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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 3 Décembre 2005}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE \no 4}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\medskip

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.

On demande de cocher cette réponse.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{10.5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\begin{enumerate}
\item  Si la fonction $F$ définie sur $] 0 ; + \infty[$ par $F(x) = x^3 +6x^2 +\dfrac{1}{2x^2} +3$ est une primitive de $f$ sur $] 0 ; + \infty[$ alors  : \end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $f(x) = 3x^2 + 12x -\dfrac{1}{x^3}$ 
\item[$\Box$] $f(x) = 3x^2 + 12x +\dfrac{1}{4x}$ 
\item[$\Box$] $f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 +2x^3 +3x -\dfrac{1}{2x}$ 
\end{itemize}
\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1} \item Si $f(x)=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}$, alors une primitive $F$ de $f$ sur $] 0 ; + \infty[$ est définie par :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $F(x)=\dfrac{3x\sqrt{x}}{2}$ \item[$\Box$] $F(x)=x\sqrt{x}+5$ \item[$\Box$] $F(x)=x\sqrt{x}+\dfrac{3}{2}x$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2} \item Si $f(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}$, alors une primitive $F$ de $f$ sur $] 0 ; + \infty[$ est définie par :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $F(x)=2x^2-\dfrac{1}{x^3}$ \item[$\Box$] $F(x)=x^2-\dfrac{1}{x}$ \item[$\Box$] $F(x)=\dfrac{x^3+x+1}{x}$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3} \item Si $f(x)=3x^2-2x+1$, alors la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ admet comme coefficient directeur :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] 1 \item[$\Box$] 2 \item[$\Box$] 4
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4} \item Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$. 

Alors la propriété suivante est vraie :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est dérivable sur $I$. \item[$\Box$] Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$. \item[$\Box$] Puisque $f$ est définie sur $I$, alors $f$ est dérivable sur $I$.
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans chaque cas, trouver la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= 3x^2 - x + 1$ et $F(0) = 1$.
\item $f$ est définie sur $] 0 ; + \infty[$ par $f(x)= 2x^3 -\dfrac{1}{x^2}$ et $F(1) = 0$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip

La parabole ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(6,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{(x+2)*(3-x)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-4)(6,3)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-20)(6,15)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,15){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.623}{5.623}{\f}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement $f(x) > 0$.
\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une courbe ne représente pas une primitive de la fonction $f$. Laquelle ? (\emph{justifier la réponse})

\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(6,5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{-x^3/3+x^2/2+6*x-5}
\rput(.5,4){\textsf{Figure 1}}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-4)(6,3)
\psset{xunit=.4cm,yunit=.8mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-20)(6,15)
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}}
\uput[dl](0,15){\scriptsize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.82}{5.87}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(6,6)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{-x^3/3+x^2/2+6*x+5}
\rput(.5,5){\textsf{Figure 2}}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-3)(6,4)
\psset{xunit=.4cm,yunit=.8mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-15)(6,20)
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}}
\uput[dl](0,20){\scriptsize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.578}{6}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(7,5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{-x^3/3+3*x^2/2+4*x-10}
\rput(1.5,4){\textsf{Figure 3}}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(7,3)
\psset{xunit=.4cm,yunit=.8mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-20)(7,15)
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}}
\uput[dl](0,15){\scriptsize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.81}{6.88}{\f}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur $ ] - \infty ; 2[ \cup ] 2 ; + \infty[$ par $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x-2}$ : où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On admet que $f$ est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition et on désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le tableau ci-dessous fournit des informations sur le signe de $f'(x)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,linewidth=.5pt}
\begin{pspicture}(0,0)(15,1.8)
\psframe(15,1.6) \psline(0,.8)(15,.8) \psline(2.5,0)(2.5,1.6)\psline(8.65,0)(8.65,.8)\psline(8.85,0)(8.85,.8)
\rput(1.25,1.2){$x$} \rput(3,1.2){$-\infty$} \rput(5.75,1.2){$0$} \rput(8.75,1.2){$2$}\rput(11.75,1.2){$4$}\rput(14.5,1.2){$+\infty$}
\rput (1.25,.4){Signe de $f'(x)$} \rput(4.25,.4){$+$} \rput(5.75,.4){$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}\rput(7.25,.4){$-$} \rput(10.25,.4){$-$} \rput(11.75,.4){$\underset{|}{\overset{|}{0}}$} \rput(13.25,.4){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait d'autre part que $f(0)= 0$, $f(4) = 2$, $\displaystyle \lim_{x\to - \infty}f(x)= - \infty$ et que  $\displaystyle \lim_{{\underset{x>2}{x\to 2}}}f(x)= + \infty$.

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
\item En vous aidant des informations fournies, montrer que l'on a : $a = \dfrac{1}{4}$, $b = \dfrac{1}{2}$, $c = 1$.
\item Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations.
\item Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet comme asymptote la droite $D$ d'équation $y = \dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}$, lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$.

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de son asymptote $D$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$. 
\end{enumerate}

\end{document}