contrôle du 21 octobre 2006

exercice 1

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée ${𝒞}_f$ d'une fonction f dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$ .
On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.
On sait que :

• L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ au voisinage de $+\infty$.
• La courbe ${𝒞}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point A.
• La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point B passe par le point de coordonnées $\left(\mathrm{5,5};\mathrm{0,5}\right)$ .

1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

   1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

   2. Déterminer $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(3\right)$ .

   3. Résoudre $f\prime \left(x\right)⩾0$.

2. On considère la fonction g qui à x associe $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ .

   1. Préciser l'intervalle de définition I de la fonction g

   2. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

   3. Calculer $g\prime \left(1\right)$ et $g\prime \left(3\right)$ .

   4. Étudier les variations de la fonction g sur I.

3. On considère la fonction h qui à tout réel x strictement positif associe $h\left(x\right)=f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ .

   1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }h\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)$ . Que peut-on déduire pour la courbe représentative de la fonction h ?

   2. Calculer $h\prime \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ .

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par : $f\left(x\right)=\sqrt{2x^2+x+1}$ .

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ .

3. Étudier les variations de la fonction f.

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exercice 3

Le coût total de fabrication d'un produit est donnée par $C\left(q\right)={\displaystyle \frac{q^3}{3}}-6q^2+40q$ pour $q\in \left[0;12\right]$ où q représente le nombre de milliers d'unités fabriquées et $C\left(q\right)$ le coût de fabrication en centaines d'euros. La courbe (F) représentative de la fonction coût total est donnée en annexe ci-dessous.

1. On rappelle que le coût unitaire moyen est donné par $C_M\left(q\right)={\displaystyle \frac{C\left(q\right)}{q}}$ pour $q\ne 0$.

   1. Exprimer en fonction de q le coût unitaire moyen.

   2. Calculer le nombre $q_0$ d'unités à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.

2. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. On modélise ce coût marginal par $C_m\left(q\right)=C\prime \left(q\right)$ où $C\prime$ est la dérivée de C.

   1. Exprimer en fonction de q le coût marginal.

   2. Vérifier que pour $q_0$, le coût marginal est égal au coût moyen.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9. La tracer sur le graphique joint en annexe.

4. On suppose que l'entreprise vend toute sa production. Pour $q\in \left]0;12\right]$ le bénéfice en centaines d'euros, pour la production et la vente de q milliers d'unités est $B\left(q\right)=-{\displaystyle \frac{q^3}{3}}+2q^2+21q$.

   1. Calculer le nombre d'unités à produire pour que l'entreprise soit rentable.

   2. Déterminer le nombre d'unités à fabriquer pour obtenir le bénéfice maximum. Que vaut ce bénéfice maximal ?

annexe

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