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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 7 Janvier 2006}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE \no 4}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\medskip

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.

On demande de cocher cette réponse.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 


\bigskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{10.5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\begin{enumerate}
\item  La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point d'abscisse $\e$ :  \end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] passe par l'origine du repère.
\item[$\Box$] a pour coefficient directeur $1$. 
\item[$\Box$] a pour coefficient directeur $\e$. 
\end{itemize}
\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1} \item Si $f(x)=\dfrac{2x^2+5-1}{x}$, alors une primitive $F$ de $f$ sur $] 0 ; + \infty[$ est définie par :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $F(x)=\dfrac{\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{5x^2}{2}-x}{\dfrac{x^2}{2}}$ \item[$\Box$] $F(x)=x^2+5x+\ln x-1$ \item[$\Box$] $F(x)=x^2+5x-\ln x+1$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2} \item $x$ et $y$ sont des réels strictement positifs :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $\ln \left( x + y \right)=\ln x +\ln y$ \item[$\Box$]  $\ln (x) \ln(y)=\ln \left( x + y \right)$ \item[$\Box$] $\ln \left( x y \right)=\ln x +\ln y$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3} \item $x$ et $y$ sont des réels strictement positifs :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $\dfrac{\ln x}{\ln y}-\ln \left( x - y \right)$ \item[$\Box$] $\ln \left( \dfrac{x}{\sqrt{y}}\right) =\ln x - 0,5\ln y$ \item[$\Box$] $\ln \left( x^2 - y \right)=2\ln x - \ln y$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4} \item $\ln \left( 16 \e^2\right)-2\ln \left(8 \sqrt{\e}\right)$
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $1-2\ln 2$ \item[$\Box$] $16\ln \e - 16\ln \sqrt{\e}$ \item[$\Box$]  $1+\ln 2$
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}

\pagebreak


\exo

\medskip

Résoudre les inéquations suivantes où $x$ désigne un nombre réel.

\begin{enumerate}
\item $\ln (x) \leqslant 1$.
\item $\ln \left(\dfrac{1}{x} \right) > \ln 5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Dans chaque cas, calculer le plus petit entier naturel $n$ tel que :

\begin{enumerate}
\item $(1,25)^n \geqslant 60$.
\item $\left(\dfrac{19}{20} \right)^n \leqslant \dfrac{1}{4}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $I= ] 0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2\ln x}{x^2}$, dont le tableau de variations, incomplet est le suivant :
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm,linewidth=.75pt}
\begin{pspicture}(0,0)(11,3)
\psframe(11,3) \psline(0,1.4)(3.2,1.4) \psline(3.4,1.4)(11,1.4)\psline(0,2.2)(11,2.2)\psline(3,0)(3,3) \psline(3.2,0)(3.2,2.2)\psline(3.4,0)(3.4,2.2)  
\rput(1.5,2.6){$x$} \rput(3.3,2.6){$0$} \rput(7,2.6){$\sqrt{\e}$} \rput(10.5,2.6){$+\infty$}
\rput (1.5,1.8){Signe de $f'$}  \rput(7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}
\rput(1.5,0.7){Variations de $f$} \rput(3.8,0.5){$\cdots$}\rput(7,1.1){$\cdots$}\rput(10.5,.5){$\dfrac{1}{2}$}
\psline{->}(7.5,1.1)(10,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan \Oij.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{{\underset{x>0}{x\to 0}}}f(x)$.
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
\item Étudier le signe de la fonction dérivée $f'$ sur l'intervalle $I$.
\item Recopier et compléter le tableau des variations de $f$ sur $I$.
\item Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[ 0 ; \sqrt{\e} \right[$ et donner la valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\end{document}