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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
  
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 29 Septembre 2007}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 1}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} )

\medskip


\textsc{\textbf{\small{partie a}}}

\medskip
 
 \begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$, $x^3+3x^2-54=(x-3)(x^2+6x+18)$.
\item En déduire le signe du polynôme $P(x)=x^3+3x^2-54$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{\textbf{\small{partie b}}}

\medskip

\textit{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.} 

\textit{On demande de recopier sur la copie chaque proposition complétée par la réponse choisie.Aucune justification n'est demandée.}


\textit{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.}

\medskip

On considère une fonction  $f$ définie sur et dérivable sur $\R$ . Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :


\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture*}(11.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(11.5,3) \psline(0,2.2)(11.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$}\rput(5,2.6){$-2$} \rput(8,2.6){$2$} \rput(11,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.2){$f(x)$} \rput(2,1.8){\rnode{A}{$+ \infty$}} \rput(5,.4){\rnode{B}{$-1$}} \rput(8,1.8){\rnode{C}{$3$}} \rput(11,.4){\rnode{D}{$0$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncline{C}{D} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On peut affirmer que \ldots

\begin{itemize}
\item $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = -2$.

\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\end{itemize}

\item  La courbe représentative de la fonction  $f$ admet \ldots

\begin{itemize}	
\item pour asymptotes les droites d'équation $y = -1$ et $y = 3$.

\item pour asymptotes les droites d'équation $x = -2$ et $x = 2$.

\item la droite d'équation $y = 0$ pour asymptote.

\item la droite d'équation $x = 0$ pour asymptote.
\end{itemize}

\item	Dans $\R$  l'équation $f (x) = 0$ admet \ldots

\begin{itemize}	
\item 0 solution.

\item 1 solution.

\item 2 solutions.

\item 3 solutions.
\end{itemize}

\item	Dans $\R$  l'inéquation $f (x) > 3$ \ldots

\begin{itemize}	
\item n'a pas de solution.

\item a pour solutions l'ensemble des réels $x > 2$.

\item a toutes ses solutions positives.

\item a toutes ses solutions négatives.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad (4 \textit{points} )

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=\left]0;+\infty\right[$.

On sait que :
\begin{itemize}
	\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ ;
	\item la courbe $(C)$ coupe l'axe des abscisses au point $(2 ; 0)$ ;
	\item la courbe $(C)$ admet pour asymptote l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(6.5,4)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rouge}{1 .1 .2 }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-.5,-1)(6.25,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-.5,-1)(6.25,4)
\uput[d](6.2,-0.1){$x$} \uput[l](-0.1,3.8){$y$}
\rput(-0.1,-0.2){0}
\rput(1,-0.2){\footnotesize{1}}
\rput(-0.1,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=rouge]{0.00001}{6.25}{x*ln(2/x)*Euler^(2-x)}
\uput[r](5,-0.5){\rouge{$(C)$}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Déterminer  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item La droite d'équation $x = 0$ est-elle asymptote à la courbe $(C)$ ?
\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur \hbox{l'intervalle}  $\left]2;+\infty\right[$  par $g(x)=\displaystyle\frac{1}{f(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$.
\item Laquelle de ces trois courbes est la courbe représentative de la fonction $g$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4)(6.5,0.75)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{0 .3 0}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-.5,-4)(6.25,0.75)
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm}
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-.5,-8)(6.25,1.5)
\newrgbcolor{grisf}{0.1 0.1 .1}
\psline [linewidth=0.8pt,linecolor=grisf](2,-8)(2,4)
\uput[d](6.2,-0.1){$x$} \uput[l](-0.1,1.3){$y$}
\rput(-0.15,-0.4){0}
\rput(1,-0.4){\footnotesize{1}}
\rput(2,-0.4){\footnotesize{2}}
\rput(-0.15,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{2.1}{6.25}{x^1.2*Euler^(2-x)/ln(2/x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{2}{6}{ln(2/x)*Euler^(x-2)/x}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=vert]{2.1}{6}{Euler^(x-2)/(x*ln(2/x))}
\uput[r](2.6,-7.5){\bleu{$C_1$}}
\uput[r](5,-3.5){\prune{$C_2$}}
\uput[r](2.1,-2.5){\vert{$C_3$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad (5,5 \textit{points} )

\medskip

 
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur  $\left]2;+\infty\right[$ par $f(x)=1-2x+\displaystyle\frac{1}{4-2x}$. 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$. En déduire l'existence d'une asymptote pour $\mathcal{C}_f$.
\item  Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$  admet une deuxième asymptote d'équation $y=1-2x$.
\end{enumerate}

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\left]2;+\infty\right[$ par $g(x)=\displaystyle\frac{2x+3}{x^2-4}$. 

Calculer la limite en $+ \infty$ du quotient  $\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}$  

\end{enumerate}

\bigskip

\exo \qquad (6,5 \textit{points} )

\medskip


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$   par  $f(x)=-x^3-2x^2+4x+2$. 

\begin{enumerate}
	\item Étudier la limite de $f$ en $-\infty$  et en  $+\infty$.
	\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. (\textit{Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs des extremums de} $f$ )
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=7$, admet une solution unique  $\alpha$ dans l'intervalle $\left[ -4;-3 \right]$.

Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie de $\alpha$  au dixième près.
\end{enumerate}
\end{document}