contrôles en terminale ES

contrôle du 21 octobre 2006

thèmes abordés

  • Lecture graphique.
  • Limite et dérivée d'une fonction composée.
  • Coût moyen et bénéfice : étude d'une fonction polynôme de degré 3.

exercice 1

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée 𝒞f d'une fonction f dérivable sur [0;+[ .
On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.
On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

    1. Déterminer limx+f(x)

    2. Déterminer f1 et f3 .

    3. Résoudre fx0.

  2. On considère la fonction g qui à x associe gx=1fx .

    1. Préciser l'intervalle de définition I de la fonction g

    2. Calculer limx0g(x) et limx+gx.

    3. Calculer g1 et g3 .

    4. Étudier les variations de la fonction g sur I.

  3. On considère la fonction h qui à tout réel x strictement positif associe hx=f1x .

    1. Calculer limx0h(x) et limx+hx . Que peut-on déduire pour la courbe représentative de la fonction h ?

    2. Calculer h13 .


exercice 2

Soit f la fonction définie sur par : f(x)=2x2+x+1 .

  1. Calculer limx-f(x) et limx+fx.

  2. Calculer fx .

  3. Étudier les variations de la fonction f.


exercice 3

Le coût total de fabrication d'un produit est donnée par Cq=q33-6q2+40q pour q[0;12]q représente le nombre de milliers d'unités fabriquées et Cq le coût de fabrication en centaines d'euros. La courbe (F) représentative de la fonction coût total est donnée en annexe ci-dessous.

  1. On rappelle que le coût unitaire moyen est donné par CMq=Cqq pour q0.

    1. Exprimer en fonction de q le coût unitaire moyen.

    2. Calculer le nombre q0 d'unités à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.

  2. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. On modélise ce coût marginal par Cmq=CqC est la dérivée de C.

    1. Exprimer en fonction de q le coût marginal.

    2. Vérifier que pour q0, le coût marginal est égal au coût moyen.

  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9. La tracer sur le graphique joint en annexe.

  4. On suppose que l'entreprise vend toute sa production. Pour q]0;12] le bénéfice en centaines d'euros, pour la production et la vente de q milliers d'unités est Bq=-q33+2q2+21q.

    1. Calculer le nombre d'unités à produire pour que l'entreprise soit rentable.

    2. Déterminer le nombre d'unités à fabriquer pour obtenir le bénéfice maximum. Que vaut ce bénéfice maximal ?

annexe

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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