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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
  
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Mercredi 04 Avril 2007}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 8}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\begin{center}
\textbf{\textsc{\sffamily{partie a}}}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Étudier le signe du polynôme   $P\left(X\right)=-8X^2+2X+1$ où $X$ est un réel.
	\item Soit $g$  la fonction définie sur $\R$  par : $g\left(x\right)=-8\e^{x}+\e^{-x}+2$	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $g\left(x\right)=\dfrac{-8\e^{2x}+2\e^{x}+1}{\e^{x}}$
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $-8\e^{2x}+2\e^{x}+1=0$, en déduire les solutions de l'équation $g\left(x\right)=0$.
	\item Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{\textsc{\sffamily{partie b}}}
\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par : $f\left(x\right)=\dfrac{8-\e^{-x}}{\e^{x}+1}$. Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-4)(5.2,5)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,gridlabels=0](-3,-4)(5,5)
\psaxes[Dx=8,Dy=9,linewidth=.75pt]{->}(0,0)(-3,-4)(5.1,5)
\rput(5,-0.2){\footnotesize{$x$}}
\rput(-0.2,4.8){\footnotesize{$y$}}
\rput(-0.3,-0.3){\textsf 0}
\psline[linewidth=.25pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(.98,-.3){\textsf 1}
\psline[linewidth=.25pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.3,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 0.3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3}{5}{(8-Euler^(-x))/(Euler^x+1)}
\uput[u](-2.8,-4){\bleu{\small $\mathcal{C}_{f}$}}
\rput(-2.25,0.2){\prune {\footnotesize{$A$}}}
\rput(0.25,3.7){\prune {\footnotesize{$B$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$ intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec les axes du repère.
	\item Étudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\item Calculer $f'\left(x\right)$ , où $f'$  est la dérivée de $f$.
	\item	Étudier les variations de $f$ sur  $\R$. \hspace{1cm}({\textit{Aide : }}{\footnotesize{$f'\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{\left(\e^{x}+1\right)^{2}}$}})
	
	\item Donner les équations des tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$  aux points d'abscisses $-3\ln2$ et $0$.
\end{enumerate}


\bigskip

\exo 

\medskip
 
Les membres d'un club se présentent à l'accueil soit pour jouer au golf soit pour  profiter de la piscine. Trois membres se présentent successivement et indépendamment les uns des autres. On suppose que, pour chacun des trois, la probabilité qu'il joue au golf est 0,8.
 
On s'intéresse au nombre de golfeurs parmi ces trois personnes :
\begin{enumerate}
	\item En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité $p_2$ que deux membres exactement jouent au golf.
	\item Établir la loi de probabilité associée à cette situation.
	\item Déterminer l'espérance mathématique de cette loi.
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins un des trois membres ne joue pas au golf.
\end{enumerate}

\end{document}
