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% en-tête
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\makeatletter
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\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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%%%% fin macro %%%%

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\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Statistiques.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Statistiques quantitatives.}, 
pdfkeywords={Médiane, quartiles, déciles, moyenne, échantillonnage, intervalle de fluctuation.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}

Les premières études statistiques étaient des recensements démographiques : on en a conservé le vocabulaire.
\begin{itemize}
\item[] \emph{Population} : C'est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique.
\item[] \emph{Individu} : C'est un élément de la population.
\item[] \emph{Caractère} : C'est l'aspect que l'on observe sur les individus. Un caractère permet de déterminer une partition de la population selon ses diverses valeurs  (par exemple le genre est un caractère à deux modalités : masculin ou féminin). 

Lorsque les différentes valeurs d'un caractère sont des nombres, le caractère est \emph{ quantitatif}. Dans le cas contraire, le caractère est \emph{ qualitatif}.
\end{itemize}

\section{effectifs - fréquences}

\subsection{effectifs et fréquences}
\cadreB{L'effectif d'une valeur du caractère étudié est le nombre d'individus de la population ayant cette valeur.

La fréquence d'une valeur est le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total de la population. ( la fréquence peut être exprimée en pourcentage )\[\text{féquence}=\dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}\]}

\subsection{effectifs cumulés et fréquences cumulées}

On étudie un caractère quantitatif dans une population.
\begin{itemize}
\item Les différentes valeurs $x_i$ du caractère quantitatif constituent une série statistique notée $\left( x_i\right)$.
\item On note $n_i$ l'effectif de la valeur $x_i$.
\end{itemize}

\medskip

\cadreB{

L'effectif cumulé croissant de la valeur $x_i$ est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à $x_i$. 

La fréquence cumulée croissante de la valeur $x_i$ est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à $x_i$. 
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par jour sur un mois. On a obtenu la distribution suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre total de journées d'intervention est $2 + 4 + 9 + 6 + 3 + 1=25$. Les fréquences des différentes valeurs du nombre d'intervention sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{5ex} Fréquence  $f_i =\dfrac{n_i}{25}$  & 0,08 & 0,16 & 0,36 & 0,24 & 0,12 & 0,04 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le tableau suivant donne les effectifs cumulés croissants  ainsi que les fréquences cumulées croissantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
Effectif cumulé  & 2 & 6 & 15 & 21 & 24 & 25 \\ \hline
Fréquence cumulée  & 0,08 & 0,24 & 0,6 & 0,84 & 0,96 & 1 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\section{caractéristiques d'une série statistique}

\subsection{caractéristiques de position}

\subsubsection{la moyenne}

\parbox{0.6\linewidth}{On considère la série statistique donnée par le tableau ci-contre.

On note $N=n_1+n_2+\cdots+n_p$ l'effectif total}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\begin{flushright}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_p$\\ \hline
Effectif  $n_i$ & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{flushright}}

\cadreR{
La moyenne d'une série statistique est le quotient noté $\overline{x}$ de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total.\[\overline{x}=\dfrac{{n_1}{x_1}+{n_2}{x_2}+\cdots+{n_p}{x_p}}{N}\]
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

Soit $f_i =\dfrac{n_i}{N}$ la  fréquence de la valeur $x_i$ alors, la moyenne $\overline{x}={f_1}{x_1}+{f_2}{x_2}+\cdots+{f_p}{x_p}$. 

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Avec la série statistique précédente :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 4 & 9 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
Fréquence  $f_i$  & 0,08 & 0,16 & 0,36 & 0,24 & 0,12 & 0,04 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre moyen d'interventions par jour est :\[\overline{x}=\dfrac{2 \times 3 + 4 \times 5 + 9 \times 6 + 6\times 7 + 3 \times 8 + 1 \times 9}{25} = 6,2\]  ou en utilisant les fréquences :\[ \overline{x}=0,08 \times 3 + 0,16 \times 5 + 0,36 \times 6 + 0,24\times 7 + 0,12 \times 8 + 0,04 \times 9 =6,2\]

\subsubsection{la médiane}

La médiane d'une série statistique est une valeur telle qu'il y ait autant d'observations ayant une valeur supérieure à la médiane que d'observations ayant une valeur inférieure à la médiane.

