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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 30 Septembre 2006}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle \no 1}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip

La courbe ci-dessous est la courbe représentative notée $C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

Les droites $D$ et $\Delta$ sont les asymptotes à $C_f$ respectivement en $-\infty$ et en $+\infty$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-4)(10,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{3-.5*(sqrt(x^2+4*x+8)+x)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-4)(10,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-2)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{3.833}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-8, 4)(5,4)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-3,5)(4,-2)
\uput[ul](3.2,-2){\footnotesize{\bleu{$C_f$}}}
\uput[ur](-8,4){\footnotesize{\prune{$D$}}}
\uput[dl](-3,5){\footnotesize{\prune{$\Delta$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique et des renseignements fournis :

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la droite $\Delta$.
\item Quelles sont les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ ?
\item Quelle est la limite en $+\infty$ de $f(x)+x-2$ ?
\end{enumerate}
    
\bigskip

\exo

\medskip

La courbe $\left(C_u\right)$, ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $u$ définie sur $\R$ dans un repère orthonormé du plan, telle que $u(1)=0$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(10,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{(x-1)*EXP(1-x)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-8)(10,2)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(5,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.202}{5}{\f}
\uput[ul](5,.2){\footnotesize{\bleu{$C_u$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique et des renseignements fournis :

\begin{enumerate}
    \item Déterminer, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}u(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}u(x)$.
    \item Soit $f$ la fonction définie sur $] -\infty ; 1[$ par $f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$.

Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{{\underset{x<1}{x\to 1}}}f(x)$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip	

Soit $f$ la fonction définie sur $] 2 ; +\infty [$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-6}$.

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\emph{Aide : Vérifier que $(x-2)(x+1)=x^2-x-2$ et que $(x-2)(x+3)=x^2+x-6$.}
\item Le cas échéant, déduire des résultats trouvés l'existence d'asymptote(s) à la courbe $\mathcal{C}_f$, sa courbe représentative dans un repère.
\end{enumerate}
    
\bigskip

 \exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $] 1 ; +\infty [$ par : $f(x)=\dfrac{-2x^3+x^2+2x+1}{x^2-1}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.
\item Déterminez les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2-1}$.
\item Soit $D$ la droite d'équation $y=-2x+1$. Montrez que $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une deuxième asymptote. Quelle est son équation ?
\item Voici le tableau de variation de la fonction $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,linewidth=.5pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,1.7)(7,1.7) \psline(2,0)(2,2.5)
\rput(1,2.1){$x$} \rput(2.5,2.1){$1$} \rput(6.5,2.1){$+\infty$}
\rput (1,.85){ $f(x)$} \psline{->}(3,1.4)(6,.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faites figurer les limites trouvées dans le tableau.
\item Montrez que l'équation $f(x)=0$, admet une solution unique $\alpha$, $\alpha \in [ 1,4 ; 1,5]$.
\item Donnez, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie de  $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}    

\bigskip

 \exo

\medskip
    
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x -1$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$.
\item Dresser le tableau des variations de $f$. (\emph{Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs arrondies au dixième des extremums de $f$ obtenues à l'aide de la calculatrice.})
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=7$, admet une solution unique $\alpha$.
    
Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur de $\alpha$ arrondie au dixième.
\end{enumerate}

\end{document}