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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Lundi 17 Novembre 2008}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 2}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES spécialité\\Durée 1 heure}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo 

\medskip

Afin d'augmenter sa rentabilité, une entreprise décide d'investir dans deux secteurs notés \textit{A} et \textit{B}. Le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ;6]$ par \[f(x;y)=\dfrac{30x+30y}{2x^2-2xy+y^2+5} \qquad \text{avec}\quad 0\leqslant x \leqslant 6 \quad \text{et}\quad 0\leqslant y \leqslant 6 \]
\begin{itemize}
	\item $x$ est le nombre de milliers d'unités monétaires investies dans le secteur \textit{A}.
	\item $y$ est le nombre de milliers d'unités monétaires investies dans le secteur \textit{B}.
	\item $f(x;y)=t$ signifie que la rentabilité a augmenté de $t\%$. 
\end{itemize}

\medskip

\textsf{\textbf{{\small{PARTIE A}}}} 

\medskip

La figure 1 de l'annexe est la représentation de la surface $S$ d'équation  $z=f(x;y)$.

 
Sur la figure 2  de l'annexe sont représentées les projections orthogonales dans le plan $(xOy)$ des lignes de niveau de cote constante $z=k$. 

On admet que la cote maximale est réduite à un point $T$

 
\begin{enumerate}
	\item Lire les coordonnées du point $A$ de la surface $S$, le placer sur la figure 2.
	\item Placer le point $T$ sur la figure 1. Est-il possible pour cette entreprise d'espérer obtenir un pourcentage d'augmentation de la rentabilité de $16 \%$ ?
	\item Par lecture graphique, avec un investissement de $0,5$ unités monétaires dans le secteur \textit{A} :
	\begin{enumerate}
	\item quel semble être le pourcentage maximal d'augmentation de rentabilité que la direction peut espérer obtenir ?
	\item quel est alors le montant total de l'investissement qui permet d'obtenir ce pourcentage d'augmentation de la rentabilité ?
\end{enumerate}
	\item Graphiquement, est-il préférable d'investir un millier d'unités monétaires dans le secteur \textit{A} et $1,5$ milliers d'unités monétaires dans le secteur \textit{B} ou $3$ milliers d'unités monétaires dans le secteur \textit{A} et $2$ milliers d'unités monétaires dans le secteur \textit{B} ?
	\item Le budget global que l'entreprise peut investir ne doit pas dépasser $6$ milliers d'unités monétaires. Graphiquement, sous la contrainte $x+y=b$ avec $b\leqslant6$ quelle stratégie d'investissement permet d'obtenir le meilleur taux d'augmentation de la rentabilité ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \textsf{\textbf{{\small{PARTIE B}}}}
 
 \medskip
 
 
Le budget total que l'entreprise investit est de $5$ milliers d'unités monétaires.
 

\begin{enumerate}
	\item Vérifier que le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité sous cette contrainte est modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0;6]$ par $g(x)=\dfrac{30}{x^2-4x+6}$.
	\item Calculer $g'(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $g$.
	\item En déduire le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité que la direction peut espérer obtenir avec un investissement de $5$ milliers d'unités monétaires. Quels sont alors les montants investi le secteur \textit{A} et dans le secteur \textit{B} ?
\end{enumerate}
 
 \pagebreak
 
\begin{center}

\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}

\vspace{\stretch{1}}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(8,9)
\rput(2,-.5){\small{\textbf{\textsc{\textsf{figure 1 :}}}} Surface $S$ d'équation  $z=f(x;y)$}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=28,Beta=-26}

\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{0.65 0.47 .82}
\newrgbcolor{C2}{0.79 0.88 .77}
\newrgbcolor{C3}{.79 .79 0.99}
\newrgbcolor{C4}{.94 .88 0.97}
\newrgbcolor{C5}{.89 .71 .94}
\newrgbcolor{C6}{.88 1 .92}
\newrgbcolor{C7}{.98 1 .91}
\newrgbcolor{C8}{.98 .91 .93}
\def\fxy{x y add 45 mul 4 div   x dup mul 2 mul 2 x mul y mul sub y 2 exp add 5 add div}