\medskip

\cadreR{
La médiane d'une série statistique de $N$ valeurs rangées par ordre croissant est le nombre $M_e$ défini par :
\begin{itemize}
\item si l'effectif $N$ est impair, la médiane $M_e$ est la valeur centrale du caractère c'est à dire la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ de la série ordonnée.
\item si l'effectif $N$ est pair, la médiane $M_e$ est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère c'est à dire la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ de la série ordonnée.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans la série précédente, l'effectif total $N=25$ donc la médiane est la valeur du caractère de rang 13 soit $Me=6$.

\subsubsection{les quantiles}

\begin{enumerate}
\item \textsf{\textsc{\small{les quartiles}}}

Les quartiles au nombre de trois $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$ partagent l'ensemble étudié de $N$ éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en quatre sous ensembles.


\cadreR{
\begin{itemize}
\item Le premier quartile noté $Q_1$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 25 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_1$.
\item Le troisième quartile noté $Q_3$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 75 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_3$.
\end{itemize}
}

\begin{center}
	\psset{unit=1cm,braceWidth=1pt}
	\begin{pspicture}(-1,-2.5)(13,1.5) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psbrace[linecolor=prune,fillcolor=prune,rot=-90,ref=B,nodesepB=-4pt](5.95,.5)(0,.5){\prune{\footnotesize{Au moins 50\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=prune,fillcolor=prune,rot=-90,ref=B,nodesepB=-4pt](12,.5)(6.05,.5){\prune{\footnotesize{Au moins 50\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=bleu,fillcolor=bleu,rot=90,ref=B,nodesepB=8pt](0,-.5)(3,-.5){\bleu{\footnotesize{Au moins 25\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=bleu,fillcolor=bleu,rot=90,ref=B,nodesepB=8pt](0,-1.5)(9,-1.5){\bleu{\footnotesize{Au moins 75\% des valeurs}}}
\psline[linewidth=1pt]{|-|}(0,0)(12,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](6,-.15)(6,.15)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](3,-.15)(3,.15)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](9,-.15)(9,.15)
\uput[l](0,0){$x_{\text{min}}$}\uput[r](12,0){$x_{\text{max}}$}\uput[u](6,0){\prune{$M_e$}}\uput[u](6,0){\prune{$M_e$}}\uput[d](3,0){\bleu{$Q_1$}}\uput[d](9,0){\bleu{$Q_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item \textsf{\textsc{\small{les déciles}}}

Les déciles au nombre de neuf $D_1$, $D_2$, \ldots , $D_9$ partagent l'ensemble étudié de $N$ éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en dix sous ensembles.


\cadreB{
\begin{itemize}
\item Le premier décile noté $D_1$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 10 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_1$.
\item Le neuvième décile noté $D_9$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 90 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_9$.
\end{itemize}
}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

Le deuxième quartile $Q_2$ et le cinquième décile $D_5$ sont égaux à la médiane.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{vocabulaire}}}

\medskip

\cadreB{
La moyenne, la médiane, les quantiles sont appelés caractéristiques de position d'une série statistique.
}

\subsection{caractéristiques de dispersion}

\cadreR{
\begin{itemize}
\item L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série statistique.
\item L'écart interquartile est égal à la différence entre le troisième et le premier quartiles.
\item L'écart interdécile est égal à la différence entre le neuvième et le premier déciles.
\end{itemize}
}

\subsection{boîtes à moustaches}

La représentation graphique de la dispersion d'une série statistique se fait à l'aide de diagramme en boîte appelés aussi \og boîte à moustaches \fg{} ou \og box-plot \fg{}.

Pour une catégorie donnée, on construit, en face d'un axe permettant de repérer les quantiles de la variable étudiée, un rectangle dont la longueur est égale à l'écart interquartile  $Q_3 -Q_1$, la médiane est représentée par un trait. On ajoute alors des segments aux extrémités menant jusqu'aux valeurs extrêmes, ou jusqu'aux premier et neuvième déciles. 

