\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
%\usepackage{times,mathptmx}
%\DeclareSymbolFont{lmodern}{U}{euex}{m}{n}
%\DeclareMathSymbol\infty \mathord{lmodern}{"31}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath} ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma


% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 12 janvier 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{second degré}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

%\setcounter{secnumdepth}{3}

\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                  {\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape}} 
                                 
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{2}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\blue}}  
                                
\renewcommand\subsubsection{\@startsection {subsubsection}{3}{\z@}%
	{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
	{2.3ex \@plus .2ex}%
	{\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\small}}
\makeatother
\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection} --}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

   
\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Second degré.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Polynômes du second degré.}, 
pdfkeywords={Fonctions polynômes de degré 2, définition, variation, courbe. Inéquations, tableau de signes,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}
\section{polynômes du second degré}

\subsection{définition}

\cadreR{
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels et   $a\ne 0$.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}


\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) =-\dfrac{x^2}{3}+\sqrt{2}$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-\dfrac{1}{3}$ , $b=0$ et $c=\sqrt{2}$.
\item La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) ={\left( 2x+1\right)}^2-3x$ est une fonction polynôme du second degré car, pour tout réel $x$, $g(x) =4x^2+x+1$ ($a=4$, $b=1$ et $c=1$)
\item La fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x) =\dfrac{3}{x^2+1}$ n'est pas une fonction polynôme.
\end{itemize}

\subsection{forme canonique}

\cadreR{
Toute fonction polynôme $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$, peut s'écrire sous la forme : \[f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta \qquad \text{avec }\;\alpha=-\dfrac{b}{2a}\; \text{ et }\;\beta=f(\alpha).\]
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$.

Comme $a\ne0$, pour tout réel $x$, $f(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.


Or pour tout réel $x$,  ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+{\left(\dfrac{b}{2a}\right)}^2 $. On en déduit que pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]\\
&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\\
&=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{split}\]

Soit en posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$, on obtient pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Cherchons la forme canonique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3x+2$.

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=-2 \times \left[x^2+\dfrac{3}{2}x-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{9}{16}-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{25}{16}\right]
\end{split}\]

Ainsi, pour tout réel $x$, $f(x)=-2 {\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{25}{8}$

\section{variations}


Quand on connaît la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré, on peut en déduire son maximum ou son minimum.

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, alors pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$ avec   $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudions le cas où $a<0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ; 0]$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est croissante sur $[0 ; +\infty [$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a<0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement décroissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\item \'Etudions le cas où $a>0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a>0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement croissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\end{enumerate}

On retient :

\medskip

\cadreR{
Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$. 

Les variations de $f$ sont données par les tableaux suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,2){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,2.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.5){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,2.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{tabularx}
}


\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par par $f(x)=-3x^2-2x+1$. Ici $a=-3$, $b=-2$ et $c=1$. Ainsi, $-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{1}{3}$ et $f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}$. Comme $a<0$, on en déduit le tableau des variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{1}{3}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1.8){\rnode{B}{$\dfrac{4}{3}$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\section{courbe représentative}


Dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\vec{i},\vec{j}\right)$ du plan, la courbe représentative d'une fonction polynôme  $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ est une parabole.

On dit que la parabole a pour équation $y=ax^2+bx+c$

Le sommet $S$ de la parabole a pour abscisse $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$. Il correspond au maximum ou au minimum sur $\R$ de la fonction $f$.

La parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ 

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-5)(7,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,-5)(2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,4)(2,4)
\uput[ur](2,4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[l](0,4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(4,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-5)(4,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,-5)(-2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,-4)(-2,-4)
\uput[dl](-2,-4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[r](0,-4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dl](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

La parabole est tournée vers le bas & La parabole est tournée vers le haut 
\end{tabularx}

\subsubsection{symétrie de la parabole}

Pour des raisons de symétrie, l'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole est la moyenne des abscisses $x_1$ et $x_2$ de deux points de la parabole ayant même ordonnée : $\alpha= \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x^2-6x-5$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.

Déterminons deux points de la courbe représentative de la fonction $f$ ayant la même ordonnée.