\psset{xsubticks=12,ysubticks=12}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy,Dy=1](0,0)(6,6)
\psset{xsubticks=12,ysubticks=16}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=6](0,0)(6,6)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=6](0,0)(6,6)

\pstThreeDCoor[IIIDticks,xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=6,yMax=6,zMax=6,drawing=false]
%Axes et graduations
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(6,0,0)
\rput[l](-2.5,0.1){\textbf{\small{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,6,0)
\rput[l](2,0.5){\textbf{\small{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](6,0,0)(6,0,6)
\rput[l](-5.6,3.5){\textbf{\small{$z$}}}
\rput[l](-.1,-.2,-.2){\footnotesize{0}}
\multido{\n=1+1}{6}{\pstThreeDPut(\n,-0.1 ,-.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=1+1}{6}{\pstThreeDPut(-.2,\n ,-.1){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1,\r=0+.75,\i=0+2}{9}{% 
\pstThreeDPut(6.2,-.2 ,\r){ \footnotesize{\i}}
}


%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 14
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C7]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,6){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 14 à 16
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,plotstyle=line,liftpen=2,linewidth=.1pt,linecolor=C8]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](3.001,1.283){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](1.283,3.001){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt neg 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 12
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C6]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,3.25){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](3.25,.823){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](.823,4.177){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt neg 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](4,6){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 10
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C5]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,2.149){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](2.149,.5){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](.5,5.35){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt neg 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](5.35,6){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 8
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C4]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,1.436){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](1.436,.2035){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](.2035,6){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt neg 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](5.133,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 6
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,plotstyle=line,liftpen=1,linewidth=.1pt,linecolor=C3]{%
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](3.618,6){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60](0,.705){t 6 11.25 t 6 add mul 2 t 2 exp mul 12 t mul sub 41 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](.705,0){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,liftpen=2](0,6){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt neg 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](3.475,0){6 t 11.25 t 6 add mul t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](6,0){t 0 11.25 t mul 2 t 2 exp mul 5 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60](0,1.381){0 t 11.25 t mul t 2 exp 5 add div}
}

%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 2 à 4
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,plotstyle=line,linewidth=.1pt,linecolor=C2]{%
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,liftpen=1,linewidth=5pt,linecolor=C0](0,.867){t  0  45 t mul 4 div 2 t 2 exp mul 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=17](.867,0){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=50,liftpen=1](.7396,0){0  t  45 t mul 4 div  t 2 exp 5 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,liftpen=2](2.88,6){t  0  45 t mul 4 div 2 t 2 exp mul 5 add div}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=10,liftpen=1](0,1.8){6  t  45 t 6 add mul 4 div t 2 exp 12 t mul sub 77 add div}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=26,liftpen=1](6,2.88){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
}
%coloriage de la surface comprise entre les lignes de niveau z = 0 à 2
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,plotstyle=curve,linewidth=.1pt,linecolor=C1]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linewidth=.1pt,linecolor=C1](0,.341)(0,0){\fxy}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10](.34963,0){t  4 neg t dup mul mul 120 t mul add 205 add sqrt neg 2 t mul add 15 add 2 div .75}
\psplotThreeD[linewidth=.1pt,linecolor=C1,liftpen=1,drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(.34963,0){\fxy}
}
%Lignes de niveau
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.349,0){t  4 neg t dup mul mul 120 t mul add 205 add sqrt neg 2 t mul add 15 add 2 div .75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=17,linewidth=.5pt,linecolor=C0](0,.867){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=26,linewidth=.5pt,linecolor=C0](2.88,6){t 16 neg t 2 exp mul 240 t mul add 145 add sqrt neg 4 t mul add 15 add 4 div 1.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](0,6){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt neg 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[yPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.7,0){t 4 neg t 2 exp mul 40 t mul add 5 add sqrt 2 t mul add 5 add 2 div 2.25}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](1.436,.2035){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\pstThreeDLine[linewidth=.5pt,linecolor=C0](.2035,2.05,3)(.204,2.15,3)
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.2035,6){t 64 neg t 2 exp mul 480 t mul add 95 sub sqrt neg 8 t mul add 15 add 8 div 3}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](5.35,.5){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt neg 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.5,2.149){t 4 neg t 2 exp mul 24 t mul add 11 sub sqrt 2 t mul add 3 add 2 div 3.75}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](3.25,.823){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](.823,4.177){t 16 neg t 2 exp mul 80 t mul add 55 sub sqrt neg 4 t mul add 5 add 4 div 4.5}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](3.001,1.283){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
\pstThreeDLine[linewidth=.5pt,linecolor=C0](3,4,5.25)(3.001,4.13,5.25)
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=60,linewidth=.5pt,linecolor=C0](1.283,3.001){t 196 neg t 2 exp mul 840 t mul add 755 sub sqrt neg 14 t mul add 15 add 14 div 5.25}
\pstThreeDLine[linewidth=.5pt,linecolor=C0](1.283,2.333,5.25)(1.2829,2.37,5.25)
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=C0}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=12,xPlotpoints=50](0,6)(0,6){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=50,xPlotpoints=12](0,6)(0,6){\fxy}
\rput[l](-14,3.5){\textbf{\small{$z$}}}

