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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 5 Novembre 2005}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE \no 2}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\medskip

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.

On demande de cocher cette réponse.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $ ] 2 ; + \infty [$ par $f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-2}$. 

Elle est représentée dans un repère orthonormal du plan par la courbe $\mathcal{C}_f$.


\begin{enumerate}
\item Une autre expression de $f$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box$ \quad $f(x)=-x+3-\dfrac{2}{x-2}$ & $\Box$ \quad  $f(x)=\dfrac{x^2-5x+10}{x-2}$ & $\Box$ \quad $f(x)=\dfrac{-x^2+5x-6}{x-2}$
\end{tabularx}
\medskip
\item Soit $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $ ] 2 ; + \infty [$. Une expression de $f'(x)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box$ \quad $f'(x)=-1-\dfrac{4}{(x-2)^2}$ & $\Box$ \quad $f(x)=\dfrac{x(4-x)}{(x-2)^2}$ & $\Box$ \quad $f(x)=\dfrac{x^2+4x+4}{(x-2)^2}$
\end{tabularx}
\medskip
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote la droite d'équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
$y=2$ &  $x=2$ &  $y=2x$
\end{tabularx}
\medskip
\item La droite d'équation $y=-x+3$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
asymptote à $\mathcal{C}_f$ &  située au-dessous de $\mathcal{C}_f$ &  tangente à $\mathcal{C}_f$
\end{tabularx}
\medskip
\item  L'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$ \quad}X}}
$y=-x+3$ &  $y=3x+3$ &  $y=3x+6$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{2*x^2*EXP(1.5-0.75*x)+1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(10,12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-1)(10,12)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,12){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](.5,0){\red{\scriptsize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,.5){\red{\scriptsize{$\vec{\jmath}$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.815}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,1)(10,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.9,9.626)(3.4,9.626)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.5,2)(3.5,12)
\psline[linewidth=.75pt, linestyle=dashed, linecolor=rouge](2.667,0)(2.667,9.626)
\psdot[linecolor=prune](2,9)
\uput[ul](10,1.5){\bleu{$\mathcal{C}_u$}}
\uput[ul](2,9){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[d](2.667,0){\rouge{\scriptsize{$\dfrac{8}{3}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

La courbe $\mathcal{C}_u$, ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$ dans un repère orthogonal du plan \Oij.

On sait que :

\begin{itemize}
\item La tangente à la courbe au point $A(2;9)$ passe par le point de coordonnées $(0;5)$.
\item La droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe au voisinage de $+ \infty$.
\item La fonction $u$ admet un minimum pour $x=0$.
\end{itemize}   
 
À partir du graphique et des renseignements fournis :

\begin{enumerate}
    \item Déterminer, $\displaystyle \lim_{x\to - \infty}u(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to + \infty}u(x)$.
    \item Déterminer, les valeurs de $u'(2)$ et $u'(0)$.
    \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$.
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle \lim_{x\to - \infty}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to + \infty}f(x)$.
    \item Donner les variations de la fonction $f$.
    \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, déterminer les valeurs de $f'(0)$ et $f'(2)$.
    \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $2$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}    

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0 ; +\infty [$ par : $f(x)=x^3-19x^2+130x+100$.

La fonction $f$ modélise sur l'intervalle $]0;16]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée $\Gamma$, est donnée ci-dessous. 
 
\begin{center}
\psset{xunit=.8cm, yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(17,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{x^3-19*x^2+130*x+100}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(17,16)
\psset{xunit=.8cm, yunit=.05mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=500]{->}(0,0)(-.5,-80)(17,1600)
\uput[dl](17,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1600){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{16}{\f}
\uput[ul](16,1400){\bleu{$\Gamma$}}
\end{pspicture}
\end{center}  
 
Pour tout $x$ dans l'intervalle $]0;16]$, le quotient $C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ est appelé coût moyen de production de $x$ kilogrammes de produit. 
\begin{enumerate}
    \item Pour $x$ dans l'intervalle $]0;16]$, soit $A$ le point d'abscisse $x$ de la représentation graphique $\Gamma$ de la \mbox{fonction $f$}.
    
Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen $C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x}$.

    \item L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production. 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique indiquer la valeur de $x$ qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.

    \item On note $C'$ la dérivée de la fonction $x \longmapsto C_M(x)$
	\begin{enumerate}
	\item Calculer $C'(x)$ et vérifier que pour $x$ dans dans l'intervalle $]0;16]$ : $C'(x)=\dfrac{\left(x-10\right)\left(2x^2+x+10\right)}{x^2}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $x \longmapsto C_M(x)$ sur $]0;16]$.
	\item En déduire la valeur de $x$ qui minimise le coût moyen.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

    \end{enumerate}  

\end{document}