Cherchons les solutions de l'équation $f(x)=-5$  \[\begin{split}
2x^2-6x-5=-5&\Leftrightarrow 2x^2-6x=0\\
&\Leftrightarrow 2x  \left( x - 3 \right)=0
\end{split}\]
Soit $x=0$ ou $x=3$. Par conséquent, le sommet de la parabole a pour abscisse $\alpha= \dfrac{0 + 3}{2}=1,5$

\pagebreak

\section{équations, inéquations}

\subsection{résoudre une équation du second degré}


\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $3x^2-x-2=0$. 

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
3x^2-x-2=0&\Leftrightarrow 3 \times \left[x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3  \left[{\left(x-\dfrac{1}{6}\right)}^2-\dfrac{1}{36}-\dfrac{2}{3}\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3 \left[{\left(x-\dfrac{1}{6}\right)}^2-\dfrac{25}{36}\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3  \left[\left(x-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}\right)\left(x-\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}\right)\right]=0\\
&\Leftrightarrow 3 \left(x+\dfrac{2}{3}\right)\left(x-1\right)=0\\
&\Leftrightarrow  \left(x+\dfrac{2}{3}\right)=0 \quad \text{ou} \quad \left(x-1\right)=0
\end{split}\]

L'équation admet deux solutions $x_1=-\dfrac{2}{3}$ ou $x_2=1$. $S=\left\{ -\dfrac{2}{3} ; 1 \right\}$

\medskip

\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $-2x^2+3x-2=0$. 

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
-2x^2+3x-4=0&\Leftrightarrow -2 \times \left[x^2-\dfrac{3}{2}x+1\right]=0\\
&\Leftrightarrow -2  \left[{\left(x-\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{9}{16}+1\right]=0\\
&\Leftrightarrow -2 \left[{\left(x-\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{7}{36}\right]=0
\end{split}\]

Or pour tout réel $x$, ${\left(x-\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{7}{36} \geqslant \dfrac{7}{36}$ donc l'équation n'a pas de solutions. $S=\varnothing$
\end{enumerate}

\pagebreak

\subsection{résoudre une inéquation du second degré}


\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$. 

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
-\dfrac{x^2}{4}-x+3 &= -\dfrac{1}{4} \times \left[x^2+4x-12\right]\\
&= -\dfrac{1}{4}  \left[{\left(x+2\right)}^2-4-12\right]\\
&= -\dfrac{1}{4} \left[{\left(x+2\right)}^2-16\right]\\
&= -\dfrac{1}{4}  \left[\left(x+2+4\right)\left(x+2-4\right)\right]\\
&= -\dfrac{1}{4} \left(x+6\right)\left(x-2\right)
\end{split}\]
\'Etudions le signe du produit $-\dfrac{1}{4} \left(x+6\right)\left(x-2\right)$ à l'aide d'un tableau de signe.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=.5pt} 
\psframe(16,5)
\psline(0,1)(16,1)\psline(0,2)(16,2)\psline(0,3)(16,3)\psline(0,4)(16,4)
 \psline(3,0)(3,5)
  \rput(1.5,4.5){$x$} \rput(3.5,4.5){$- \infty$} \rput(7.5,4.5){$-6$} \rput(11.5,4.5){$2$}  \rput(15.5,4.5){$+\infty$}
   \rput(1.5,3.5){$-\dfrac{1}{4}$} \rput(5.5,3.5){$-$}\pnode(7.5,4){m0}\pnode(7.5,3){m1}\ncline{m0}{m1}\rput(9.5,3.5){$-$} \pnode(11.5,4){n0}\pnode(11.5,3){n1}\ncline{n0}{n1}\rput(13.5,3.5){$-$} 
 \rput(1.5,2.5){$x+6$} \rput(5.5,2.5){$-$}\pnode(7.5,3){m1}\pnode(7.5,2){m0}\ncline{m1}{m0}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$}\pnode(11.5,2){n0}\ncline{n0}{n1}\rput(13.5,2.5){$+$} 
 \rput(1.5,1.5){$x-2$} \rput(5.5,1.5){$-$}\pnode(7.5,1){m1}\ncline{m0}{m1} \rput(9.5,1.5){$-$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n0}{n1}\ncput*{0}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$-\dfrac{1}{4} \left(x+6\right)\left(x-2\right)$} \rput(5.5,0.5){$-$}\pnode(7.5,0){m0}\ncline{m0}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$-$}  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble $S$ des solutions de l'inéquation $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$ est $S=\left] - \infty ; -6\right] \cup \left[2 ; + \infty \right[$.

