item Calculer  $f\left(-\dfrac{3}{4}\right)$.
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

 \medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\vec{i},\vec{j}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-13)(16,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-13)(16,14)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-6.5)(8,7)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\prune O}
\uput[d](.5,0){\prune $\vec{i}$} \uput[l](0,.5){\prune $\vec{j}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A\left(1 ; \dfrac{11}{2} \right)$, $B\left( -5 ; \dfrac{3}{2} \right)$, $C\left( -\dfrac{1}{2} ; -\dfrac{3}{2} \right)$ et  $E\left( -1 ; -\dfrac{9}{2}\right)$.
	\item \begin{enumerate}
			\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$.
			\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.	
		\end{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du point $M$ centre du parallélogramme $ABCD$.
	\item Les points $A$, $C$ et $E$ sont-ils alignés ?
	\item \begin{enumerate}
			\item Calculer les distances $AB$, $BE$  et $AE$.
			\item Quelle est la nature du triangle $ABE$ ?
		\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 5}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 23 janvier 2018} 

 \exo

 \medskip

$f$ est la fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer les images des réels : $\left(-\dfrac{5}{3}\right)$ ; $10^{-3}$ ; $2-\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.
	\item Quels sont les antécédents éventuels de 8 ?
	\item Soit $a$ un réel de l'intervalle $\left[-\dfrac{3}{4} ; \dfrac{4}{3}\right]$. Donner un encadrement de $a^2$.
	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

$A$, $B$  et $C$ sont trois points de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ d'abscisses respectives $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$, $\dfrac{9}{2}$ et $6$. 

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm,yunit=.2cm}
\begin{pspicture}(-7,-2)(8,40)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2, Dy=4]{->}(0,0)(-7,-2)(8,40)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.25}{6.25}{\f}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,40){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.5,2.25)(4.5,20.25)
%\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-3,9)(6,36)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-1.5,0)(-1.5,2.25)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](4.5,0)(4.5,20.25)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](6,0)(6,36)
\psdots[dotscale=.8,linecolor=prune](-1.5,2.25)(4.5,20.25)(6,36)
\uput[l](-1.5,2.25){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[r](4.5,20.25){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[r](6,36){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\uput[dl](-6.25,40){\bleu{$\mathcal{P}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$.
\item Calculer les coordonnées du point $D$ appartenant à la parabole $\mathcal{P}$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB= x$ et $BC= 7-x$. On note $f(x)$ l'aire du rectangle $ABCD$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-.2)(5,2.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,2)(0,2)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$D$}}} \uput[ur](5,2){\footnotesize{\bleu{$C$}}}\uput[ul](0,2){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{\prune{$x$}}}\uput[u](2.5,2){\footnotesize{\prune{$7-x$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles pour le réel $x$ ?
\item Déterminer la valeur de $x$ pour que l'aire du rectangle $ABCD$ soit maximale.

En déduire l'aire maximale du rectangle $ABCD$.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle pour $x= 3$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 12$. 
\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=2x^2-5x-12$. 

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $f(-3)$.
	\item En déduire les solutions de l'équation $f(x)=21$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $m$ un réel appartenant à l'intervalle $\left[-3 ; 5\right]$. Donner un encadrement de $f(m)$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x)=2 \times\left[{\left(x-\dfrac{5}{4}\right)}^2-\dfrac{121}{16}\right]$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip

 \exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=\dfrac{3}{4}x+1$ et le point $A$ de coordonnées $(4 ; -1)$. $AH$ est la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(6,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def \f{3*x/4+1}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-2)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](1.6,2.2)(4,-1)
\psdot[linecolor=bleu](4,-1)
\uput[dr](4,4){\bleu{$\mathcal{D}$}}\uput[dr](4,-1){\bleu{$A$}}\uput[ul](1.6,2.2){\bleu{$H$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $M\left( x ; \dfrac{3}{4}x+1\right)$ un point de la droite $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\vv{AM}$.
\item Montrer que ${AM}^2=\dfrac{25}{16} x^2 -5 x + 20$.
\end{enumerate}
\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=\dfrac{25}{16} x^2 -5 x + 20$.
\item En déduire la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.
\item Calculer les coordonnées du point $H$.
\end{enumerate}

