contrôles en terminale ES

contrôle du 30 septembre 2006

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur ]2;+[ par : f(x)=x2-x-2x2+x-6.

  1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
    Aide : Vérifier que(x-2)(x+1)=x2-x-2et que(x-2)(x+3)=x2+x-6.

    • Étude de la limite de f quand x tend vers 2.

      limx2(x2-x-2)=2 et limx2(x2+x-6)=2. Donc, en 2 f(x) présente une indétermination de la forme « 00 ».

      Pour lever cette indétermination utilisons l'aide :

      Soit en développant :(x-2)(x+1)=x2+x-2x-2=x2-x-2

      Soit en remarquant que le polynôme x2+x-6 dont le discrminant Δ=25, admet deux racines x1=-1-52=-3 et x2=-1+52=2

      D'où la factorisation : x2+x-6=(x-2)(x+3)

      Ainsi, pour tout réel x2 :x2-x-2x2+x-6=(x-2)(x+1)(x-2)(x+3)=x+1x+3

      Donc limx2f(x)=limx2x+1x+3=35.


    • Étude de la limite en +.

      limx+f(x)=limx+x2x2=1.


  2. Le cas échéant, déduire des résultats trouvés l'existence d'asymptote(s) à la courbe 𝒞f, sa courbe représentative dans un repère.

    D'après la question précédente ,

    limx+f(x)=1 alors, la droite d'équation y=1 est asymptote à la courbe 𝒞f en +.



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