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Le tableau suivant donne la distribution du revenu salarial par secteur d'activité en France en 2014.

\begin{center}
 \begin{tabularx}{.75\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-6}
 \multicolumn{1}{l|}{} & D1 & Q1 & Médiane & Q3 & D9\\ \hline
Secteur privé & \np{2218} & \np{8570} & \np{17520} & \np{25377} & \np{37234}\\ \hline
Secteur public & \np{4716} & \np{15744} & \np{21221} & \np{27996} & \np{36797}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize{Source : INSEE}}
 \end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}	
\psset{xunit=.2cm,yunit=.75cm} 
	\begin{pspicture}(0,-1)(50,4) 
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\psaxes[linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,xlabelFactor= \,000,Ox=0,Dx=5]{-}(0,0)(0,-.1)(42,.1)
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psline(4.716,0.75)(4.716,1.25) \psline(4.716,1)(15.744,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](15.744,0.5)(27.996,1.5)  \psline(27.996,1)(36.797,1) \psline(36.797,0.75)(36.7978,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](21.221,0.61)(21.221,1.4)
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\uput[r](38,1){\footnotesize{Secteur public}}\uput[r](38,3){\footnotesize{Secteur privé}}
%\psline(d1,0.75)(d1,1.25) \psline(d1,1)(q1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](q1,0.5)(q3,1.5)  \psline(q3,1)(d9,1) \psline(d9,0.75)(d9,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](m,0.61)(m,1.4)% 
\end{pspicture}
\end{center}

\section{test statistique}

On considère une population d'effectif $N$, très grand, dans laquelle on connaît la proportion $p$ des individus présentant un certain caractère.

\subsection{échantillonnage}

\subsubsection{échantillon}

Une urne contient des boules blanches et des boules noires en proportion $p$.

On tire au hasard une boule dans l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans le sac. 

En répétant $n$ fois ce procédé, on constitue un échantillon aléatoire de taille $n$ de la population des boules de l'urne.

\medskip

\cadreB{
Un échantillon de taille $n$ est constitué de $n$ éléments pris au hasard dans la population dont l'effectif $N$ est suffisamment grand par rapport à l'effectif $n$ de l'échantillon pour considérer que le tirage des éléments de l'échantillon s'effectue avec remise.
}

\subsubsection{fluctuation d'échantillonnage}



Si on prélève plusieurs échantillons d'effectif $n$, où $n \geqslant 30$, dans la même population, on constate que la fréquence du caractère observé fluctue autour de la proportion $p$ du caractère. Ce phénomène dû au hasard dans la constitution des échantillons est appelé \emph{fluctuation d'échantillonnage}.

\subsection{intervalle de fluctuation}

On prélève un échantillon dans la population et on note $f$ la fréquence d'apparition du caractère observé dans cet échantillon.

\subsubsection{intervalle de fluctuation au seuil de 95\%}

\cadreB{
Un intervalle de fluctuation de la fréquence $f$ au seuil de 95\% relatif aux échantillons de taille $n$ est un intervalle $I$ tel que, pour au moins 95\% de l'ensemble des échantillons possibles, la fréquence observée appartient à $I$.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{propriété}}}

\medskip

\cadreR{
Pour une proportion $p$ comprise entre 0,2 et 0,8, et des échantillons de taille $n \geqslant 25$, l'intervalle $\left[ {p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}} ;  {p +\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ est un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence $f$ observée.
}

\subsubsection{prise de décision}

Selon la situation étudiée, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\% peut permettre :

\begin{itemize}
\item de décider si l'échantillon est représentatif de l'ensemble de la population ;
\item d'accepter ou pas l'hypothèse que la proportion d'individus présentant le caractère étudié est égale à $p$.
\end{itemize}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

En première partie de soirée une nouvelle série a attiré près de 5,7 millions de téléspectateurs soit 28\% de part d'audience.

Pour estimer le degré de satisfaction de cette série auprès du public, on réalise une enquête auprès de 300 personnes.  On constate que 96 personnes sur les 300 personnes interrogées ont regardé cette série.

