contrôles en terminale ES

contrôle du 30 septembre 2006

Corrigé de l'exercice 2

La courbe $(C_{u})$ , ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur $ℝ$ dans un repère orthonormé du plan, telle que $u (1) = 0$ .

À partir du graphique et des renseignements fournis :

Déterminer, $\lim_{x \to - \infty} u (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} u (x)$ .
Graphiquement :
$\lim_{x \to - \infty} u (x) = - \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} u (x) = 0$ .
Soit f la fonction définie sur $] - \infty; 1 [$ par $f (x) = \frac{1}{u (x)}$ .
Déterminer, en justifiant avec soin, $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ et $\lim_{\underset{x < 1}{x \to 1}} f (x)$ .
Posons pour tout réel $x < 1$ , $X = u (x)$ alors $f (x) = \frac{1}{X}$ . Sur l'intervalle $] - \infty; 1 [$ , f est la composée de la fonction u suivie de la fonction inverse.
- $\lim_{x \to - \infty} u (x) = - \infty$ et $\lim_{X \to - \infty} \frac{1}{X} = 0$ donc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$ .
- $\lim_{\underset{x < 1}{x \to 1}} u (x) = 0^{-}$ et $\lim_{X \to 0^{-}} \frac{1}{X} = - \infty$ donc $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ .

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