Soit f la fonction définie sur par . Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée , est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.
Calculer . En déduire l'existence d'une asymptote pour .
et ( ) alors par quotient, .
Ainsi, , donc la droite d'équation est asymptote à la courbe .
Calculer
Donc .
Montrer que la courbe admet une deuxième asymptote d'équation .
Pour montrer que la courbe admet une deuxième asymptote d'équation , on étudie, la limite en de la différence :
Or
Ainsi donc la droite d’équation , est asymptote à la courbe en .
On note la dérivée de la fonction f.
Calculer
Sur l'intervalle , , alors la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle par :
donc pour tout réel x de l'intervalle :
Ainsi, est la fonction définie sur par
Étudier le signe de
. Or pour tout réel , , donc le signe de est le même que celui du polynôme sur l'intervalle .
Étude du signe du polynôme du second degré avec , et
soit , le polynôme admet deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de sur l'intervalle
x | 3 | |||||
− | + |
Donner le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs des extremums de f)
Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f ’
x | 3 | ||||||
− | + | ||||||
− 2 |
Calcul du minimum :
Donner une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 1.
Une équation de la tangente T à la courbe au point au point d'abscisse 1 est :
Or
D'où
La tangente T à la courbe au point au point d'abscisse 1 a pour équation .
Tracer sur le graphique donné en annexe, les asymptotes à la courbe ainsi que la tangente T.
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