Ce sondage remet-il en question la part d'audience de 28\% de cette série ?

\begin{enumerate}
\item La fréquence observée de la part d'audience de la série dans l'échantillon de taille 300 est :\[ f=  \dfrac{96}{300}=0,32\]
\item On a ici $p=0,28$ et $n=300$. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% de la part d'audience de la série dans les échantillons de taille 300 est :\[ I= \left[ {0,28 - \dfrac{1}{\sqrt{300}}} ;  {0,28 +\dfrac{1}{\sqrt{300}}}\right]\]
Soit avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, un intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% de la part d'audience de la série est $I=\left[ 0,22 ; 0,34 \right]$
\item Comme $f=0,32$ appartient à l'intervalle de fluctuation $I=\left[ 0,22 ; 0,34 \right]$, on accepte l'hypothèse selon laquelle la part d'audience de la série est de 28\%.
\end{enumerate}

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo
 
 \medskip
 
Pour les trois séries statistiques ci dessous, la médiane est égale à 10. Compléter le tableau ci-dessous par des données pour chacune des séries sachant que :

\begin{itemize}
\item La moyenne de la série 1 est égale à 10.
\item La moyenne de la série 2 est la plus petite possible.
\item La moyenne de la série 3 est la plus grande possible.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
indice $i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline
Série 1  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18 \\ \hline
Série 2  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18\\ \hline
Série 3  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Dans une entreprise, il y a 28 cadres et 92 ouvriers. Le salaire moyen des cadres est de \np{3450} \euro{} et celui des ouvriers est de \np{1320} \euro. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer le salaire moyen de l'ensemble des salariés de cette entreprise.
	\item  \begin{enumerate}
	\item Quel est le pourcentage d'augmentation du salaire moyen si on verse une prime de 35 \euro{} à chaque salarié ?
	\item On augmente le salaire de chaque cadre de 2 \% et celui de chaque ouvrier de 4 \%.
	
	Le salaire moyen dans l'entreprise a-t-il augmenté de 3\% ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo

\medskip

Un concours est organisé dans deux centres d'examens. Dans le premier centre, les garçons ont obtenu 13 de moyenne et les filles 12 de moyenne. Dans le second centre, les garçons ont obtenu 9 de moyenne et les filles 8 de moyenne.
 
Le président du jury en déduit que les garçons ont eu de meilleurs résultats que les filles Est-ce si sûr ? 

Sachant qu'il y avait 58 garçons et 104 filles dans le premier centre, et 87 garçons et 32 filles dans le second centre, calculer la moyenne générale des  garçons puis celle des filles. Conclure.

\bigskip
 
  \exo 

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Le tableau suivant donne la distribution des salaires mensuels nets, en euros, en France en 2015.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Déciles & D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9\\ \hline
Hommes & \np{1262} & \np{1427} & \np{1573} & \np{1728} & \np{1906} & \np{2130} & \np{2451} & \np{2996} & \np{3990}\\ \hline
Femmes & \np{1171} & \np{1288} & \np{1396} & \np{1512} & \np{1650} & \np{1830} & \np{2073} & \np{2432} & \np{3149}\\ \hline\hline
\textbf{\textsf{Ensemble}} & \np{1213} & \np{1357} & \np{1490} & \np{1630} & \np{1797} & \np{2004} & \np{2286} & \np{2752} & \np{3646}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize{Souce : Insee Première (\emph{octobre 2017)}}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner le salaire net médian des salariés hommes et des salariées femmes.

\item Calculer les variations en pourcentage des déciles des femmes par rapport à ceux des hommes 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Déciles & D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9\\ \hline
Hommes & \np{1262} & \np{1427} & \np{1573} & \np{1728} & \np{1906} & \np{2130} & \np{2451} & \np{2996} & \np{3990}\\ \hline
Femmes & \np{1171} & \np{1288} & \np{1396} & \np{1512} & \np{1650} & \np{1830} & \np{2073} & \np{2432} & \np{3149}\\ \hline
\textsf{\'Ecarts en \%} & $-7,2$ & \iffalse{$-9,7$}\fi & \iffalse{$-11,3$}\fi & \iffalse{$-12,5$}\fi & \iffalse{$-13,4$}\fi & \iffalse{$-14,1$}\fi & \iffalse{$-15,4$}\fi & \iffalse{$-18,8$}\fi & \iffalse{$-21,1$}\fi\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Recopier et compléter la phrase : 


\og Les écarts de salaire entre femmes par rapport aux hommes \ldots le long de l'échelle salariale : de $-7,2\%$ pour le 1\up{er} décile à \ldots pour le 9\up{e} décile.\fg
\end{enumerate}
\item Le montant en euros du premier quartile est de \np{1488} euros pour les salariés hommes et de \np{1332} euros pour les salariées femmes. Le troisième quartile est de  \np{2678} euros pour les hommes et de \np{2208} euros pour les femmes.

