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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 8 Octobre 2005}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 1}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\medskip

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.

On demande de cocher cette réponse.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip

$(C)$  est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $ ]- \infty ; 1 [$.

On sait que le point $A$ de coordonnées $(0;2)$ appartient à la courbe $(C)$.

Les droites d'équations respectives $y=-2$ et $x=1$ sont asymptotes à la courbe $(C)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-3)(2,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(2-2*x)/(x^2+1)-2/(x-1)-2}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-8,-3)(2,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-3)(2,7)
\uput[dl](2,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,7){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{.77}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-8,-2)(2,-2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,-3)(1,7)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.75,2)(.75,2)
\uput[dl](-7,-.75){\bleu{\footnotesize $(C)$}}
\psdot[linecolor=prune](0,2)
\uput[ul](0,2){\bleu{\footnotesize $A$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
$- \infty$ &  $-2$ & $1$
\end{tabularx}
\medskip
\item $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=$ 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
$+ \infty$ &  $-2$ &  $1$
\end{tabularx}
\medskip
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $ ]- \infty ; 1 [$

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
$f'(0)=2$ &  $f'(2)=0$ &  $f'(0)=0$
\end{tabularx}
\medskip
\item L'équation de la tangente à la courbe $(C)$ au point $A$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
$y=2$ &  $y=x$ &  $y=0$
\end{tabularx}
\medskip
\item Quelle est parmi les trois courbes ci-dessous, celle qui représente la fonction dérivée $f'$ de $f$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
{\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-7)(2,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(2*x-2)/(x^2+1)+2/(x-1)+2}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-7)(2,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-7)(2,2)
\uput[dl](2,0){\scriptsize{$x$}}
\uput[dl](0,2){\scriptsize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](1,0){\scriptsize{1}}
\uput[l](0,1){\scriptsize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{.77}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,-7)(1,2)
\end{pspicture}} &  {\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(2,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2/(x-1)^2+2*(x^2-2*x-1)/(x^2+1)^2}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-1)(2,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-1)(2,8)
\uput[dl](2,0){\scriptsize{$x$}}
\uput[dl](0,8){\scriptsize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](1,0){\scriptsize{1}}
\uput[l](0,1){\scriptsize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{.555}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,-1)(1,8)
\end{pspicture}} &  {\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(2,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2/(1-x)-2}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-2)(2,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-2)(2,7)
\uput[dl](2,0){\scriptsize{$x$}}
\uput[dl](0,7){\scriptsize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](1,0){\scriptsize{1}}
\uput[l](0,1){\scriptsize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{.777}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,-2)(1,7)
\end{pspicture}}
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-4)(10,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2*x/(x^2+1)-.5}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-10,-4)(10,3)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-2)(5,1.5)
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.75,-2)(.75,1)
\psdot[linecolor=prune](0,-.5)
\uput[dr](-5,-1){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\uput[dr](0,-.5){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}
La figure ci-dessus donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$, dans un repère orthonormé. On note $f'$ sa dérivée.

On sait que :

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ admet un minimum pour $x = - 1$ et un maximum pour $x = 1$.
\item La droite d'équation $y=-\dfrac{1}{2}$ est asymptote à la courbe au voisinage de $- \infty$ et de $+ \infty$.
\item Le point $A\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ et que la tangente en $A$ à la courbe passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
\end{itemize}   
 
À partir du graphique et des renseignements fournis :

\begin{enumerate}
    \item Déterminer, $\displaystyle \lim_{x\to - \infty}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to + \infty}f(x)$.
    \item Déterminer, les valeurs de $f'(-1)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.
    \item Déterminer une équation de la tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}$.
    \item Étudier le signe de la dérivée $f'$.
\end{enumerate}    

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 
    
Soit $f$ la fonction définie sur $]- 1 ; +\infty [$ par : $f(x)=\dfrac{x^2+x+4}{x+1}$.

On appelle $\mathcal{C}_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to -1^+}f(x)$, qu'en déduit-on pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

    \item Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$.

    \item Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote $\Delta$ d'équation $y = x$.
	
    Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\Delta$.

    \item Calculer la dérivée de la fonction $f$.

    \item Étudier les variations de $f$.

    \item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.

    \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $T$ et la droite $\Delta$ sur le même graphique. (\emph{unités graphiques $1 \mathrm{cm}$ sur chaque axe})
    \end{enumerate}  

\end{document}