\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 14 Mai 2006}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle \no 9}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 3 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires (C.A.), en millions d'euros, sur la période \mbox{1996-2002} d'une entreprise.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|m{2cm}|*7{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 1996 & 1997 & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 & 2002\\ \hline
Rang $x_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
C.A. $y_{i}$ & 164 & 182 & 200 & 221 & 246 & 270 & 300\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


Le nuage de points $M_i \left(x_{i} ; y_{i}\right)$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal ainsi que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés, d'équation $y=22,5x+158,64$ (\emph{coefficients arrondis à $10^{-2}$ près}). 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(8,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{(x+2)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,9)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=0,Oy=150,Dy=20]{->}(0,0)(8,180)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,180){\footnotesize{$y$}}
\psdots[linewidth=1pt,linecolor=bleu,dotscale=1.5,dotstyle=x](0, 14)(1,32)(2,50)(3,71)(4,96)(5,120)(6,150)
\uput[l](0,14){\scriptsize{\bleu{$M_0$}}}\uput[r](1,32){\scriptsize{\bleu{$M_1$}}}\uput[r](2,50){\scriptsize{\bleu{$M_2$}}}\uput[r](3,71){\scriptsize{\bleu{$M_3$}}}\uput[r](4,96){\scriptsize{\bleu{$M_4$}}}\uput[r](5,120){\scriptsize{\bleu{$M_5$}}}\uput[l](6,150){\scriptsize{\bleu{$M_6$}}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,8.64)(7,166.14)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item À l'aide de cet ajustement, déterminer le chiffre d'affaire que cette entreprise peut prévoir en 2005.
    \item L'ajustement affine ne semblant pas traduire l'évolution du chiffre d'affaire, on pose $z_i =\ln {y_i}$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer, en arrondissant à $10^{-2}$ près, pour $i$ variant de 0 à 6, les valeurs $z_i$ associées aux rangs $x_i$ du tableau.
	\item Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{coefficients arrondis à $10^{-3}$ près}).
	\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y= B \times \e^{ax}$. (Arrondir $B$ à l'entier près)
\end{enumerate}
	\item On admet que la fonction $f$ définie sur $[ 0 ; +\infty[$ par $f(x)= 164 \times \e^{0,1x}$ modélise l'évolution du chiffre d'affaires de cette entreprise.
	\begin{enumerate}
	\item Donner une nouvelle estimation, arrondie au million d'euros, du chiffre d'affaires en 2005.
	\item À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à 500 millions d'euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
    
\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip

Une usine fabrique des composants pour l'industrie électronique. On considère dans la suite de l'exercice que 5\,\% des pièces fabriquées sont défectueuses.

\begin{center}
\emph{Les résultats des différents calculs seront arrondis à $10^{-4}$ près.}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item On prélève au hasard un échantillon de 4 pièces, les prélèvements sont indépendants les uns des autres. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse ? 
\end{enumerate}

Chaque pièce est soumise à un contrôle automatisé de fabrication. 

La probabilité qu'une pièce défectueuse soit acceptée est égale à 0,01 et la probabilité qu'une pièce sans défaut soit rejetée est égale à 0,03.

On note $D$ l'évènement \og la pièce a un défaut \fg{}, $A$ l'évènement \og la pièce est acceptée \fg{} et $\overline{E}$ l'évènement contraire d'un évènement $E$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item Recopier et compléter l'arbre suivant :
	
\medskip
	
	\begin{center}
\psset{arrows=-,treesep=0.75cm,levelsep=3cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\pstree[linecolor=bleu,treemode=R]{\TR{}}{
\pstree{\TR{\bleu  $D$ }\taput{\bleu $0,05$}}{\TR{\bleu  $A$}\taput{\bleu $0,01$}\TR{\bleu  $\overline{A}$}}
\pstree{\TR{\bleu  $\overline{D}$ }}{\TR{\bleu  $A$}\TR{\bleu  $\overline{A}$}}
}
\end{center}
	
\medskip

\item Calculer les probabilités des événements suivants :
	\begin{enumerate}
	\item \og la pièce est rejetée et présente un défaut \fg{}.
	\item \og la pièce est refusée \fg{}.
	\end{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité qu'une pièce refusée ne présente pas de défaut ?  
\item Quelle est la probabilité qu'une pièce acceptée soit défectueuse ? 
\end{enumerate} 

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip	

Deux opérateurs de téléphonie ont l'exclusivité du marché d'un pays. On admet que d'une année sur l'autre le nombre d'abonnés au téléphone de ce pays est stable.

Une enquête statistique réalisée sur les années 2002 à 2005 a conduit au modèle suivant :

À partir de 2005 on prévoit que d'une année sur l'autre, la société A, conservera 85\,\% de sa clientèle et récupèrera 10\,\% des clients de la société concurrente, notée B.

En se basant sur ce modèle, pour tout entier naturel $n$, on note pour l'année $(2005 + n)$ :

\begin{itemize}
    \item $a_n$ la part de marché de la société A ;
    \item $b_n$ la part de marché de la société B.
\end{itemize}    
    
On a donc $b_{n} = 1-a_n$.

En 2005, la part de marché de la société A est égale à 60\,\%. On a donc $a_0 = 0,6$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la part de marché de la société A en 2006.
	\item Montrer que : pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,75 a_n + 0,1$.
	\item On pose pour tout entier naturel $n$, $u_n = a_n - 0,4$.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que la suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = 0,2 \times 0,75^n + 0,4$.
	\item Déterminer la limite de la suite $\left( a_n \right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et l'interpréter.
	\end{enumerate}
	\item On admet qu'en 2013, la part de marché de la société A est de 42\,\%. 
	