\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $\dfrac{x^2}{2}-x+1 \geqslant 0$

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
\dfrac{x^2}{2}-x+1 &= \dfrac{1}{2} \times \left[x^2-2x+2\right]\\
&= \dfrac{1}{2}  \left[{\left(x-1\right)}^2-1+2\right]\\
&= \dfrac{1}{2} \left[{\left(x-1\right)}^2+1\right]
\end{split}\]

Or pour tout réel $x$, ${\left(x-1\right)}^2+1 \geqslant 1$ d'où $\dfrac{1}{2} \left[{\left(x-1\right)}^2+1\right] \geqslant \dfrac{1}{2}$ donc l'ensemble solution de l'inéquation $\dfrac{x^2}{2}-x+1 \geqslant 0$ est $S=\R$
\end{enumerate}

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Xm{6cm}}
On a tracé ci-contre, les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = ax^2$ et $g(x)=bx^2$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

Laquelle des quatre propositions suivantes  est exacte ?
\begin{enumerate}
 \item $a>0$, $b>0$, $a>b$ ; 
  \item $a<0$, $b<0$, $a>b$ ; 
 \item $a>0$, $b>0$, $a<b$ ;
 \item $a<0$, $b<0$, $a<b$.
 \end{enumerate} 
 &\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6.5,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.2*x^2}
\def\g{.4*x^2}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-1)(6,7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4.18}{4.18}{\g}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[dr](5,5){\footnotesize{\bleu{$y=ax^2$}}}
\uput[dr](4.2,7){\footnotesize{\prune{$y=bx^2$}}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx}
 
 \bigskip

\exo 

 \medskip

$\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la  fonction carré $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Les paraboles $\mathcal{C}_1$ à $\mathcal{C}_6$, ont une équation de la forme $y = ax^2$, où $a$ est un réel.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-10)(14,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-10)(14,10)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=4]{->}(0,0)(-7,-20)(7,20)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,20){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4.472}{4.472}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-7}{7}{-.25*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-7}{7}{.25*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6.324}{6.324}{-.5*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6.324}{6.324}{.5*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3.162}{3.162}{-2*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3.162}{3.162}{2*x^2}
\uput[dr](4.5,20){\prune $\mathcal{C}_f$}
\uput[dr](3.2,20){\bleu $\mathcal{C}_1$}
\uput[dr](6.4,20){\bleu $\mathcal{C}_2$}
\uput[ul](7,12){\bleu $\mathcal{C}_3$}
\uput[dl](7,-12){\bleu $\mathcal{C}_4$}
\uput[ur](6.4,-20){\bleu $\mathcal{C}_5$}
\uput[ur](3.2,-20){\bleu $\mathcal{C}_6$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la courbe représentative de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=-\dfrac{x^2}{4}$ ?
\item Quelle est la courbe représentative de la fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x)=2x^2$ ?
\item Déterminer une expression, en fonction de $x$, de la fonction $u$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}_5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$3$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$f(x)$} \rput(2,1){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.2){\rnode{B}{$-2$}} \rput(9.5,1){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture} \hfill 
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$2$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$g(x)$} \rput(2,.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1){\rnode{B}{$1$}} \rput(9.5,.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions polynômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction $f$ ? le même tableau de variation que  la fonction $g$ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}	
$A(x)=x^2+3x-2$ ; & $B(x)=-x^2+6x-11$ ; & $C(x)=x^2-6x+7$ ;  & $D(x)=-x^2-4x+13$;\\
$E(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+x$ ; \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+\dfrac{5}{2}$ ; &   $G(x)=x^2-4x+2$ ; & $H(x)=-3x^2+12x-11$.
\end{tabularx}

\item Déterminer deux fonctions polynômes du second degré ayant respectivement le même tableau de variation que les fonctions $f$ et $g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-2x^2+5x+7$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des valeurs suivant :

\medskip

	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5 \\ \hline
$f(x)$&   &   &   &   &   &   &   &  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-12)(12,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-2*x^2+5*x+7}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-12)(12,12)
\psset{xunit=1cm, yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=2]{->}(0,0)(-4,-12)(6,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,12){$y$}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.076}{4.576}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Par lecture graphique :
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les solutions de l'équation $f(x)=0$ ? 
\item Quelles sont les solutions de l'équation $f(x)=4$ ?
 \item Quels sont les antécédents de $-5$ et de $7$ ?
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.

