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\DecimalMathComma

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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 21 Octobre 2006}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle \no 2}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $[ 0 ; +\infty [$.

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On sait que :
\begin{itemize}
\item L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $A$.
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ passe par le point de coordonnées $( 5,5 ; 0,5)$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.82 .81 .89}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{5*x/(x^2+1)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(12,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.25, 2.5)(1.75,2.5)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,2.3)(5,.7)
\psdots[linecolor=prune,dotstyle=Bo,fillcolor=grisb](1,2.5)(3,1.5)
\uput[ul](6,1){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](1,2.5){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[u](3,1.5){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\end{pspicture}
\end{center}    
    
\begin{enumerate}
\item À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$.
	\item Déterminer $f'(1)$ et $f'(3)$.
	\item Résoudre $f'(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ qui à $x$ associe $g(x)= \dfrac{1}{f(x)}$.
\begin{enumerate}
	\item Préciser l'intervalle de définition $I$ de la fonction $g$.
	\item Calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x)$.
	\item Calculer $g'(1)$ et $g'(3)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $I$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $h$ qui à tout réel $x$ strictement positif associe $h(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0}h(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}h(x)$. Que peut-on déduire pour la courbe représentative de la fonction $h$ ?
	\item Calculer $h'\left(\dfrac{1}{3}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}    

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \sqrt{2x^2 + x + 1}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$.
\item Calculer $f'(x)$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip	

Le coût total de fabrication d'un produit est donnée par $C(q) = \dfrac{q^3}{3} -6q^2 + 40q$ pour $q \in [0 ; 12]$ où $q$ représente le nombre de milliers d'unités fabriquées et $C(q)$ le coût de fabrication en centaines d'euros. 

La courbe $(F)$ représentative de la fonction coût total est donnée en annexe ci-dessous.

\begin{enumerate}
    \item On rappelle que le coût unitaire moyen est donné par $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ pour $q \ne 0$.
    \begin{enumerate}
    \item Exprimer en fonction de $q$ le coût unitaire moyen.
	\item Calculer le nombre $q_0$ d'unités à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.
    \end{enumerate}
    \item On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. On modélise ce coût marginal par $C_m(q) =C'(q)$ où $C'$ est la dérivée de $C$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $q$ le coût marginal.
\item Vérifier que pour $q_0$, le coût marginal est égal au coût moyen.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $(F)$ au point $A$ d'abscisse 9. La tracer sur le graphique joint en annexe.
\item On suppose que l'entreprise vend toute sa production. Pour $q \in ]0 ; 12]$ le bénéfice en centaines d'euros, pour la production et la vente de $q$ milliers d'unités est $B(q) = -\dfrac{q^3}{3} + 2q^2 + 21q$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'unités à produire pour que l'entreprise soit rentable.
\item Déterminer le nombre d'unités à fabriquer pour obtenir le bénéfice maximum. Que vaut ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}   

\bigskip
 
\begin{center}
{\textsf{\footnotesize{ANNEXE}}}

\bigskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(26,18)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.82 .81 .89}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{x^3/3-6*x^2+40*x}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(26,18)
\psset{xunit=1cm,yunit=.4mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=25]{->}(0,0)(-.99,-24)(13,225)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](13,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,225){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
\uput[dr](12,200){\footnotesize{\bleu{$(F)$}}}
\end{pspicture}
\end{center} 

\end{document}