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 6}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 12 mars 2018} 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , on considère les points $A(1 ; 5)$ $B(-2;-4)$ et $C(8;1)$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{3}$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}		
\begin{pspicture}(-8,-10)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{.08 .36 .24}
\def \f{(1-x)/3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-10)(20,12)
\psset{unit=1cm}		
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-5)(10,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}\uput[d](.5,0){\prune{$\vv{i}$}}\uput[l](0,.5){\prune{$\vv{j}$}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.2pt, linecolor=vert]{-4}{10}{\f}
\pspolygon[linewidth=1pt, linecolor=bleu](1,5)(-2,-4)(8,1)
\uput[ul](10,-2.9){\vert $\Delta$}\uput[u](1,5){\bleu $A$}\uput[dl](-2,-4){\bleu $B$}\uput[ur](8,1){\bleu $C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[AB]$.
\item Le point $I$ appartient-il à la droite $\Delta$ ?
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $C$ et parallèle à la droite $\Delta$.

Tracer la droite $\mathcal{D}$.
\item On admet que la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

Que représente la droite $\mathcal{D}$ pour le triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $(BC)$. 
\item \begin{enumerate}
\item Soit $M\left( x ; \dfrac{x}{2}-3 \right)$ un point de la droite $(BC)$.  Montrer que ${AM}^2=\dfrac{5}{4} x^2 -10 x + 65$.
\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=\dfrac{5}{4} x^2 -10 x + 65$.
\end{enumerate}
\item On note $AH$ la distance du point $A$ à la droite $(BC)$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer les coordonnées du point $H$.
\item Déterminer une équation de la hauteur $(AH)$. 
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $S:\begin{cases}   y =-2x+7  \\   y =-\dfrac{x}{3}+\dfrac{11}{3}   \\\end{cases}$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item Soit $K$ le point de coordonnées  $(2;3)$. Les droites $(BK)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 7}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 10 avril 2018} 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate} 
 \item Compléter le tableau ci-dessous qui donne la distribution des salaires mensuels bruts des 100 salariés d'une entreprise.

\begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Salaires en euros & 1600 & 1820 & 2100 & 2430 & 2870 & 3240 & 4180\\ \hline
Effectifs & 14 & 20 & 18 & 16 & 14 & 10 & 8\\ \hline
Fréquences cumulées  croissantes &  &  &  &  &  &  & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  \item \begin{enumerate}
  \item Déterminer la  médiane, le premier et le troisième quartiles. 
  \item Représenter la distribution des salaires à l'aide d'un diagramme en boîte.
  \begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1.5)(31,4.5) 
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](-1,-1)(31,4)
\psset{xunit=.05mm,yunit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=200,Ox=1400]{-}(0,0)(3000,0)
%\psset{xunit=.5cm,yunit=1cm}
%\psline(2,0.75)(2,1.25) \psline(2,1)(4.2,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](4.2,0.5)(14.7,1.5)  \psline(14.7,1)(27.8,1) \psline(27.8,0.75)(27.8,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](7,0.61)(7,1.4)
\end{pspicture}
  \end{center}	
  \end{enumerate}
    \item Calculer le pourcentage de la masse salariale perçue par l'ensemble des salariés dont le salaire est inférieur ou égal à la médiane.
 \item  Calculer le montant du salaire mensuel brut moyen.	
   \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 \exo

