\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
%\usepackage{times,mathptmx}
%\DeclareSymbolFont{lmodern}{U}{euex}{m}{n}
%\DeclareMathSymbol\infty \mathord{lmodern}{"31}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath} ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma


% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 05 février 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{droites dans le plan}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
%\setcounter{secnumdepth}{3}

\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                  {\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape}} 
                                 
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{2}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\blue}}  
                                
\renewcommand\subsubsection{\@startsection {subsubsection}{3}{\z@}%
	{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
	{2.3ex \@plus .2ex}%
	{\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\small}}
\makeatother
\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection} --}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

   
\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}


\hypersetup{
pdftitle={Droites.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Équation de droites.}, 
pdfkeywords={Équation de droites, système d'équations linéaires, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}

\section{introduction}

Dans le plan muni d'un repère \Oij , on cherche à établir une relation entre les coordonnées $\left( x ; y\right)$ des points du plan appartenant à une droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple 1}}}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère \Oij , on considère les points $A\left( -2 ; 3\right)$ et $B\left( 1 ; -2 \right)$. 

$M\left( x ; y\right)$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix*}[r]3 \\ -5 \end{pmatrix*}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x +2 \\ y - 3 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit :\[
\begin{split}
M \in (AB) & \iff 3 \left(y - 3 \right) - \left(-5 \right) \left( x +2 \right) = 0 \\
&  \iff 3y -9 +5x+10 =0\\
&  \iff 3y  +5x+1 =0 \\
&  \iff y  = -\dfrac{5}{3}x -\dfrac{1}{3}\\
\end{split}
\]
L'équation $3y+5x+1 =0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

L'équation $y=-\dfrac{5}{3}x -\dfrac{1}{3}$ est l'équation réduite de la droite $(AB)$. 

La droite $(AB)$ est la courbe représentative d'une fonction affine $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\dfrac{5}{3}x -\dfrac{1}{3}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple 2}}}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère \Oij , on considère les points $A\left( -3 ; -1\right)$ et $B\left( -3 ; 4 \right)$. 

$M\left( x ; y\right)$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x +3 \\ y +1 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit :\[
\begin{split}
M \in (AB) & \iff 0 \times \left(y +1 \right) - 5 \left( x +3 \right) = 0 \\
&  \iff -5x-15 =0\\
&  \iff x =-3 \\
\end{split}
\]
L'équation $-5x-15 =0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

L'équation $x=3$ est l'équation réduite de la droite $(AB)$.

La droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées, ce n'est pas la courbe représentative d'une fonction.

\section{équations d'une droite}

\subsection{propriété}

\cadreR{Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. $M$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AM}$ sont colinéaires. }

\subsection{équation réduite d'une droite}

\subsubsection{théorème}

\cadreR{Dans le plan muni d'un repère \Oij , toute droite $\mathcal{D}$  a une équation soit de la forme $x=c$ soit de la forme $y=mx+p$}

\dem

Soit $A\left( x_A ; y_A \right)$ et $B\left( x_B ; y_B \right)$ deux points distincts du plan.

La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M( x; y)$ du plan tels que les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit :\[
\begin{split}
M \in (AB) & \iff \left( x_B - x_A \right) \left(y - y_A \right) - \left( y_B - y_A \right) \left( x - x_A \right) = 0 \\
&  \iff \left( x_B - x_A \right) \left(y - y_A \right) = \left( y_B - y_A \right) \left( x - x_A \right) \qquad (1)\\
\end{split}
\]
\begin{itemize}
\item Si la droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées :

les points $A$ et $B$ ont la même abscisse $ x_A = x_B=c$ d'où, $ x_B - x_A=0$. L'équation (1) s'écrit alors :\[\left( y_B - y_A \right) \left( x - c \right)=0 \iff x=c\]
\item Si la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées :

les points $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse d'où, $ x_B - x_A \ne 0$. L'équation (1) s'écrit alors :\[ \left(y - y_A \right) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \left( x - x_A \right) \iff y=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \left( x - x_A \right) + y_A \]
Soit en posant $m=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, la droite $(AB)$ a une équation de la forme $y=mx+p$.
\end{itemize}

\subsubsection{théorème réciproque}

\cadreR{L'ensemble des points $M(x ; y)$ du plan vérifiant l'équation $x=c$ est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

L'ensemble des points $M(x ; y)$ du plan vérifiant l'équation $y=mx+p$ est une droite coupant l'axe des ordonnées au point $P$ de coordonnées $(0 ; p)$.
}

\dem

\begin{itemize}
\item Le cas de l'équation $x=c$ est trivial : l'équation $x=c$ caractérise l'ensemble des points du plan qui ont la même abscisse.
\item Cas de l'équation $y=mx+p$

$A(0 ; p)$ et $B(1 ; m+p )$ sont deux points distincts de l'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l'équation $y=mx+p$.

