bac blanc du 15 février 2007

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre choix.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point; une mauvaise réponse retire 0,25 point; l'absence de réponse donne 0 point.

I. Étude graphique

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f sur $ℝ$

   a. $f\prime \left(0\right)=1$

   b. $f\prime \left(0\right)=\mathrm{e}$

   c. $f\prime \left(0\right)=\mathrm{e}-1$

   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ en A est égal à 1.

   Donc $f\prime \left(0\right)=1$

   ---

2. On note F la primitive de la fonction f sur $ℝ$ telle que $F\left(-1\right)=0$.

   a. $F\left(-2\right)<0$

   b. F est croissante sur $\left]-1;+\infty \right[$

   c. $F\prime \left(0\right)=\mathrm{e}-1$

   Dire que F est une primitive de f sur $ℝ$ signifie, que pour tout réel x$F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Or la tangente à la courbe $C_f$ en A a pour équation $y=x+{e}-1$ d'où $f\left(0\right)=\mathrm{e}-1$

   Donc $F\prime \left(0\right)=\mathrm{e}-1$

   ---

3. On pose $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$.

   a. $g\left(2\right)<0$

   b. g a les mêmes variations que f sur $ℝ$

   c. $g\prime \left(0\right)=\ln \left(\mathrm{e}-1\right)$

   $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$ alors la fonction g est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive. g est donc définie sur $\left]-1;+\infty \right[$.

   $g\left(2\right)=\ln \left(f\left(2\right)\right)$ et d'après la représentation graphique, $0<f\left(2\right)<1$ d'où :
   la fonction ln étant strictement croissante, $\ln \left(f\left(2\right)\right)<\ln 1$

   Donc $g\left(2\right)<0$

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II. probabilités

4. Les événements S et A

   a. sont équiprobables

   b. sont incompatibles

   c. sont indépendants

   $$p\left(S\cap A\right)=0$$

   Donc les événements S et A sont incompatibles.

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5. Les événements T et M

   a. sont équiprobables

   b. sont incompatibles

   c. ne sont pas indépendants

   $$\begin{array}{lll}p\left(T\cap M\right)& =& p_M\left(T\right)\times p\left(M\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times p\left(M\right)\end{array}$$

   Or $p\left(T\right)={\displaystyle \frac{1-p\left(S\right)}{5}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$. Donc $p\left(T\cap M\right)\ne p\left(T\right)\times p\left(M\right)$

   Les événements T et M ne sont pas indépendants.

   ---

6. La probabilité de l'évènement M est

   a. $p\left(M\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b. $p\left(M\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}$

   c. $p\left(M\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

   Les numéros 1, 3 et 5 sont impairs et ont chacun la même probabilité de sortir alors $p\left(M\right)=3\times {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$

   $p\left(M\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}$.

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