Les fonctions d'offre et de demande d'un produit sont définies sur par :
Où x est la quantité en milliers d'articles et et sont des prix unitaires en euros.
Étudier les variations des fonctions f et g.
Les fonctions u et ont les mêmes variations, sur tout intervalle où la fonction u est définie.
La fonction affine est strictement croissante sur .
Donc sur la fonction f définie par est strictement croissante.
La fonction affine est strictement décroissante sur .
Donc sur la fonction g définie par est strictement décroissante.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 6.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 6 est donnée par la relation :
Calculons :
Calculons .
Sur la fonction f est dérivable et . D'où :
Ainsi, une équation de la tangente est :
La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 6 a pour équation .
Les courbes représentatives des fonctions f et g sont données ci-dessous. Au point E d'équilibre du marché, le prix en euro demandé par les consommateurs est égal au prix d'offre des producteurs et la quantité échangée sur le marché en milliers d'articles est égale à .
Calculer la quantité d'équilibre en nombre d'articles et le prix d'équilibre arrondi au centime d'euro près.
Exprimée en milliers d'articles, la quantité d'équilibre est solution de l'équation . Soit :
Donc le montant en euros, du prix d'équilibre est .
Au point d'équilibre du marché, le prix est de 2,72 € et la quantité échangée est de 6000 articles .
On considère les nombres et . Donner une interprétation graphique de .
Gaphiquement, mesure en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équation et . est l'aire, en unité d'aire, du rectangle de côtés et .
Donc , mesure en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction g et la droite d'équation . (hachuré en rouge)
On admet que la quantité d'équilibre est de 6000 articles.
Exprimé en milliers d'euros, le surplus des consommateurs, est donné par . Déterminer le surplus des consommateurs arrondi à l'euro près.
Déterminons une primitive G de la fonction g définie sur par .
Pour tout réel , posons alors, . D'où
Donc la fonction G définie sur par est une primitive de la fonction g.
Exprimé en milliers d'euros, le surplus des consommateurs, est :
Arrondi à l'euro près, le surplus des consommateurs est égal à 11715 €.
L'aire du domaine colorié en bleu, représente en milliers d'euros, le surplus des producteurs. Déterminer le surplus des producteurs arrondi à l'euro près.
L'aire du domaine colorié en bleu est égale à la différence entre l'aire du rectangle de côtés et et l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation et . D'où
Déterminons une primitive F de la fonction f définie sur par .
Pour tout réel , posons alors, . D'où
Donc la fonction F définie sur par est une primitive de la fonction f.
Exprimé en milliers d'euros, le surplus des producteurs, est :
Arrondi à l'euro près, le surplus des producteurs est égal à 7863 €.
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