Le tableau de  valeurs de la fonction est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 &  5   \\ \hline
$f(x)$  &  $8$ & $2$  & $-2$  & $-4$  & $-4$   & $8$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'affirmation \og le minimum de la fonction $f$ est égal à $-4$ \fg{} est-elle vraie ?
\item Quel est l'image de 3 ?
\item Résoudre l'équation $f(x)= 2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.

Le tableau de  valeurs de la fonction est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 &  4  \\ \hline
$f(x)$  &  $8$ & $0$  & $-6$  & $-10$  & $-12$   & $-10$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur du réel $x$ le minimum de la fonction $f$ est-il atteint ?
\item Résoudre l'équation $f(x)= 0$ ?
\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

 \medskip 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Sur la figure ci-contre, $AB = 6$, $M$ est un point du segment $\left[AB\right]$ différent de $A$ et $B$ et les triangles $AMD$ et $MBC$ sont rectangles isocèles.

On cherche à déterminer la distance $AM$ telle que l'aire du triangle $MCD$ soit maximale.


On pose $AM=x$ et on note $f(x)$ l'aire du triangle $MCD$ 

&\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(6.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-}(0,2)(0,0)(6,0)(6,4)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(.9,-.1)(1.1,0.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(-.1,.9)(0.1,1.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(3.85,-.1)(4.05,0.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(3.95,-.1)(4.15,0.1)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(5.9,1.85)(6.1,2.05)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-}(5.9,1.95)(6.1,2.15)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{-}(6,4)(0,2)(2,0)(6,4)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-}(0,0.2)(0.2,0.2)(0.2,0)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-}(6,0.2)(5.8,0.2)(5.8,0)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[d](2,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\uput[dr](6,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](6,4){\footnotesize{\prune{$C$}}}
\uput[ul](0,2){\footnotesize{\prune{$D$}}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\end{pspicture}\\
  \end{tabularx} 
  
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $x$ les aires des triangles $AMD$ et $MBC$. En déduire que $f(x)=-x^2+6x$
	\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
	\item En déduire la valeur de $x$ telle que l'aire du triangle $MCD$ soit maximale. Quel est alors l'aire maximale du du triangle $MCD$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Xm{5cm}}
$ABCD$ est un rectangle de périmètre 32.

Quelle est l'aire maximale du rectangle $ABCD$ ? 
&\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,2)(0,2)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}} \uput[ur](5,2){\footnotesize{\bleu{$C$}}}\uput[ul](0,2){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](2.5,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\bigskip

 \exo

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\qquad}m{4cm}}

$ABC$ est un triangle rectangle isocèle tel que $AB=10$. $I$ est le milieu du segment $[AC]$.

\medskip

Où faut-il placer le point $M$ sur le segment $\left[ AB\right]$ pour que l'aire du trapèze $AMNI$ soit maximale ?
&\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(5,0)(0,5)
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(3.5,1.5)(0,2.5)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$C$}}}\uput[d](3.5,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}\uput[ur](3.5,1.5){\footnotesize{\prune{$N$}}}\uput[l](0,2.5){\footnotesize{\prune{$I$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\bigskip

\exo 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Xm{5cm}}

$M$ est un point du segment $\left[ AB\right]$ de longueur 12. 

\`A quelle distance du point $A$ faut-il placer le point $M$ pour que la somme des aires des carrés de côtés respectifs $\left[ AM\right]$ et $\left[ MB\right]$ soit minimale ? 
&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\pspolygon(3,0)(5,0)(5,2)(3,2)
\uput[dl](0,0){\bleu{$A$}} \uput[dr](5,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}\uput[d](3,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\bigskip

\exo  

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-\dfrac{3}{4}x+2$ et le point $A$ de coordonnées $(-2 ; -4)$.

Le but de cet exercice est de déterminer la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.