La distribution des salaires mensuels nets de l'ensemble des salariés est représentée ci-dessous (centiles C5 à C95). 

\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-2,-1)(21,10) 
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](-2,-1)(21,10)
\uput[r](-2,2){\footnotesize{\textsf{Ensemble}}} 
\uput[r](-2,5){\footnotesize{\textsf{Femmes}}} 
\uput[r](-2,8){\footnotesize{\textsf{Hommes}}}   
\psset{xunit=.02mm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1000]{-}(0,0)(5000,0)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm} 
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psline(1.213,0.75)(1.213,1.25) \psline(1.213,1)(1.423,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.423,0.5)(2.482,1.5)  \psline(2.482,1)(3.646,1) \psline(3.646,0.75)(3.646,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.797,0.61)(1.797,1.4)
\psdots[linecolor=prune,linewidth=.5pt](1.123,1)(4.652,1)
\uput[ul](1.2,1){\scriptsize{\textsf{\textbf{\np{1123}}}}} \uput[u](4.652,1){\scriptsize{\textsf{\textbf{\np{4652}}}}} 
%\psline(1.136,2.25)(1.136,2.75) \psline(1.136,2.5)(1.332,2.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.332,2)(2.208,3)  \psline(2.208,2.5)(3.149,2.5) \psline(3.149,2.25)(3.149,2.75)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.65,2.11)(1.65,2.9)
%\psline(1.262,3.75)(1.262,4.25) \psline(1.262,4)(1.488,4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.488,3.5)(2.678,4.5)  \psline(2.678,4)(3.99,4) \psline(3.99,3.75)(3.99,4.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.906,3.61)(1.906,4.4)
%\psline(d1,0.75)(d1,1.25) \psline(d1,1)(q1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](q1,0.5)(q3,1.5)  \psline(q3,1)(d9,1) \psline(d9,0.75)(d9,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](m,0.61)(m,1.4)% 
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation du nombre \np{4652}.
\item Sur le même graphique, représenter la distribution des salaires nets des hommes et des femmes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le montant en euros du salaire mensuel moyen net selon les catégories socioprofessionnelles en France en 2015.

\medskip

{\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{}&	 \multicolumn{2}{c|}{\textbf{\textsf{Hommes}}} &	\multicolumn{2}{c|}{\textbf{\textsf{Femmes}}} \\ \cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{}&	Salaires nets \par(en euros) &	Effectifs \par(en \%) &	Salaires nets \par(en euros) &	Effectifs \par(en \%)\\ \hline
Cadres & \np{4451} & 20,6 & \np{3561} & 15,6 \\ \hline
Professions intermédiaires & \np{2420} & 18,9 & \np{2081} &	20,8 \\ \hline
Employés & \np{1739} & 16,2 & \np{1591} & 50,8 \\ \hline
Ouvriers & \np{1765} & 	44,3 & \np{1483} & 	12,8\\ \hline
\multicolumn{5}{r}{\footnotesize{Souce : Insee Première (\emph{octobre 2017)}}}
\end{tabularx}}}

\begin{enumerate}\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire moyen des hommes et celui des femmes.
\item Recopier et compléter la phrase : 

\og En 2015, une salariée gagne, en moyenne  \ldots \% de moins qu'un salarié. \fg
\end{enumerate}
\item 58,5\% des salariés sont des hommes. 

De quel pourcentage, le salaire net médian de l'ensemble des salariés est-il inférieur au salaire net moyen ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate} 
 \item Compléter le tableau ci-dessous qui donne la distribution des salaires mensuels bruts des 100 salariés d'une entreprise.
 
\begin{center}
 \begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Salaires en euros & 1500 & 1600 & 1900 & 2400 & 2700 & 3200 & 5000\\ \hline
Effectifs & 30 & 25 & 15 & 12 & 8 & 6 & 4 \\ \hline
Fréquences &  &  &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  \item \begin{enumerate}
  \item Donner le montant du salaire mensuel brut médian.
  \item Calculer le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% des salariés les mieux rémunérés.
  \end{enumerate}
 \item  Calculer le montant du salaire mensuel brut moyen.	
   \end{enumerate}
 
