1) Si A et B sont deux évènements indépendants tels que $p\left(A\right)=\mathrm{0,7}$ et $p\left(B\right)=\mathrm{0,2}$ alors

A et B sont deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors $$p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)$$

Or les évènements A et B sont indépendants donc :$$p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)$$

Il s'ensuit que $$p\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,7}+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,76}$$

• $p\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,9}$

• $p\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,76}$

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• $p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,5}$

2) Si A et B sont deux évènements indépendants tels que $p\left(A\right)=\mathrm{0,6}$ et $p\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,8}$ alors

Les évènements A et B sont indépendants donc $p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)$ et $p_A\left(B\right)=p\left(B\right)$

Comme $p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)$, Il s'ensuit que $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,8}=\mathrm{0,6}+p\left(B\right)-\mathrm{0,6}\times p\left(B\right)& \iff & p\left(B\right)=\mathrm{0,5}\end{array}$$

D'où $p_A\left(B\right)=\mathrm{0,5}$

• $p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,48}$
• $p\left(B\right)=\mathrm{0,2}$

• $p_A\left(B\right)=\mathrm{0,5}$

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3) On lance un dé équilibré trois fois de suite. La probabilité d'obtenir au moins un 6 est :

Notons S l'évènement "obtenir un 6 au cours d'un lancer" de probabilité, $p\left(S\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}$ . D'où $p\left(\overline{S}\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

L'évènement A "obtenir au moins un 6 au cours des trois lancers" est l'évènemt contraire de l'évènement "ne pas obtenir de 6 au cours des trois lancers".

Or la probabilité d'obtenir trois échecs consécutifs au cours des trois lancers est égale à ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3$

Donc $p\left(A\right)=1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3={\displaystyle \frac{91}{216}}$

• ${\displaystyle \frac{3}{6}}$
• ${\displaystyle \frac{1}{216}}$

• ${\displaystyle \frac{91}{216}}$

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4) Si A et B sont deux évènements relatifs à une même épreuve tels que $p\left(A\right)=\mathrm{0,4}$, $p_A\left(B\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{\overline{A}}\left(B\right)=\mathrm{0,4}$ alors

$p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p_A\left(B\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,08}$

$p\left(\overline{A}\cap B\right)=p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,24}$

Les évènements A et B sont relatifs à une même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales $$\begin{array}{ccccccc}p\left(B\right)& =& p\left(A\cap B\right)+p\left(\overline{A}\cap B\right)& =& \mathrm{0,08}+\mathrm{0,24}& =& \mathrm{0,32}\end{array}$$

• $p\left(B\right)=\mathrm{0,6}$

• $p\left(B\right)=\mathrm{0,32}$

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• $p\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,08}$

5) Si A et B sont deux évènements relatifs à une même épreuve tels que $p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,12}$ et $p\left(\overline{A}\cap B\right)=\mathrm{0,36}$ alors

La probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé est $$\begin{array}{ccc}{p}_B\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(A\cap B\right)}{p\left(B\right)}}\end{array}$$

Les évènements A et B sont relatifs à une même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales $$\begin{array}{ccccccc}p\left(B\right)& =& p\left(A\cap B\right)+p\left(\overline{A}\cap B\right)& =& \mathrm{0,12}+\mathrm{0,36}& =& \mathrm{0,48}\end{array}$$

D'où $$\begin{array}{ccccc}{p}_B\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,48}}}& =& \mathrm{0,25}\end{array}$$

• $p_B\left(A\right)=\mathrm{0,24}$
• $p_B\left(A\right)=\mathrm{0,48}$

• $p_B\left(A\right)=\mathrm{0,25}$

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