contrôle du 30 septembre 2006

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^3+x^2+2x+1}{x^2-1}}$. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. Étudiez les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

   $\underset{x\to 1}{\lim }\left(-2x^3+x^2+2x+1\right)=2$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2-1\right)=0^{+}$ donc $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^3+x^2+2x+1}{x^2-1}}=+\infty$

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   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^3+x^2+2x+1}{x^2-1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^3}{x^2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }-2x=-\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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2. Déterminez les réels a,b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x^2-1}}$.

   $$\begin{array}{lll}ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x^2-1}}& =& {\displaystyle \frac{\left(ax+b\right)\left(x^2-1\right)+c}{x^2-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{a{x}^3+b{x}^2-ax-b+c}{x^2-1}}\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{a{x}^3+b{x}^2-ax-b+c}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{-2x^3+x^2+2x+1}{x^2-1}}$ pour a,b et c solutions du système : $$\{\begin{array}{rcr}a& =& -2\\ b& =& 1\\ c-b& =& 1\end{array}\iff \{\begin{array}{rcr}a& =& -2\\ b& =& 1\\ c& =& 2\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel $x>1$, $f\left(x\right)=-2x+1+{\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$.

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3. Soit D la droite d'équation $y=-2x+1$. Montrez que D est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

   $f\left(x\right)-\left(-2x+1\right)={\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$ or, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}=0$

   D'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(-2x+1\right)=0$ donc la droite D d'équation $y=-2x+1$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

   ---

4. La courbe ${𝒞}_f$ admet une deuxième asymptote. Quelle est son équation ?

   $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ alors, la droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$.

   ---

5. Voici le tableau de variation de la fonction f :

   1. Faites figurer les limites trouvées dans le tableau.

      x	1			$+\infty$
      $f\left(x\right)$		$+\infty$		– ∞

      ---

   2. Montrez que l'équation $f\left(x\right)=0$, admet une solution unique α, $\alpha \in [\mathrm{1,4};\mathrm{1,5}]$.

      $f\left(\mathrm{1,4}\right)={\displaystyle \frac{-2\times {\mathrm{1,4}}^3+{\mathrm{1,4}}^2+2\times \mathrm{1,4}+1}{{\mathrm{1,4}}^2-1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,272}}{\mathrm{0,96}}}={\displaystyle \frac{17}{60}}$

      $f\left(\mathrm{1,5}\right)={\displaystyle \frac{-2\times {\mathrm{1,5}}^3+{\mathrm{1,5}}^2+2\times \mathrm{1,5}+1}{{\mathrm{1,4}}^2-1}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,25}}}=-\mathrm{0,4}$

      f est une fonction continue et strictement décroissante sur $\left]1;+\infty \right[$ et $f\left(\mathrm{1,5}\right)<0<f\left(\mathrm{1,4}\right)$.

      Donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un réel unique $\alpha \in [\mathrm{1,4};\mathrm{1,5}]$ tel que $f\left(\alpha \right)=0$.

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   3. Donnez, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α à 10^-2 près.

      $f\left(\mathrm{1,437}\right)\approx \mathrm{0,004}$ et $f\left(\mathrm{1,438}\right)\approx -\mathrm{0,003}$

      La valeur arrondie de α à 10^-2 près est 1,44.

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