Pour tout point $M\left( x ; mx+p \right)$, le vecteur $\vv{AM}$ a pour coordonnées $\vv{AM} \begin{pmatrix*}[l] x-0 \\ mx+p-p \end{pmatrix*}$ soit $\vv{AM} \begin{pmatrix*}[r] x \\ mx \end{pmatrix*}$.

Les vecteurs $\vv{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix*}[r] x \\ mx \end{pmatrix*}$ sont colinéaires par conséquent, $M$ est un point de la droite $(AB)$.
\end{itemize}

\subsubsection{remarques}

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=mx+p$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.7*x+1.6}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.6)
\psline[linestyle=dashed](2.2,0)(2.2,3.14)\psline[linestyle=dashed](4.5,0)(4.5,3.14)
\psbrace*[braceWidthInner=2mm,braceWidth=.5pt,braceWidthOuter=2mm,ref=tC,nodesepB=1pt, rot=90](2.2,3.14)(4.5,3.14){\prune{\footnotesize{$x_B - x_A$}}}
\psbrace*[braceWidthInner=1.5mm,braceWidth=.5pt,braceWidthOuter=1.5mm,ref=lC,nodesepA=2pt](4.5,3.14)(4.5,4.75){\prune{\footnotesize{$y_B - y_A$}}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2.2,3.14)(4.5,3.14)(4.5,4.75)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,1.6)(1,1.6)(1,2.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{5.5}{\f}
\uput[ul](5.5,5.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[u](2.2,3.14){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](4.5,4.75){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[l](0,1.6){\prune{\footnotesize{$p$}}}\uput[d](0.5,1.6){\prune{\footnotesize{$1$}}}\uput[r](1,1.95){\prune{\footnotesize{$m$}}}
\uput[d](3.35,0){\prune{\footnotesize{$m=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Le nombre réel $m$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ ;
 \item Le nombre réel $p$ est l'ordonnée à l'origine de la droite $\mathcal{D}$ ;
 \item Le vecteur $\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
 \end{itemize}
 
 \item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x=c$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-3)(5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(5,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](2,-3)(2,4)
\uput[dr](2,4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$c$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item La droite $\mathcal{D}$ n'a pas de coefficient directeur ;
 \item $\vv{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{déterminer une équation de droite} 

 \'Equation de la droite passant par deux points $A\left( x_A ; y_A \right)$ et $B\left( x_B ; y_B \right)$.
 
\begin{enumerate}
\item Première méthode

Soit $M( x; y)$ un point de la droite $(AB)$. On calcule les coordonnées des vecteurs $\vv{AB}\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ et $\vv{AM}\begin{pmatrix} X' \\ Y' \end{pmatrix}$ ; on écrit alors la condition de colinéarité \[XY'-X'Y=0\]

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(-2 ; 4)$ et $B\left( 1 ; -\dfrac{1}{2}\right)$

$M( x; y)$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs  $\vv{AB} \begin{pmatrix*}[r] 3 \\ -\dfrac{9}{2} \end{pmatrix*}$ et $\vv{AM} \begin{pmatrix} x +2 \\ y - 4 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. Soit \[ \begin{split}
3(y-4) +\dfrac{9}{2} (x+2)=0  & \iff  3y-12+\dfrac{9}{2} x+9=0\\
& \iff y=-\dfrac{3}{2}x+1\\
\end{split}\]
Ainsi, la droite $(AB)$ a pour équation $y=-\dfrac{3}{2}x+1$.

\item Seconde méthode

On distingue deux cas :

\begin{enumerate}
\item Si les points $A$ et $B$ ont la même abscisse, $x_A = x_B = c$ alors la droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées et a pour équation $x=c$. 
\item Si les points $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse, $x_A \ne x_B$. 

On calcule le coefficient directeur $m=\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ puis, on on détermine l'ordonnée à l'origine à l'aide des coordonnées du point $A$ : \[y=m \left( x - x_A \right) + y_A \]

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(3 ; 1)$ et $B\left( -\dfrac{1}{2} ; -\dfrac{4}{3}\right)$.