\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$ d'abscisse $a$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $a$ les coordonnées du vecteur $\vv{AM}$.
\item Montrer que ${AM}^2=\dfrac{25}{16} a^2 -5 a + 40$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $a$ par  $f(a)=\dfrac{25}{16} a^2 -5 a + 40$.
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

 \medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X|@{\qquad}X}}
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $x^2=x+1$.
\item $x^2-\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{4}=0$
\item $-2x^2-5x+3=0$
\item $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{6}=0$
\end{enumerate}
 \end{enumerate}&
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
\item Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $x^2-5x+6 \leqslant 0$.
\item $-2x^2+3x\leqslant 5$
\item $3x^2+3x \geqslant \dfrac{9}{4}$
\item $x-1 \geqslant\dfrac{x^2}{3}$
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
  \end{tabularx}
 
 \bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par $f(x) =  x^2+4x-4$ et $g(x) =-x^2+5x+2$.

\begin{enumerate}
	\item Parmi les courbes tracées ci-dessous, déterminer celle qui représente la fonction $f$ et celle qui représente la fonction  $g$. (\emph{Justifier})
	\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-14,-11)(16,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-11)(16,12)
\psset{xunit=.8cm, yunit=0.2cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dy=4,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-22)(8,24)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,23){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{8}{-x^2+5*x+2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.82}{7.82}{x^2-5*x+2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-7}{3.65}{x^2+4*x-4}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-6.69}{2.69}{-(x+2)^2}
\rput(3.1,-20){\prune{\small{$\mathcal{C}_3$}}}
\rput(-6.5,17){\prune{\small{$\mathcal{C}_1$}}}
\rput(-2.25,23){\bleu{\small{$\mathcal{C}_2$}}}
\rput(-3.5,-20){\bleu{\small{$\mathcal{C}_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Factoriser $f(x)-g(x)$.
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
\end{enumerate}
 
  \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

La parabole $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la  fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) =-x^2+3x+7$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-12)(18,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{-x^2+3*x+7}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-12)(18,11)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dy=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-12)(9,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.11}{6.11}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4}{7}{2*x-5}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4}{7}{2-x}
\uput[ur](6.2,-12){\bleu{\small{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](1.5,9.25){\bleu{\small{$S$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
%\item Dessiner l'axe de symétrie de la parabole $\mathcal{C}_f$.
\item Calculer les coordonnées du point $S$ sommet de la parabole $\mathcal{C}_f$.
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant -3$.
\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(x) \geqslant -3$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, quelles semblent être les solutions de l'équation $f(x)=0$.  
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item Que peut-on conclure ?
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
\item Soit $g$ la fonction affine définie par $g(x)=2x-5$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $D$ représentative de la fonction $g$.
\item \'Etudier le signe de $g(x)-f(x)$. 
\item En déduire les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

$f$ est une fonction polynôme du second degré telle que sa courbe représentative est une parabole de sommet $S\left(\dfrac{3}{2} ; -\dfrac{25}{4}\right)$ passant par le point $A(1; -6)$.  

\begin{enumerate}
	\item Donner le tableau des variations de $f$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant  0$.
\end{enumerate}


\bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur pour tout réel $x$  par $f(x)=2x^2-4x-1$. La courbe représentative de la fonction $f$, notée $C_f$, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Le point $A\left(-1;5\right)$ appartient-il à la courbe $C_f$ ?
	\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.	
	\item La proposition \og Si $0 \leqslant x \leqslant 3$ alors $f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(3)$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?	
	\end{enumerate}
	\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1)=8$  et  $g(3)=-4$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère orthogonal donné ci-dessous.	
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)=2\times\left[\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{49}{16}\right]$.
\item \'Etudier le signe de $f(x)-g(x)$. 
\item En déduire les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-5)(18,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def \f{2*x^2-4*x-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-5)(18,14)
\psset{xunit=2cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-5)(4.5,14)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4.5,0){$x$} \uput[dl](0,14){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.2pt, linecolor=bleu]{-1.92}{3.92}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.5}{3}{5-3*x}
\uput[dr](4,14){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

$g$ est la fonction affine telle que $g(-1)=5$  et $g(2)=-4$. On note $\mathcal{D}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}

	\item Déterminer l'expression de $g(x)$ en fonction de $x$.
		\item Soient $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x^2-4x-1$ et  $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)= 2 \left[ \left(x - \dfrac{1}{4}\right)^2 -  \dfrac{25}{16}\right]$
	\item \'Etudier les positions relatives de la parabole  $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