\medskip

Soit $f$ la fonction inverse définie pour tout réel $x\ne 0$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'image par $f$ de chacun des nombres réels suivants :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item $-10^{2}$  & \item $-\dfrac{5}{3}$ &\item  $5\times10^{-3}$  
\end{tabularx} \end{enumerate}
\item Calculer l'image par $f$ de chacun des nombres réels suivants sans laisser de racine carrée au dénominateur :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item $-\sqrt{3}$ &\item $3\sqrt{2}$ &\item  $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$  
\end{tabularx} \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $x\ne -2$ un réel. 
 \begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ le réel $A=1- \dfrac{2}{x+2}$ admet-il un inverse ?
\item Donner l'expression en fonction de $x$ de l'inverse de $A$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement de $\dfrac{1}{x}$ dans chacun des cas suivants :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $-0,2 < x < -0,1$ & \item $x \leqslant -\dfrac{2}{3}$ & \item $\dfrac{2}{5} < x \leqslant 5$ & \item $x  \geqslant 10^{-2}$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{1}{x} \geqslant -\dfrac{2}{3}$
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip

 \begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $\dfrac{3x}{3-2x}=2$.
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{5-4x}{3x-2}\leqslant 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

Soit $f$  la fonction  définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{5}{2} ; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2-3x}{2x+5}$.
 
Sa courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$  est tracée en annexe ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormé.

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(20,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2-3*x)/(2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(20,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(10,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.8666}{10}{\f}
\uput[dl](-2,6){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer l'image de $(-1)$ par la fonction $f$.
	\item Quel est l'antécédent de $(-1)$ par la fonction $f$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{5}{2} ; +\infty\right[$, $f(x)=\dfrac{9,5}{2x+5}-1,5$.
	\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $-\dfrac{5}{2} < a <b$.  Comparer $f(a)$ et $f(b)$.
	
	 En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-\dfrac{5}{2} ; +\infty\right[$.
\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant 2$.
\end{enumerate}

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 8}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 7 mai 2018} 

\exo 

 \medskip 


Une entreprise fabrique des articles en grande quantité qui nécessitent deux composants notés $a$ et $b$.  

Les articles peuvent être défectueux en raison de la défaillance d'un des deux composants ou des deux composants.

Les résultats obtenus lors des contrôles effectués avant la mise en vente des articles ont permis d'établir que 88\,\% des articles fabriqués ne sont pas défectueux, 8\,\% des articles ont un composant $a$ défectueux et  7\,\% des articles ont un composant $b$ défectueux.

On choisit au hasard un des articles fabriqués pour le contrôler. On note  $A$ l'évènement : \og le composant $a$ est défectueux \fg{} et $B$ l'évènement : \og le composant $b$ est défectueux \fg .

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement  $A\cup B$.
\item Montrer que la probabilité que les deux composants sont défectueux est égale à 0,03.
\item Calculer la probabilité que sur cet article il n'y a que le composant $a$ qui soit défectueux.  
\end{enumerate}

 
 \bigskip
 
 \exo

\medskip

Une étude sur réalisée sur l'ensemble des \np{2700} salariés d'une entreprise a permis d'établir les résultats suivants :


\begin{itemize}
\item  216 salariés ont entre 15 et 24 ans, 62\,\% des salariés ont entre 25 et 49 ans et 810 salariés ont plus de 50 ans.
\item \np{2025} salariés ont un emploi à durée indéterminée.
\item 4\,\% des salariés ayant un emploi à durée indéterminée ont entre 15 et 24 ans et 64\,\% des salariés ayant un emploi à durée indéterminée ont entre 25 et 49 ans.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la répartition des effectifs selon l'âge et le type de contrat :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{} & 15-24 ans & 25-49 ans & Plus de 50 ans & Total\\ \hline
Emplois à durée indéterminée&&&&\np{2025}\\ \hline
Autres catégories &&&&\\ \hline
Total &216&&810&\np{2700}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit la fiche de paye d'un salarié de cette entreprise. On admet que chacune de ces fiches possède la même probabilité d'être choisie. 

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $J$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant entre 15 et 24 ans \fg{};
\item $M$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant entre 25 et 49 ans \fg{};
\item $S$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant plus de 50 ans \fg{};
\item $D$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant un emploi à durée indéterminée \fg.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $S \cap D$ puis calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant entre 25 et 49 ans ou ayant un emploi à durée indéterminée \fg.
 	\end{enumerate}
\item  On établit la fiche de paye d'un salarié ayant entre 15 et 24 ans.
	
