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  \stepcounter{nexo} 
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Jeudi 24 Novembre 2005}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE \no 3}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 1 heure}}}
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\medskip

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.

On demande de cocher cette réponse.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip

On considère la série chronologique suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
$y_i$ & 14 & 18 & 21 & 25 & 30 & 33 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On suppose que la forme allongée du nuage permet d'envisager un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. On note $D$ cette droite d'équation $y=\dfrac{27}{7}x+b$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{10.5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\begin{enumerate}
\item  La droite $D$ passe par le point de coordonnées  : \end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $(6;33)$ 
\item[$\Box$] $(3,5 ; 23,5)$ 
\item[$\Box$] $(3,5 ; 23)$ 
\end{itemize}
\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1} \item La droite passant par les points $M_2 (2 ; 18)$  et $M_5 (5 ; 30)$ a pour équation $y=4x+10$ alors la somme $\displaystyle \sum_{i=1}^6 \left( y_i -4x_i -10\right)^2$ est :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$]supérieure à $\displaystyle \sum_{i=1}^6 \left( y_i -\dfrac{27}{7} x_i -b\right)^2$ \item[$\Box$] inférieure à $\displaystyle \sum_{i=1}^6 \left( y_i -\dfrac{27}{7} x_i -b\right)^2$ \item[$\Box$] égale à $\displaystyle \sum_{i=1}^6 \left( y_i -\dfrac{27}{7} x_i -b\right)^2$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2} \item Au rang $x = 14$ une estimation, de $y_{14}$ est :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$]$y=70$ \item[$\Box$] $y=64$ \item[$\Box$] $y=64$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3} \item La covariance $C_{xy}$ de cette série est :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$]$11,25$ \item[$\Box$] $67,5$ \item[$\Box$] $\sqrt{67,5}$
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}


\pagebreak

\exo 

\medskip

\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la calculatrice, n'est demandé.}
\end{center}

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages en produits informatiques de loisirs (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998 d'un pays P : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 1985 & 1990 & 1991 & 1992 & 1993 & 1994 & 1995 & 1996 & 1997 & 1998 \\ \hline
Rang $t_i$ de l'année & 0 & 5 & 3 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ \hline
Dépense $y_i$ & 196	& 301 & 318 & 332 & 349 & 361 & 376 & 389 & 400 & 407 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_i\left( t_i ; y_i \right)$ et le point moyen dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour un rang en abscisse, 1 cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.
\item \begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$ près}).

 Représenter $D$ dans le repère précédent.
 \item En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (\emph{arrondie à un million d'euros}) en 2005. 
\end{enumerate}
\item La forme du nuage présentant un ralentissement de la croissance permet d'envisager un ajustement à l'aide d'une parabole. On pose $x_i =\left( t_i -21\right)^2$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ & 0 & 5 & 3 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ \hline
$x_i$ & 441 &  &  &  &  &  &  &  &  & 64 \\ \hline
$y_i$ & 196	& 301 & 318 & 332 & 349 & 361 & 376 & 389 & 400 & 407 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Représenter le nuage de points $N_i\left( x_i ; y_i \right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour 50 en abscisse, 1 cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.
\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$ près}), la représenter dans le repère précédent.

En déduire une estimation $y$ en fonction de $t$.
\item En utilisant cet ajustement, donner une nouvelle estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (\emph{arrondie à un million d'euros}) en 2005.
\end{enumerate}
\item En 2005 les ménages ont dépensé 8,9 milliards d'euros pour leurs loisirs et 5\,\% de ces dépenses concernent les produits informatiques.

Avec lequel des deux ajustements l'estimation est-elle la meilleure ?
\end{enumerate}

\end{document}