\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 9 Décembre 2006}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle \no 4}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ :

$a= \ln \sqrt{18}$ \hfill $b = \ln 72 -\ln 9$ \hfill $c = \ln \left( \sqrt{7} -1 \right) +  \ln \left( \sqrt{7} +1 \right)$

\item Écrire les expressions proposées sous la forme $\ln A$.

$a= \ln 0,1 + \ln 0,01 + \ln \np{10000} $ \hfill $b = 2\ln 5 - 3\ln 2 + \ln \dfrac{1}{10}$ \hfill $c = \ln \dfrac{7}{2} +  \ln \dfrac{2}{5} +  \ln \dfrac{5}{4}$
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans chaque cas, trouver une primitive $F$ de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 3x + \dfrac{1}{x^2}$.
\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2x - 1}{\sqrt{x^2  - x + 5}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$, qui vérifie la condition donnée :

$f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = x - \dfrac{1}{2}$ et $F(-2) = 2$.

\bigskip

\exo

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

\begin{enumerate}
\item Le nombre 3 est solution de l'équation $\ln \left( x - 3 \right) = 0$.
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; 1 [$, $2\ln x - \ln \left( 1 - x \right) = \ln \dfrac{2x}{1 - x}$.
\item La primitive de la fonction $f \colon x \longmapsto \dfrac{-1}{\left( x - 1 \right)^2}$ sur $] -\infty ; 1 [$, qui prend la valeur 0 en 0, est donnée par $F(x) = \dfrac{x}{x-1}$.
\end{enumerate}
   
\bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet Bac ES Nouvelle Calédonie Novembre 2006})

\medskip

La société MERCURE vend des machines agricoles. Suite à une restructuration en 1998 elle a pu relancer sa production et ses bénéfices annuels ont évolué comme indiqué dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année					&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	& 2004\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$		&	0 	&1		&2 		&	3	&	4 	&	5\\ \hline
Bénéfice en k\euro{}: $y_{i}$	&	64	& 75		&	100	&	113	&	125 	&127\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.

Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
		\item Donner les coordonnées du point moyen $G$ du nuage (arrondir au dixième). Placer le point $G$ dans le repère.
	\end{enumerate}
\item En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice $y$ comme une fonction affine du rang $x$ de l'année.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite d'ajustement $(D)$ obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
		\item Tracer cette droite $(D)$ dans le repère.
		\item Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation ?
	\end{enumerate}
\item En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par $y = f(x)$ avec \[f(x)= -2x^2 + 23x +  63\]
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
		\item  Tracer la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans le repère de la question 1.
		\item  Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième modèle d'ajustement ?
	\end{enumerate}
\item En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de 0,9\,\%  par rapport à celui de 2004. 

Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet Bac ES Nouvelle Calédonie Novembre 2004})

\medskip	

Soit l'équation (E) : $\dfrac{1}{x} = x - 2$ où l'inconnue est un réel de l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

\begin{enumerate} 
\item Un élève a représenté sur sa calculatrice l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{1}{x}$ et la droite d'équation $y = x-2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.82 .81 .89}
\newrgbcolor{rouge}{.72 0.13 0.13}
\def\f{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-5,-4)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-4pt 4pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{-.25}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.25}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,-4)(5,3)
\end{pspicture}
\end{center}



Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l'écran de sa calculatrice, combien l'équation (E)  semble-t-elle admettre de solutions sur $]0 ; +\infty[$ ?

\item Un second élève considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par \[g(x) =  x - 2 - \dfrac{1}{x}\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les limites de $g$ aux bornes de l'ensemble de définition.
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. 
		
		Calculer $g'(x)$. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $] 0 ; + \infty[$.
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation (E) et en donner, à  l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Un troisième élève dit : \og Je peux résoudre l'équation (E)  algébriquement \fg{}. 

Justifier, en résolvant l'équation (E), que ce troisième élève a raison.
\end{enumerate}

\end{document}