Les points $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse donc la droite $\mathcal{D}$ admet une équation de la forme $y=mx+p$ avec \[m=\dfrac{-\dfrac{4}{3}-1}{-\dfrac{1}{2}-3}=\dfrac{-\dfrac{7}{3}}{-\dfrac{7}{2}}=\dfrac{2}{3}\]
La droite $\mathcal{D}$ a pour équation $y=\dfrac{2}{3} x +p$. Comme le point $A(3 ; 1)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite d'où\[\dfrac{2}{3}\times 3 +p =1 \iff p=1\]
Ainsi, la droite $\mathcal{D}$ a pour équation $y=\dfrac{2}{3} x +1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{droites parallèles, droites sécantes}

\subsection{droites parallèles}

\cadreR{Dans le plan muni d'un repère \Oij, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=mx+p$ et la droite $\mathcal{D}'$ d'équation $y=m'x+p'$ sont parallèles si, et seulement si, $m=m'$.
}

\dem

Soit $\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ et $\vv{u'}\begin{pmatrix} 1 \\ m' \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ :
\[ \mathcal{D}\ //\ \mathcal{D}’ \iff {\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ et } \vv{u'}\begin{pmatrix} 1 \\ m' \end{pmatrix} \text{ sont colinéaires }} \iff {1\times m' - 1 \times m =0} \iff m=m' \] 

\subsubsection{remarque} 

Les droites d'équations $x=c$ et $x=c'$ étant parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles.
  
\subsection{coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes}

Dans le plan muni d'un repère \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=mx+p$ et la droite $\mathcal{D}'$ dont l'équation est soit $y=m'x+p'$ avec $m \ne m'$ soit $x=c$.

Déterminer les coordonnées $(x_A ; y_A)$ du point d'intersection $A$ de deux droites sécantes c'est résoudre un système d'équations linéaires, formé des équations de chacune des deux droites :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X }
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.75*x-1}
\def\g{-.5*x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-2)(5.5,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.25}{5.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.8}{5.5}{\g}
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt}
\psline[linestyle=dashed](3.2,0)(3.2,1.4)(0,1.4)
\uput[l](5.5,3.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[r](-2,3.4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}'$}}}
\uput[u](3.2,1.4){\prune{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture} & & \psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.75*x-1}
\def\g{-.5*x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-2)(5.5,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,ticks=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$\mathrm{O}$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{\red $\vec{i}$}}\uput[l](0,0.5){\footnotesize{\red $\vec{j}$}}
\uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.25}{5.5}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](2.8,-2)(2.8,4)
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt}
\psline[linestyle=dashed](2.8,1.1)(0,1.1)
\uput[l](5.5,3.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[dr](2.8,4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}'$}}}
\uput[ul](2.8,1.1){\prune{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture} \\
$\begin{cases} y=mx+p\\y=m'x+p' \end{cases}$ & ou & $\begin{cases} x=c\\ y=mx+p\end{cases}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soient $\mathcal{D}$ et  $\mathcal{D}'$ deux droites d'équations respectives $y=-\dfrac{2}{3}x+3$ et $y=\dfrac{5}{6}x-\dfrac{3}{4}$

Le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ est égal à $-\dfrac{2}{3}$ et celui de la droite $\mathcal{D}'$ est égal à $\dfrac{5}{6}$.

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ont des coefficients directeurs différents donc les deux droites sont sécantes.

Les coordonnées $(x_A ; y_A)$ du point d'intersection $A$ des deux droites correspondent au couple solution du système :\[\begin{split}
\begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+3\\y=\dfrac{5}{6}x-\dfrac{3}{4} \end{cases} &\iff \begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+3\\-\dfrac{2}{3}x+3=\dfrac{5}{6}x-\dfrac{3}{4} \end{cases} \\
& \iff \begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+3\\ -\dfrac{3}{2}x=-\dfrac{15}{4} \end{cases} \\
& \iff \begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{2} +3 = \dfrac{4}{3} \\ x=\dfrac{5}{2} \end{cases}
\end{split}\] 
Le point d'intersection des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ a pour coordonnées $\left( \dfrac{5}{2} ; \dfrac{4}{3} \right)$.

