contrôles en terminale ES

bac blanc du 15 février 2007

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du SMIC horaire brut en euros de 2000 à 2006.

Année2000200120022003200420052006
Rang de l'année xi0123456
SMIC horaire en euros yi6,416,676,837,197,618,038,27
(Source : INSEE)
  1. Calculer le pourcentage d'évolution du SMIC horaire entre les années 2000 et 2006 (le résultat sera arrondi au centième).

    Le pourcentage d'évolution du SMIC entre les années 2000 et 2006 est :8,27-6,416,41×10029,017

    Entre les années 2000 et 2006 le SMIC a augmenté de 29,02% (taux arrondi au centième).


  2. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi) dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et 5 cm pour 1 euro sur l'axe des ordonnées ; les graduations commencent à 0 sur l'axe des abscisses et à 6 sur l'axe des ordonnées).
    Calculer les coordonnées du point moyen G de la série (xi;yi), et le placer sur le graphique.

    Nuage de points, point moyen : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Les coordonnées du point moyen G de la série (xi;yi) sont : xG=0+1+2+3+4+5+67=3etyG=6,41+6,67+6,83+7,19+7,61+8,03+8,2777,29

    Le point moyen G de la série (xi;yi) a pour coordonnées G(3;51,017).


  3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés et les résultats seront arrondis au millième.
    Le nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié.

    1. Donner une équation de la droite de régression D de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.

      Une équation de la droite de régression D de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à la calculatrice est : y=0,324x+6,314 (coefficients arrondis au millième)


    2. Représenter la droite D dans le repère précédent.

      La droite D passe par les points de coordonnées (0;6,314) et (6;8,258).

      Nuage de points, ajustement affine : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  4. Calculer, avec cet ajustement affine, le montant du SMIC horaire en euros que l'on peut prévoir en 2010 (résultat arrondi au centième)

    Le rang de l'année 2010 est 10, d'où un montant horaire prévisible de :0,324×10+6,314=9,554

    Le montant du SMIC horaire que l'on peut prévoir en 2010 est de 9,55 € (résultat arrondi au centième)


  5. On envisage un autre modèle pour prévoir l'évolution du montant du SMIC horaire. On suppose qu'à partir de l'année 2007, le SMIC horaire progressera de 3,7 % par an. On désigne par un le montant du SMIC horaire, en euros, de l'année (2006+n). On a donc u0=8,27.

    1. Calculer le montant du SMIC horaire en 2010 (résultat arrondi au centième).

      Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation annuelle de 3,7 % est 1,037. Le rang de l'année 2010 est 4. Par conséquent, u4=8,27×1,03749,564

      Le montant du SMIC horaire que l'on peut prévoir en 2010 avec ce nouveau modèle est de 9,56 € (résultat arrondi au centième)


    2. À partir de quelle année le SMIC horaire aura-t-il dépassé 15 euros ?

      Le SMIC horaire aura dépassé 15 euros pour le plus petit entier n tel que 8,27×1,037n15ln(8,27×1,037n)ln15La fonction ln est strictement croissanteln8,27+ln(1,037n)ln15 Pour tous réels  a et b strictement poistifs, ln(ab)=lna+lnbln(1,037n)ln15-ln8,27nln1,037ln15-ln8,27 Pour tout réel  a>0lnan=nlnanln15-ln8,27ln1,037

      Or ln15-ln8,27ln1,03716,388. Donc le plus petit entier n tel que un15 est 17.

      Avec ce modèle, le SMIC horaire dépassera 15 € en 2023.



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