Contrôle du 29 mars 2008

Corrigé de l'exercice 6

Un organisme a chargé un centre d'appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté que 15% des clients contactés donnent suite à la demande et acceptent un rendez-vous.
On contacte n clients de cet organisme d'une façon indépendante et on note $p_n$ la probabilité qu'au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous.

1. Dans le cas où $n=3$, calculer la probabilité qu'aucun des trois clients contactés n'accepte un rendez-vous, puis en déduire $p_3$.

   Notons S l'évènement «le client accepte un rendez-vous» nous avons : $$\begin{array}{ccc}p\left(S\right)=\mathrm{0,15}& \text{et}& p\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}\end{array}$$

   Contacter trois clients de cet organisme d'une façon indépendante est la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
   La loi de probabilité associée au nombre de succès est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,15.

   La probabilité d'obtenir trois échecs consécutifs est donc égale à $${\mathrm{0,85}}^3=\mathrm{0,614125}$$

   Arrondie au millième, la probabilité qu'aucun des trois clients contactés n'accepte un rendez-vous égale à 0,614.

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   L'évènement «au moins un des trois clients contactés accepte un rendez-vous» et l'évènement contraire de l'évènement «aucun des trois clients contactés n'accepte un rendez-vous» de probabilité $$p_3=1-{\mathrm{0,85}}^3=\mathrm{0,3858755}$$

   Arrondie au millième, la probabilité $p_3$ qu'au moins un des trois clients contactés accepte un rendez-vous est 0,386.

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2. Prouver que $p_n=1-{\mathrm{0,85}}^n$

   Contacter n clients de cet organisme d'une façon indépendante est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
   La loi de probabilité associée au nombre de succès est une loi binomiale de paramètres n et 0,15.

   L'évènement «au moins un des n clients contactés accepte un rendez-vous» et l'évènement contraire de l'évènement «aucun des n clients contactés n'accepte un rendez-vous». Or la probabilité d'obtenir n échecs consécutifs est égale à ${\mathrm{0,85}}^n$.

   La probabilité qu'au moins un des trois clients contactés accepte un rendez-vous est $p_n=1-{\mathrm{0,85}}^n$.

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3. Quel est le nombre minimal de clients à démarcher pour que la probabilité qu'au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99 ?

   Le nombre minimal de clients à démarcher pour que la probabilité qu'au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99 est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{llll}{p}_n>\mathrm{0,99}& \iff & 1-{\mathrm{0,85}}^n>\mathrm{0,99}& \\ & \iff & -{\mathrm{0,85}}^n>-\mathrm{0,01}& \\ & \iff & {\mathrm{0,85}}^n<\mathrm{0,01}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,85}}^n\right)<\ln \left(\mathrm{0,01}\right)& \text{La fonction logarithme est croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,85}<\ln \left(\mathrm{0,01}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,01}\right)}{\ln \mathrm{0,85}}}& \ln \left(\mathrm{0,85}\right)\text{ négatif}\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,01}\right)}{\ln \mathrm{0,85}}}\approx \mathrm{28,34}$ par conséquent :

   Il faut démarcher au moins 29 clients pour que la probabilité qu'au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99.

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