\section{système d'équations linéaires}

\subsection{définition}

\cadreR{Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est la donnée de deux équations de la forme $\begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c' \end{cases}$, où $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des réels donnés.}

\medskip

Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ c'est trouver tous les couples $(x ;y)$ vérifiant les deux équations.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Résoudre le système $\left\{
\begin{array}{l c r}
3x-2y & = & -4 \\ 2x+6y & = & 1
\end{array}
\right.$


\[\begin{split}
\left\{\begin{array}{l|l}
3x-2y = -4 & L_1\\ 2x+6y = 1 & L_2
\end{array}\right. &\iff \left\{\begin{array}{l|l}
3x-2y = -4 & L_1\\ 11x = -11 & L_2 \leftarrow 3 \times L_1 +L_2
\end{array}\right. \\
& \iff \begin{cases} 3x-2y = -4\\x=-1 \end{cases} \\
& \iff \begin{cases} x=-1 \\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}
\end{split}\]

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 


Par lecture graphique, déterminer une équation réduite chacune des six droites.

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}		
\begin{pspicture}(-10,-10)(12,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-10)(12,10)
\psset{unit=.8cm}		
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(6,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\def\f{-2*x/3+3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{6}{\f}
\def\f{.5*x+1.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\def\f{.25*x-3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\def\g{-1.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5}{6}{\g}
\def\g{-1.5*x+1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-2.66}{4}{\g}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](-3.5,-5)(-3.5,5)
\uput[ul](-3.5,-5){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\uput[ur](4,-5){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\uput[dl](5,-2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\uput[ur](4,.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\uput[ul](4,3.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}_5$}}}
\uput[dl](-4,-1.5){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_6$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur $0,5$ et passe par le point $A(-4 ;1)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour ordonnée à l'origine $-1,5$ et passe par le point $A(1 ;-2)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\begin{pmatrix*}[r] -3 \\ 2 \end{pmatrix*}$ et passe par le point $B(-1 ;-2)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par les points $A(2 ;-1)$ et $B(-1 ;0)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par les points $A(-5 ;-4)$ et $B(-5 ;5)$.
\item La droite $\mathcal{D}$ passe par le point $A(-3 ;2)$ et est parallèle à la droite $d$ d'équation $y=-\dfrac{2}{3}x +1$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
%\exo 
%
% \medskip 
%
%Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, $M$ est un point de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-\dfrac{x}{2}+6$ d'abscisse $a\in \left]0 ; 12\right[$
%
%\begin{center}
%\psset{unit=.5cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(14,8)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(14,8)
%\psframe[linewidth=.5pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines](0,0)(7.2,2.4)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-2)(14,8)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](14,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{14}{6-.5*x}
%\uput[d](7.2,0){\footnotesize{\prune $A$}}
%\uput[u](7.2,2.4){\footnotesize{\prune $M$}}
%\uput[l](0,2.4){\footnotesize{\prune $B$}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer l'aire du rectangle $OAMB$ pour $a=7,2$.
%\item Pour quelle valeur du réel $a$ l'aire du rectangle $OAMB$ est-elle maximale ? 
%
%Quelle est alors l'aire du rectangle $OAMB$ ?
%\end{enumerate}
%
% \bigskip 

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-3x+2$ et le point  $A(-5 ; 7)$.

On veut déterminer la distance $d$ du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $M(x ;y)$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer ${AM}^2$ en fonction de $x$.
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle la distance ${AM}^2$ est minimale.

En déduire la distance $d$ du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item Donner les coordonnées du point $M$ pour lesquelles la distance $AM$ est minimale. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère \Oij, on donne les points $A(-3 ; -1)$, $B( 3; 3)$ et $C(-5 ; 7)$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la médiane $(AM)$.
\item Calculer les coordonnées du point $G$ centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points $A(-3 ; 4)$, $B( 6; 1)$ et $C(-3 ; -2)$.

\begin{enumerate}
\item On note $d$ la médiatrice du segment $[BC]$
\begin{enumerate}
\item Soit $M(x ; y)$ un point de la droite $d$. Exprimer ${MB}^2$ et ${MC}^2$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Déterminer une équation de la médiatrice $d$ du segment $[BC]$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la médiatrice $\Delta$ du segment $[AC]$.
\item Calculer les coordonnées du point $\Omega$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points $A(6 ; 5)$, $B(-1;6)$ et $C(2 ;-3)$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la médiatrice $d$ du segment $[BC]$.
\item En déduire une équation de la hauteur $(AK)$ du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la hauteur $BL$ du triangle $ABC$.
\item Calculer les coordonnées du point $H$ orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\bigskip