	On interroge quatre habitants ayant un téléphone choisis au hasard. 
	
	Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre soit client de la société A en 2013.
\end{enumerate}    
    
\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves} 

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.

L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.


\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.}

 \emph{Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 


\bigskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{10cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\begin{enumerate}
\item  $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{x}{x^2+1}\dd x =$ 
 \end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $\dfrac{\ln 2 -\ln 1}{2}$
\item[$\Box$] $\dfrac{\ln 5 -\ln 2}{2}$
\item[$\Box$] $\dfrac{\ln 2 -\ln 5}{2}$ 
\end{itemize}
\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1} \item $\displaystyle\int_{-1}^{2} \e^{1-2x}\dd x =$ 
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $-\displaystyle\int_{1}^{2} \e^{1-2x}\dd x$ \item[$\Box$]  $-\displaystyle\int_{2}^{-1} \e^{1-2x}\dd x$ \item[$\Box$]  $-\displaystyle\int_{-2}^{1} \e^{1-2x}\dd x$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2} \item L'égalité $\ln\left(x^2-1 \right) = \ln\left(x - 1\right) +\ln\left(x + 1\right)$ est vraie : 
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] Pour tout $x$ de $]-\infty ; -1 [ \cup ] 1 ; +\infty [$ \item[$\Box$]  Pour tout $x$ de $\R - \left\{ -1 ; 1 \right\}$ \item[$\Box$] Pour tout $x$ de $] 1 ; +\infty [$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3} \item Pour tout réel $x$, le nombre $\dfrac{\e^x -1}{\e^x + 2}$ est égal à :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $-\dfrac{1}{2}$ \item[$\Box$] $\dfrac{\e^{-x} -1}{\e^{-x} + 2}$ \item[$\Box$] $\dfrac{1-\e^{-x}}{1+ 2\e^{-x}}$
\end{itemize}\\ \hline
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4} \item On pose  $I=\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\dfrac{1}{\e^x -1}\dd x$ et $J=\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\dfrac{\e^x}{\e^x -1}\dd x$ 

alors, le nombre $I-J$ est égal à :
\end{enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\Box$] $\ln \dfrac{2}{3}$ \item[$\Box$] $\ln \dfrac{3}{2}$ \item[$\Box$] $\dfrac{3}{2}$
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}

    
\pagebreak

\exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves} 

\medskip

On a représenté ci-dessous dans un repère orthogonal, la courbe représentative $\Gamma$, d'une fonction $f$ définie sur $\R$. 

La courbe $\Gamma$ passe par le point $A \left( 0 ; \dfrac{1}{2} \right)$ et la tangente en $A$ à $\Gamma$ passe par le point de coordonnées $(2;1)$. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-5,-.2)(6,1.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{violet}{.49 .15 .78}
\def\f{1/(1+EXP(-x))}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu]{-1}{1}{\f} \gsave
\psline(1,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=1cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(6,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-.2)(6,1.2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2, 0)(2,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](-1, 0)(-1,.268)\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](1, 0)(1,.731)
\psdots[linecolor=prune,dotstyle=Bo,fillcolor=grisb](0,.5)
\uput[ul](0,.5){\footnotesize{\bleu $A$}}
 \uput[ul](6,1){\bleu $\Gamma$}
\end{pspicture}

\emph{unités graphiques : $1\;\mathrm{cm}$ sur l'axe des abscisses et $5\;\mathrm{cm}$ sur l'axe des ordonnées.}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée $f'$ de $f$ et une autre représente une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.


\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,8.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{violet}{.49 .15 .78}
\def\f{ln(EXP(x)+1)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,0)(4,7)
\psset{xunit=.6cm,yunit=3cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,0)(4,1.4)
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{1.116}{\f}
 \rput(0,1.6){\footnotesize{\textsf{Courbe 1}}}
\end{pspicture}\hfill \psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,8.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{violet}{.49 .15 .78}
\def\f{1/(1+EXP(x))}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,0)(4,7)
\psset{xunit=.6cm,yunit=3cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,0)(4,1.4)
\uput[l](0,0.5){\footnotesize{0,5}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{4}{\f}
 \rput(0,1.6){\footnotesize{\textsf{Courbe 2}}}
\end{pspicture}
\hfill \psset{unit=.6cm,comma}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,8.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.92 .91 .99}
\newrgbcolor{violet}{.49 .15 .78}
\def\f{EXP(x)/(1+EXP(x))^2}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,0)(4,7)
\psset{xunit=.6cm,yunit=6cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.5]{->}(0,0)(-4,0)(4,.7)
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{4}{\f}
 \rput(0,.8){\footnotesize{\textsf{Courbe 3}}}
\end{pspicture}

Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$. Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.

\item On suppose que pour tout réel $x$, $f(x)= \dfrac{1}{1+\e^{-x}}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$. Interpréter graphiquement ces résultats.
\item Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
\item Exprimer à l'aide d'une intégrale l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=1$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)= \dfrac{\e^x}{1+\e^{x}}$.
\item Calculer l'aire du domaine colorié, exprimée en $\mathrm{cm}^2$.
\end{enumerate}    
    \end{enumerate}
    
\end{document}