\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 12 Mai 2007}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 9}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 3 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%


\begin{document}

\exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}


Soit une fonction $f$ définie sur $\R$ et dérivable sur $\R$ . On donne son tableau de variations

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture*}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$} \rput(6,2.6){$-1$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$f(x)$} \rput(2,.4){\rnode{A}{$- \infty$}} \rput(6,1.8){\rnode{B}{$3$}} \rput(10,.4){\rnode{C}{$0$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture*}
\end{center}

La courbe $(C)$ donnée ci-après représente la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan. 

Cette courbe passe par les points $A(-3 ; 1)$ et $B(-1 ; 3)$. 

Les droites $(D)$ et $(D')$ sont les tangentes à la courbe respectivement en $A$ et en $B$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-5.5)(9,4.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(1.5*x+4.5)*Euler^(-.5*x-.5)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-6,-5)(9,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-6,-5)(9,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](8.7,0){$x$} \uput[l](-0.1,3.8){$y$}

\psline[linecolor=prune, linewidth=1pt](-6,3)(9,3)
\psline[linecolor=prune, linewidth=1pt](-6,-5)(-1.5,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{-1}{2.5-x-.5*x^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1}{9}{\f}
\uput[ul](-3,1){\textsf A} \uput[u](-1,3){\textsf B} 
\uput[l](-4.7,-2.5){\prune $(D)$} \uput[l](-4.5,3.2){\prune $(D')$} \uput[r](-4.75,-4){\bleu $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement $f'(-3)$ et $f'(-1)$.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \e^{f(x)}$.\\
On admet que $g$ est dérivable sur $\R$. 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que $f$ et $g$ ont les mêmes variations. 
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$ (on justifiera les résultats). 
\item  Calculer $g'(-3)$.
\end{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-3,1 ; + \infty \right[$  par $h(x) = \ln \left[f(x)\right]$.\\
On admet que $h$ est dérivable sur l'intervalle $\left]-3,1;+ \infty \right[$. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x)$ (on justifiera le résultat). 
\item   Calculer $h'(-3)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak 

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}



Un fournisseur d'accès à Internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour l'année 2005, il établit un relevé du nombre des abonnés des années 2000 à 2004.

Il affecte l'indice 100 à l'année 2000 pour établir la statistique des abonnés et consigne les données dans le tableau et le graphique ci-dessous :\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
Ann\'ee & 2000&2001&2002&20003&2004\\ \hline
Rang $x_{i}$&1&2&3&4&5\\ \hline
Indice $y_{i}$ &100&112&130&160&200\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(1,100)(6,250)
\psaxes[Ox=1,Oy=100,Dx=1,Dy=50,xticksize=-2 2,yticksize=-0.05 0.05](1,100)(6,250)
\multido{\n=1+0.5}{11}{\psline[linestyle=dotted](\n,100)(\n,250)}
\multido{\n=100+12.5}{13}{\psline[linestyle=dotted](1,\n)(6,\n)}
\qdisk(1,100){2pt} \qdisk(2,112){2pt} \qdisk(3,130){2pt} 
\qdisk(4,160){2pt} \qdisk(5,200){2pt} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}\item  Le nombre d'abonnés était de 2040 pour l'année 2000, de combien est-il pour l'année 2004 ?

\item Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004 ?

\item Quelle est l'équation  de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ?

\item Quelles prévisions du nombre d'abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010 ?

\textsl{On arrondira à l'entier le plus proche.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}\\
Le fournisseur décide d'utiliser un changement de variable pour obtenir un autre ajustement, il crée un nouveau tableau en posant $Y = \ln (y)$.

\begin{enumerate}\item Recopier et compléter le tableau. \textsl{On donnera des valeurs approchées à} $10^{-2}$.

\begin{center}\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
$x_{i}$&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~\\ \hline
$Y_{i} = \ln y_{i}$& & & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Dans le plan muni d'un repère, construire le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$ et la droite de régression de $Y$ en $x$ donnée par l'équation  $Y = 0,17x + 4,39$.

\item Exprimer le nombre d'abonnés $n_{i}$ en fonction du rang $x_{i}$ de l'année.

\item En déduire une nouvelle prévision du nombre d'abonnés pour les années 2005 et 2010.

\end{enumerate}

\pagebreak
\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

On considère la suite numérique $\left(u_n \right)$ définie par  : $u_0=2$  et $u_{n+1}=0,4u_n+4,8$  pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = 0,4x+4,8$ tracées ci-dessous, pour construire les quatre premiers termes de la suite  $\left(u_n \right)$.
 
Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $\left(u_n \right)$ ?
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(16.5,11)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(16.5,11)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.075 0.075,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(11,11)
\uput[d](10.9,0){$x$} \uput[l](-0.05,10.8){$y$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,0)(11,11)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,4.8)(11,9.2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\item Soit la suite $\left(v_n \right)$ définie, pour tout entier naturel $n$  par  $v_n=u_n-8$. 