Calculer la probabilité que la fiche soit celle d'un salarié n'ayant pas un emploi à durée indéterminée.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x\ne2$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x-2}$. 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=10$.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\geqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$ et $y$, l'aire et le périmètre d'un rectangle de dimensions $x$ et $y$.
\item On considère les rectangles de dimensions $x$ et $y$ dont l'aire est égale au périmètre.
 \begin{enumerate}
\item  Montrer que $y=\dfrac{2x}{x-2}$ avec $x\ne2$.
\item Existe-t-il des rectangles dont l'aire est égale au périmètre et dont un des côtés est inférieur ou égal à 2 ?
\end{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $]2 ; 12]$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(24,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x/(x-2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(24,18)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(12,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](12,0){$x$} \uput[dl](0,9){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2.571}{12}{\f}
\uput[ul](12,2.5){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant la courbe $\mathcal{C}$, déterminer tous les rectangles de dimensions entières, comprises entre  1 et 10, tels que  l'aire est égale au périmètre
\end{enumerate}

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 9}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 26 mai 2018} 

\exo

\medskip

Simplifier chacune des expressions suivantes, où $x$ est un réel :

\begin{enumerate}
	\item $A =\sin(-x)+\cos(-x)+\sin{\left(\pi - x\right)}+\cos{\left(\pi + x\right)}$.
	\item $B =\left( \cos x + \sin x\right)^2+\left( \cos(-x) + \sin(-x)\right)^2$.
	\item $C =\cos^4{x} - \sin^4{x} -2\cos^2{x}$.	
\end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo 

\medskip

\begin{minipage}{11cm}
Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left( \mathrm{O}; I, J\right)$, on a tracé le polygone régulier $ABCDEFGH$.
\begin{enumerate}
	 \item Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique le point $A$ est l'image du réel $\dfrac{\pi}{6}$. 
	 
	 À quels réels de l'intervalle $]-\pi ; \pi ]$  sont associés les sommets de ce polygone ?	
	\item  Donner les coordonnées des points $A$ et $C$.
	\item  Quel est le point de coordonnées $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} ; -\dfrac{1}{2} \right)$ ?
	\item  Les points $B$ et $F$ sont-ils symétriques par rapport à l'origine  $\mathrm{O}$ du repère $\left( \mathrm{O}; I, J\right)$ ?
	\item On donne $\cos{\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)}= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\sin{\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)}$. En déduire les coordonnées du point $B$.
\item Calculer les coordonnées du point $F$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{5.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.4,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](1.4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=30+45,\i=1+1}{8}{\pnode(1;\n){S\i}}}
\ncline{S1}{S2}  \ncline{S2}{S3}  \ncline{S3}{S4}  \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S6}\ncline{S6}{S7} \ncline{S7}{S8}\ncline{S8}{S1} 
\psset{labelsep=4pt}
\footnotesize{\bleu{\nput{30}{S1}{$A$}\nput[]{75}{S2}{$B$}\nput{120}{S3}{$C$}\nput{165}{S4}{$D$}\nput{210}{S5}{$E$}\nput{255}{S6}{$F$}\nput{300}{S7}{$G$}\nput{345}{S8}{$H$}}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1.01} 
\end{pspicture}
	\end{flushright}
	\end{minipage}

 \bigskip
  
 \exo

\medskip

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left] -2 ; + \infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2-4x}{x+2}$. 

La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2-4*x)/(x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(10,8)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(5,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.1666}{5}{\f}
\uput[ul](5,-4){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x)=-3$.
\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1,5) =7$ et $g(1) =2$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\item Déterminer l'expression de de $g(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left] -2 ; + \infty\right[$ on a  $f(x) - g(x)=\dfrac{2(x-3)(x+1)}{x+2}$.
\item Étudier le signe de $f(x) - g(x)$. En déduire les positions relatives de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage

\thispagestyle{empty}

\hfill

\newpage
\end{document}