contrôles en terminale ES

bac blanc du 14 mai 2006

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.

L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.

BARÈME :

Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

1) $\int_{1}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x =$ Déterminons une primitive F de la fonction f définie sur l'intervalle $[1; 2]$ par $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 2]$ posons $u (x) = x^{2} + 1$ , alors $u' (x) = 2 x$ Ainsi $f = \frac{1}{2} \times \frac{u'}{u}$ ( u > 0) alors une primitive de la fonction f est la fonction $F = \frac{1}{2} \ln u$ (Voir Primitive de $\frac{u'}{u}$ )u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et strictement positive sur cet intervalle. Alors, une primitive de la fonction $\frac{u'}{u}$ est la fonction : $x \mapsto \ln [u (x)]$ . Ainsi $\int_{1}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x = {[\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)]}_{1}^{2} = \frac{\ln 5 - \ln 2}{2}$ .	$\frac{\ln 2 - \ln 1}{2}$ $\frac{\ln 5 - \ln 2}{2}$ $\frac{\ln 2 - \ln 5}{2}$
2) $\int_{- 1}^{2} e^{1 - 2 x} d x =$ D'après la propriété de l'intégrale : f est une fonction contine sur un intervalle I, a et b sont deux réels quelconques de I, alors : $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$ $\int_{- 1}^{2} e^{1 - 2 x} d x = - \int_{2}^{- 1} e^{1 - 2 x} d x$	$- \int_{1}^{2} e^{1 - 2 x} d x$ $- \int_{2}^{- 1} e^{1 - 2 x} d x$ $- \int_{- 2}^{1} e^{1 - 2 x} d x$
3) L'égalité $\ln (x^{2} - 1) = \ln (x - 1) + \ln (x + 1)$ est vraie, La fonction $x : \to \ln (x^{2} - 1)$ est définie pour $x^{2} - 1 > 0$ c'est à dire pour $x \in] - \infty; - 1 [\cup] 1; + \infty [$ . La fonction $x : \to \ln (x - 1)$ est définie pour $x - 1 > 0$ c'est à dire pour $x \in] 1; + \infty [$ . La fonction $x : \to \ln (x + 1)$ est définie pour $x + 1 > 0$ c'est à dire pour $x \in] - 1; + \infty [$ . En outre pour $x \in] 1; + \infty [, \ln (x^{2} - 1) = \ln [(x - 1) (x + 1)] = \ln (x - 1) + \ln (x + 1)$	Pour tout x de $] - \infty; - 1 [\cup] 1; + \infty [$ Pour tout x de $ℝ - {- 1; 1}$ Pour tout x de $] 1; + \infty [$
4) Pour tout réel x, le nombre $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 2}$ est égal à : Pour tout réel x, $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 2} = \frac{e^{x} (1 - e^{- x})}{e^{x} (1 + 2 e^{- x})} = \frac{1 - e^{- x}}{1 + 2 e^{- x}}$	$- \frac{1}{2}$ $\frac{e^{- x} - 1}{e^{- x} + 2}$ $\frac{1 - e^{- x}}{1 + 2 e^{- x}}$
5) On pose $I = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{1}{e^{x} - 1} d x$ et $J = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} d x$ , alors le nombre $I - J$ est égal à: $I - J = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{1}{e^{x} - 1} d x - \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} d x$ Soit $I - J = \int_{\ln 2}^{\ln 3} (\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}) d x = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{1 - e^{x}}{e^{x} - 1} d x$ D'où $I - J = \int_{\ln 2}^{\ln 3} (- 1) d x = {[- x]}_{\ln 2}^{\ln 3} = - (\ln 3 - \ln 2) = \ln 2 - \ln 3 = \ln \frac{2}{3}$	$\ln \frac{2}{3}$ $\ln \frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$

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