contrôles en terminale ES

Contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 2

Les fonctions d'offre et de demande d'un produit sont définies sur [0;10] par :

  • fonction d'offre : f(x)=ex4-12
  • fonction demande : g(x)=e2-x6

x est la quantité en milliers d'articles et f(x) et g(x) sont des prix unitaires en euros.

  1. Étudier les variations des fonctions f et g.

    Les fonctions u et eu ont les mêmes variations, sur tout intervalle où la fonction u est définie.

    • La fonction affine xx4-12 est strictement croissante sur .

      Donc sur [0;10] la fonction f définie par f(x)=ex4-12 est strictement croissante.


    • La fonction affine x2-x6 est strictement décroissante sur .

      Donc sur [0;10] la fonction g définie par g(x)=e2-x6 est strictement décroissante.


  2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 6.

    Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 6 est donnée par la relation : y=f(6)×(x-6)+f(6)

    • Calculons f(6) : f(6)=e64-12=e

    • Calculons f(6).

      Sur [0;10] la fonction f est dérivable et f(x)=14ex4-12. D'où :f(6)=14×e64-12=e4

    Ainsi, une équation de la tangente est : y=e4×(x-6)+ey=e4x-3e2+ey=e4x-e2

    La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 6 a pour équation y=e4(x-2).


  3. Les courbes représentatives des fonctions f et g sont données ci-dessous. Au point E d'équilibre du marché, le prix p0 en euro demandé par les consommateurs est égal au prix d'offre des producteurs et la quantité échangée sur le marché en milliers d'articles est égale à q0.
    Calculer la quantité d'équilibre q0 en nombre d'articles et le prix d'équilibre p0 arrondi au centime d'euro près.

    Exprimée en milliers d'articles, la quantité d'équilibre est solution de l'équation f(x)-g(x). Soit :ex4-12=e2-x6x4-12=2-x65x12=52x=6

    Donc le montant en euros, du prix d'équilibre est f(6)=e2,72.

    Au point d'équilibre du marché, le prix est de 2,72 € et la quantité échangée est de 6000 articles .


    Courbes d'offre et de demande : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  4. On considère les nombres I=0q0g(x)dx et J=p0q0. Donner une interprétation graphique de I-J.

    Gaphiquement, I=0q0g(x)dx mesure en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=q0. J=p0q0 est l'aire, en unité d'aire, du rectangle de côtés p0 et q0.

    Donc I-J , mesure en unité d'aire, l'aire du domaine Sd compris entre la courbe représentative de la fonction g et la droite d'équation y=p0. (hachuré en rouge)


  5. On admet que la quantité d'équilibre est de 6000 articles.

    1. Exprimé en milliers d'euros, le surplus des consommateurs, est donné par Sd=06g(x)dx-6e. Déterminer le surplus des consommateurs arrondi à l'euro près.

      Déterminons une primitive G de la fonction g définie sur [0;10] par g(x)=e2-x6.

      Pour tout réel x[0;10], posons u(x)=2-x6 alors, u(x)=-16 . D'où g=-6ueu

      Donc la fonction G définie sur [0;10] par G(x)=-6e2-x6 est une primitive de la fonction g.

      Exprimé en milliers d'euros, le surplus des consommateurs, est : Sd=06g(x)dx-6e=[-6e2-x6]06-6e=(-6e2-1+6e2)-6e=6e2-12e

      Arrondi à l'euro près, le surplus des consommateurs Sd est égal à 11715 €.


    2. L'aire Sp du domaine colorié en bleu, représente en milliers d'euros, le surplus des producteurs. Déterminer le surplus des producteurs arrondi à l'euro près.

      L'aire Sp du domaine colorié en bleu est égale à la différence entre l'aire du rectangle de côtés p0 et q0 et l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=6 . D'où Sp=6e-06f(x)dx

      Déterminons une primitive F de la fonction f définie sur [0;10] par f(x)=ex4-12.

      Pour tout réel x[0;10], posons u(x)=x4-12 alors, u(x)=14 . D'où f=4ueu

      Donc la fonction F définie sur [0;10] par F(x)=4ex4-12 est une primitive de la fonction f.

      Exprimé en milliers d'euros, le surplus des producteurs, est : Sp=6e-06f(x)dx4e=6e-[4ex4-12]06=6e-(4e-4e-12)=2e+4e-12

      Arrondi à l'euro près, le surplus des producteurs Sd est égal à 7863 €.



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