contrôles en terminale ES

contrôle du 27 septembre 2008

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur ]-1;+[ par f(x)=x2-8x+7x+1 . Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée Cf, est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.

    1. Calculer limx-1x>-1f(x) . En déduire l'existence d'une asymptote pour Cf.

      limx-1+x2-8x+7=16 et limx-1+x+1=0+ ( x>-1x+1>0 ) alors par quotient, limx-1+x2-8x+7x+1=+.

      Ainsi, limx-1+f(x)=+, donc la droite d'équation x=-1 est asymptote à la courbe 𝒞f.


    2. Calculer limx+f(x)

      limx+x2-8x+7x+1=limx+x2x=limx+x=+

      Donc limx+f(x)=+.


    3. Montrer que la courbe Cf admet une deuxième asymptote d'équation y=x-9.

      Pour montrer que la courbe Cf admet une deuxième asymptote d'équation y=x-9, on étudie, la limite en + de la différence f(x)-(x-9) :

      f(x)-(x-9)=x2-8x+7x+1-(x-9)=x2-8x+7-(x-9)(x+1)x+1=x2-8x+7-(x2+x-9x-9)x+1=x2-8x+7-x2+8x+9x+1=16x+1

      Or limx+16x+1=0

      Ainsi limx+f(x)-(x-9)=0 donc la droite d’équation y=x-9, est asymptote à la courbe 𝒞f en +.


  1. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer f(x)

      Sur l'intervalle ]-1;+[, x+10, alors la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle ]-1;+[ par : u(x)=x2-8x+7 d'oùu(x)=2x-8etv(x)=x+1 d'oùv(x)=1

      donc pour tout réel x de l'intervalle ]-1;+[ : f(x)=(2x-8)(x+1)-(x2-8x+7)×1(x+1)2=2x2+2x-8x-8-x2+8x-7(x+1)2=x2+2x-15(x+1)2

      Ainsi, f est la fonction définie sur ]-1;+[ par f(x)=x2+2x-15(x+1)2


    2. Étudier le signe de f(x)

      f(x)=x2+2x-15(x+1)2. Or pour tout réel x-1, (x+1)2>0, donc le signe de f(x) est le même que celui du polynôme x2+2x-15 sur l'intervalle ]-1;+[.

      Étude du signe du polynôme du second degré x2+2x-15 avec a=1, b=2 et c=-15

      Δ=b2-4ac soit Δ=4-4×1×(-15)=64 , le polynôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aetx2=-b+Δ2aSoitx1=-2-82=-5etx2=-2+82=3

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de f sur l'intervalle ]-1;+[

      x-1 3 +
      f(x)  0||+ 
    3. Donner le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs des extremums de f)

      Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f ’

      x-1  3 +
      f(x)   0||+ 
      f(x)  

      +

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      − 2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +


      Calcul du minimum : f(3)=32-8×3+73+1=-2

  2. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point au point d'abscisse 1 est :y=f(1)×(x-1)+f(1)

    Or f(1)=12+2×1-15(1+1)2=-3etf(1)=12-8×1+71+1=0

    D'où y=-3(x-1)y=-3x+3

    La tangente T à la courbe Cf au point au point d'abscisse 1 a pour équation y=-3x+3.


  3. Tracer sur le graphique donné en annexe, les asymptotes à la courbe 𝒞f ainsi que la tangente T.

    • L'asymptote d'équation y=x-9 passe par les points de coordonnées (9;0) et (13;4)
    • La tangente T d'équation y=-3x+3 passe par les points de coordonnées (1;0) et (0;3)

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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