contrôle du 27 septembre 2008

Corrigé de l'exercice 1

1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-1}{x+1}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

   1. À l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

      $\begin{array}{ccc}2x-1<0\iff x<{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& x+1<0\iff x<-1\end{array}$. D'où le tableau du signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-1$			${\displaystyle \frac{1}{2}}$		+ ∞
      $2x-1$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $x+1$			+	$|$	+
      $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-1}{x+1}}$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Déterminer, en justifiant avec soin, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      • $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$

        $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }2x-1=-3$ et $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }x+1=0^{+}$ alors par quotient , $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x-1}{x+1}}=-\infty$

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

        $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x-1}{x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x}{x}}=2$

      Ainsi, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$.

      ---

   3. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $x+1\ne 0$, alors la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{lrll}& u\left(x\right)=2x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ \text{et}& v\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$$

      Donc sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2\times \left(x+1\right)-1\times \left(2x-1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x+2-2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}}$.

      ---

   4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

      Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times \left(x-0\right)+f\left(0\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{{\left(0+1\right)}^2}}=3& \text{et}& f\left(0\right)={\displaystyle \frac{2\times 0-1}{0+1}}=-1\end{array}$$

      D'où $$y=3x-1$$

      La tangente à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 0 a pour équation $y=3x-1$.

      ---

2. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\left[f\left(x\right)\right]}^2$. On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

   1. Déterminer $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$. En déduire l'existence d'asymptotes à la courbe $C_g$.

      • $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)$

        $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{X}^2=+\infty$ alors par composition , $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{\left[f\left(x\right)\right]}^2=+\infty$

        Ainsi, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ donc la droite d'équation $x=-1$ est asymptote à la courbe $C_g$.

        ---

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$

        $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ et $\underset{X\to 2}{\lim }{X}^2=4$ alors par composition , $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left[f\left(x\right)\right]}^2=4$

        Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=4$ donc la droite d'équation $y=4$ est asymptote à la courbe $C_g$ en + ∞.

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   2. On note $g\prime$ la dérivée de la fonction g. Calculer $g\prime \left(x\right)$.

      $g=f^2$ alors g est dérivable sur tout intervalle où la fonction f est dérivable et $g\prime =2\times f\times f\prime$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(x\right)=2\times {\displaystyle \frac{2x-1}{x+1}}\times {\displaystyle \frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}}& \iff & g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{12x-6}{{\left(x+1\right)}^3}}\end{array}$$

      Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{12x-6}{{\left(x+1\right)}^3}}$.

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