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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
  
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 20 Octobre 2007}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 2}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

\medskip


Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée $C_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\left]0;+\infty\right[$. On désigne par  $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
On sait que :
\begin{itemize}
	\item Les droites d'équation  $x=0$ et $y=0$   sont asymptotes à la courbe $C_f$ ;
	\item la courbe $C_f$  admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $A$ d'abscisse 1 ;
	\item la tangente à la courbe $C_f$  au point $B\left(2;\dfrac{3}{2}\right)$  passe par le point de coordonnées $(4;0)$ 
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-.25,-.25)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-.25,-0.25)(5.5,5.5)
\uput[d](5.4,-0.1){$x$} \uput[l](-0.1,5.4){$y$}
\rput(-0.1,-0.2){0}
\rput(1,-0.2){\footnotesize{1}}
\rput(-0.1,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.8pt, linecolor=bleu]{0.1}{6.25}{x/(x^2-2*x+2)+1/x}
\uput[r](4.75,.75){\bleu{$(C_f)$}}
\psline [linewidth=0.9pt,linecolor=prune](0.25,2)(1.75,2)
\uput[r](.8,2.125){\prune{$A$}}
\psline [linewidth=1pt,linecolor=prune](0.5,2.625)(4.4,-0.3)
\uput[r](1.9,1.6){\prune{$B$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  À partir du graphique et des renseignements fournis :

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$  et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

\item Déterminer  $f(1)$, $f(2)$, $f'(1)$ et $f'(2)$.
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $g$ inverse de la fonction $f$. C'est-à-dire la fonction $g$ définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par $g(x)=\displaystyle\frac{1}{f(x)}$.

\begin{enumerate}
\item Quel est le sens de variation de la fonction $g$ sur $\left]0;+\infty\right[$ ?
\item Déterminer  les valeurs de $g'(1)$ et $g'(2)$.
\item Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point \mbox{d'abscisse 2.}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\pagebreak


\exo 

\medskip


Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par $f(x)=\left(\displaystyle\frac{2}{x}-1\right)^3$ 

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique.
\item Calculer  $f'(x)$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip



\textsc{\textbf{\small{partie a}}}
 
 \begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$, $x^3+3x^2-54=(x-3)(x^2+6x+18)$.
\item En déduire le signe du polynôme $P(x)=x^3+3x^2-54$.
\end{enumerate}

\textsc{\textbf{\small{partie b}}} \\

Une entreprise produit $q$ milliers de pièces par jour, $q$ étant un réel de $\left]0;5\right]$.
Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de $q$ et est donné par l'expression :
\[f(q)=\frac{q^3+6q^2+12q+108}{12q}\]

\begin{enumerate}
\item  Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de 4200 pièces ? 
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(q)$.
\item En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction $f$.
\item En déduire le nombre   d'unités à fabriquer pour que le prix de revient d'une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}