 \bigskip

 \exo 

 \medskip 

Le tableau suivant donne le montant des salaires annuels exprimés en milliers d'euros d'une petite entreprise.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
		Salaires & 16 & 18 & 20 & 25 & 30 & 40\\ 		\hline	
		Nombre de salariés~ & 6 & 9 & 10 & 8 & 5 & 2\\ 		\hline					
		\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la  médiane, le premier et le troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire à l'aide d'un diagramme en boîte.
	\item Calculer le montant en euros du salaire moyen annuel de cette entreprise.
	\item Soit $S$  la fonction définie sur $\R$  par :\[S\left( x \right) = 6\times\left( {16 - x} \right)^2  + 9\times\left( {18 - x} \right)^2  + 10\times\left( {20 - x} \right)^2  + 8\times\left( {25 - x} \right)^2  + 5\times\left( {30 - x} \right)^2  + 2\times\left( {40 - x} \right)^2 \]
	\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $S(x) = 40x^2  - 1776x + 21152$
\item Déterminer le sens de variations de la fonction $S$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Une entreprise de produits alimentaires fabrique et distribue une marque de café dans des sachets de 250 grammes. On suppose que le
poids du sachet vide est négligeable.

La machine utilisée pour remplir les sachets est contrôlée selon la procédure suivante.

À chaque heure, un échantillon aléatoire de 30 sachets est prélevé dans la production ; on mesure la masse de chaque sachet et on calcule la masse moyenne $\overline{x}$ de l'échantillon. 

Un réglage de la machine est nécessaire si l'un des critères suivants n'est pas vérifié :
\begin{itemize}
\item les 30 sachets ont une masse supérieure ou égale à 244 grammes ;
\item 50\% au moins des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $[248 ; 252]$ ;
\item 95\% au moins des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $\left[245 ;  256\right]$.
\end{itemize}

Au cours de la production, l'échantillon suivant a été prélevé.
\begin{center} 
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
253 & 249 & 250 & 248 & 244 & 252 & 250 & 250 & 251 & 248\\
251 & 255 & 253 & 252 & 252 & 249 & 253 & 248 & 251 & 253\\
246 & 250 & 245 & 246 & 257 & 251 & 252 & 252 & 250 & 251\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Masse  & 244 & 245 & 246 & 247 & 248 & 249 & 250 & 251 & 252 & 253 & 254 & 255 & 256 & 257\\\hline
Effectif &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline					
		\end{tabularx}
\end{center}
\item Représenter la dispersion de cette série à l'aide d'un diagramme en boîte.
\item Faut-il effectuer un réglage de la  machine ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Chez un fabricant de lames de parquet en chêne rustique on indique :
\begin{itemize}
\item longueur moyenne des lames : 45 cm ;
\item lames de longueur inférieure à 35 cm : 23 \%.
\end{itemize}
On prélève un échantillon de 60 lames dans le stock, pour vérification. On constate que 18 lames ont une longueur inférieure à 35 cm. 

\begin{enumerate}
%\item Calculer la fréquence des lames dont la longueur est inférieure à 35 cm dans l'échantillon.
\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% de la fréquence des lames dont la longueur est inférieure à 35 cm dans les échantillons de taille 60.
\item L'affirmation \og 23\% des lames ont une longueur inférieure à 35 cm\fg{} est-elle remise en cause ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Le directeur commercial affirme que 80\,\% des consommateurs sont satisfaits de la qualité des produits commercialisés par son entreprise. 

On réalise une étude de satisfaction sur un échantillon de 120~personnes. Parmi les personnes interrogées, 90 déclarent être satisfaites des produits.

Déterminer, en justifiant, si l'on doit remettre en question l'affirmation du directeur commercial.

\bigskip

\exo

\medskip

Selon une publication de l'INSEE, 28\,\% des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

\begin{enumerate}
\item On interroge un échantillon de 100 ménages choisis au hasard, et on constate que dans cet échantillon 35 ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?


\item On interroge au hasard 300 ménages qui résident dans le même arrondissement d'une grande agglomération, et on constate également que 105 ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

\end{enumerate}
 
\end{document}
