contrôles en terminale ES

contrôle du 5 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 3

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle $[0; + \infty [$ par : $f (x) = x^{3} - 19 x^{2} + 130 x + 100$ .

La fonction f modélise sur l'intervalle $] 0; 16]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée Γ, est donnée ci-dessous.

Pour tout x dans l'intervalle $] 0; 16]$ , le quotient $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x}$ est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.

Pour x dans l'intervalle $] 0; 16]$ , soit A le point d'abscisse x de la représentation graphique (Γ) de la fonction f.
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x}$ .
Soit A un point de la courbe (Γ) d'abscisse x, les coordonnées du point A sont : $A (x; f (x))$ .
Par conséquent le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à : $\frac{f (x)}{x}$ .
Ainsi le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.

Par lecture graphique indiquer la valeur de x qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
Graphiquement le coût moyen de production est minimal pour un point A de la courbe (Γ) tel que le coefficient directeur de la droite (OA) soit le plus petit possible.
Il s'agit donc de trouver un point A de la courbe (Γ) tel que l'angle $\hat{x O A}$ soit le plus petit possible.
Sur le graphique la quantité de produit qui permet d'obtenir un coût moyen minimal est d'environ 10 kg ce qui correspond un coût total de 500 €.
Le coût moyen minimum est de 50 € par kg pour une production de 10 kilogrammes.

On note C ’ la dérivée de la fonction $x \to C_{M} (x)$ .

Calculer $C' (x)$ et vérifier que pour x dans l’intervalle $] 0; 16]$ : $C' (x) = \frac{(x - 10) (2 x^{2} + x + 10)}{x^{2}}$ .
Pour x dans l’intervalle $] 0; 16]$ : $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x} = \frac{x^{3} - 19 x^{2} + 130 x + 100}{x} = x^{2} - 19 x + 130 + \frac{100}{x}$
D'où $C' (x) = 2 x - 19 - \frac{100}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 100}{x^{2}}$
D'autre part $(x - 10) (2 x^{2} + x + 10) = 2 x^{3} + x^{2} + 10 x - 20 x^{2} - 10 x - 100 = 2 x^{3} - 19 x^{2} - 100$
Donc $C' (x) = \frac{(x - 10) (2 x^{2} + x + 10)}{x^{2}}$

Étudier les variations de la fonction $x \to C_{M} (x)$ sur $] 0; 16]$ .

Étude du signe de $2 x^{2} + x + 10$

$Δ = 1^{2} - 4 \times 2 \times 10 = - 79$

$Δ < 0$ alors l'expression $2 x^{2} + x + 10$ est de signe constant. Soit pour tout réel x, $2 x^{2} + x + 10 > 0$ .

À partir du signe de la dérivée de la fonction coût moyen nous pouvons établir les variations de la fonction coût moyen.

x	0		10		16
$C' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C_{M} (x)$			50		88,25

En déduire la valeur de x qui minimise le coût moyen.
Le tableau des variations de la fonction coût moyen nous permet d'établir que le coût moyen est minimal pour une production de 10 kg.
Le coût moyen minmal est $C_{M} (10) = \frac{f (10)}{10} = 10^{2} - 19 \times 10 + 130 + \frac{100}{10} = 50$
Pour une production de 10 kilogrammes, le coût moyen est minimum, il est de 50 € par kg.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.