\exo 

 \medskip 

Soit \Oij un repère orthonormé du plan.

\begin{enumerate}
	\item	On considère la droite  $\mathcal{D}$ passant par le point $E\left( 4;-2 \right)$  et admettant pour coefficient directeur $(-2)$
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
	\item Le point $F\left( 2;-1 \right)$ est-il un point de la droite $\mathcal{D}$  ?	
\end{enumerate}
\item On considère les points $A\left( -4;9 \right)$  et $B\left(2 ;12 \right)$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
	\item Les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ sont elles parallèles ?
\end{enumerate}
\item Résoudre le système $S:\left\{ {\begin{array}{rcl}   y & =& -2x+6  \\   y &= &0,5x+11   \\\end{array}} \right.$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item On admettra maintenant que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ sont sécantes en $H(-2 : 10)$.

Démontrer que le triangle $BHE$ est rectangle en $H$.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo 

 \medskip 


Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , placer les points $A(-5;3)$, $B(3;7)$ et $C(-2;-8)$.

La figure sera complétée au fur et à mesure des questions.

\begin{enumerate}
\item Centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $M(x ; y)$ un point de la droite $\mathcal{D}$ médiatrice du segment $[AB]$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer ${MA}^2$ et ${MB}^2$ en fonction de $x$ et $y$.
\item En déduire une équation de la médiatrice $\mathcal{D}$ du segment $[AB]$.
\end{enumerate}
\item La médiatrice $d$ du segment $[BC]$ a pour équation $y=-\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3}$. Tracer la droite $d$ dans le repère \Oij.
\item  Calculer les coordonnées du point $\Omega$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item Orthocentre du triangle $ABC$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la hauteur  $(AA')$ du triangle $ABC$.
\item Déterminer une équation de la hauteur  $(CC')$ du triangle $ABC$.
\item Calculer les coordonnées du point $H$ orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point $G$ tel que $3\vv{\Omega G}  = \vv{\Omega H}$.
\item Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Le point $G$ appartient-il à la médiane $(CI)$ ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle.  Les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont définis par : $\vv{A'C}=6\vv{A'B}$ ; $\vv{B'A}=\dfrac{1}{3}\vv{B'C}$ et  $\vv{C'B}=-\dfrac{1}{2}\vv{C'A}$.
 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(28,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(28,22)
\psset{unit=.8cm}
\psline [linewidth=1pt,linecolor=bleu](2.5,3.5)(10,3.5)(4.5,8.5)(2.5,3.5)
\uput[dl](2.5,3.5){\footnotesize{\bleu $A$}}
\uput[dr](10,3.5){\footnotesize{\bleu $B$}}
\uput[u](4.5,8.5){\footnotesize{\bleu $C$}}
\end{pspicture}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessus, placer les points $A'$, $B'$ et $C'$.
\item On se place dans le repère $\left( A; \vv{AB},\vv{AC} \right)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ ainsi que celles des points $A'$, $B'$ et $C'$.
\item Déterminer une équation des droites $(BB')$ et $(CC')$. 

En déduire les coordonnées du point $K$, intersection des droites $(BB')$ et $(CC')$
\item Les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont-elles concourantes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo 

 \medskip 


Un capital de  10~000~\euro\,  a perdu 6\% de sa valeur au bout d'un an.

Ce capital avait été placé de la manière suivante :

\begin{itemize}
	\item une partie $x$ a été placée sur un compte d'épargne qui rapporte 5\% d'intérêts par an ;
	\item le reste du capital noté $y$ a été placé en bourse. Un an plus tard, le portefeuille boursier a perdu 20\% de sa valeur.
\end{itemize}

Calculer le montant en euros de chacune des deux sommes $x$ et $y$. 

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Un assembleur commande deux types de composants électroniques.
\begin{itemize}
	\item Le composant A est vendu par lot de 30 au prix de {2 550\euro} le lot.
	\item Le composant B est vendu par lot de 40 au prix de {1 400\euro} le lot.
\end{itemize}

L'assembleur a commandé au total 720 composants pour un montant global de 37 200 \euro, déterminer le nombre de lots de chacun des composants.	
	
\bigskip
	
	\exo 

 \medskip 

Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$. 

La parabole $\mathcal{P}$ passe par le point $A\left(0;-3\right)$  et coupe la droite $d$ d'équation $y=-2x+3$ en deux points d'abscisses respectives $-1$ et 2.

Déterminer l'équation de la parabole $\mathcal{P}$.
\end{document}