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la suite  $\left(v_n \right)$ est une suite géométrique de raison 0,4.
		\item Exprimer alors $v_n$, en fonction de $n$. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
			\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n \right)$.
\end{enumerate}
	
\item Une revue spécialisée est diffusée à 12 000 exemplaires soit par abonnement soit par vente en librairie. Au l\textsuperscript{er} janvier 2007, 2 000 personnes sont abonnées à cette revue. Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 80\% des abonnés renouvellent leur abonnement et 40\% des acheteurs non abonnés de la revue souscrivent un abonnement.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à la revue, exprimé en milliers, $n$ années après le l\textsuperscript{er} janvier 2007. On a donc $u_0 = 2$.
 
On suppose que le nombre d'abonnés à la revue évolue de la même façon les années suivantes.
\begin{enumerate}
	\item À partir de quelle année le nombre d'abonnés sera supérieur à 7 900.
		\item Est-il possible pour la direction de la revue d'envisager un nombre d'abonnés supérieur à 8 000 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut $D_A$ et le défaut $D_B$, à l'exclusion de tout autre défaut.
\begin{enumerate}
\item  On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28\%
 ont le défaut $D_A$, 37\% ont le défaut $D_B$ et 10\%
 ont les deux défauts.\\
  On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?\\
\item  \textbf{Dans la suite du problème on s'intéresse aux pièces défectueuses qui n'ont qu'un seul défaut.}\\
On admet que 40\% de ces pièces ont seulement le défaut $D_A$, et que 60\%
   de ces pièces ont seulement le défaut $D_B$. 
   
   On a constaté que 40\% des pièces qui ont le défaut $D_A$ sont réparables, et que 30\% des pièces qui ont le défaut $D_B$ sont réparables.\\
On choisit une pièce au hasard.\\
On note : \\
A l'évènement : \og La pièce a le défaut $D_A$ \fg,\\
B l'évènement : \og La pièce a le défaut $D_B$ \fg,\\
R  l'évènement : \og La pièce est réparable \fg.\\
\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item  Calculer la probabilité de l'évènement :
\og La pièce choisie a le défaut $D_A$ et est réparable \fg.
\item  Calculer la probabilité de l'évènement :
\og La pièce choisie est réparable \fg.
\item  Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle ait le défaut $D_A$ 
(le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible).
\item À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui
ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.

Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut $D_A$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item $X$ est un réel appartenant à l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
	
\begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation $X+1=\dfrac{2}{X}$ 
		\item Résoudre l'inéquation $X+1 \leq\dfrac{2}{X}$ 
\end{enumerate}
\item En déduire que le réel $\alpha=5$ est solution de l'équation $\e^{0,2x-1}+1=2\e^{1-0,2x}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

$f$  et $g$  sont deux fonctions définies sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$  par $f(x)= \e^{0,2x-1}+1$ et $g(x)= 2\e^{1-0,2x}$.
 
Leurs courbes représentatives $\mathcal C_f$  et $\mathcal C_g$ sont données ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(11,6.2)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](-0.5,-0.5)(10,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05, labels=none]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(10,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](10,0){$x$} \uput[l](-0.05,6){$y$}
\psline[linewidth=.25pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(.98,-.3){\textsf 1}
\psline[linewidth=.25pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.3,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vert}{0 .3 0}
\def\f{Euler^(0.2*x-1)+1}
\def\g{2*Euler^(1-0.2*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f} 
\gsave
\psplot[algebraic=true,plotstyle=curve]{5}{0}{\g}
\fill[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchsep=6pt,hatchcolor=vert]
\grestore}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{10}{\g}
\uput[u](10.3,3.5){\bleu{\small $\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[u](10.3,0.4){\prune{\small $\mathcal{C}_{g}$}}
\psdots[dotstyle=Bo,linecolor=vert,dotscale=.8](5,2)
\rput(5,2.4){\vert {\footnotesize{$I$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Étudier les limites en $+\infty$ des fonctions $f$ et $g$. Préciser les asymptotes éventuelles aux courbes.
	\item Étudier les de variations des fonctions $f$  et $g$.
	\item En utilisant les résultats de la PARTIE A, calculer les coordonnées du point d'intersection des courbes $\mathcal C_f$  et $\mathcal C_g$ et montrer que  $f(x) \leqslant g(x)$ sur l'intervalle $]0;5]$.
	\item Montrer par un calcul de primitive, qu'une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$  par $G(x)= -10\e^{1-0,2x}$.
	\item Calculer la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal C_f$, $\mathcal C_g$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 5$.
\end{enumerate}

\end{document}