\pstThreeDDot[fillcolor=C0](1,1.5,4.5)
\pstThreeDPut[fillcolor=C0](1.1,1.5,4.7){\footnotesize{$A$}}
% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](5.4,.5)(5.8,.9) \rput[l](6,.7){\footnotesize{0-2}}
\psframe[fillcolor=C2](5.4,1.5)(5.8,1.9) \rput[l](6,1.7){\footnotesize{2-4}}
\psframe[fillcolor=C3](5.4,2.5)(5.8,2.9) \rput[l](6,2.7){\footnotesize{4-6}}
\psframe[fillcolor=C4](5.4,3.5)(5.8,3.9) \rput[l](6,3.7){\footnotesize{6-8}}
\psframe[fillcolor=C5](5.4,4.5)(5.8,4.9) \rput[l](6,4.7){\footnotesize{8-10}}
\psframe[fillcolor=C6](5.4,5.5)(5.8,5.9) \rput[l](6,5.7){\footnotesize{10-12}}
\psframe[fillcolor=C7](5.4,6.5)(5.8,6.9) \rput[l](6,6.7){\footnotesize{12-14}}
\psframe[fillcolor=C8](5.4,7.5)(5.8,7.9) \rput[l](6,7.7){\footnotesize{14-16}}
\end{pspicture*}

\vspace{\stretch{2}}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.5)(8.5,6.5)
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{0.65 0.47 .82}
\newrgbcolor{C2}{0.79 0.88 .77}
\newrgbcolor{C3}{.79 .79 0.99}
\newrgbcolor{C4}{.94 .88 0.97}
\newrgbcolor{C5}{.89 .71 .94}
\newrgbcolor{C6}{.88 1 .92}
\newrgbcolor{C7}{.98 1 .91}
\newrgbcolor{C8}{.98 .91 .93}
\newrgbcolor{C9}{.57 .12 .92}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(4,-1){\small{\textbf{\textsc{\textsf{figure 2 : }}}} Lignes de niveau $z=k$}
\psscalebox{-1 1}{
\rput(-6,0){
\psframe[linewidth=.1pt, fillstyle=solid,fillcolor=C1](0,0)(6,6)
\def\f{7.5+x-.5*sqrt(120*x-4*x^2+205)}
\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C2]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.3496}{7.5+x-.5*sqrt(120*x-4*x^2+205)}
\gsave
\psline[liftpen=1](.3496,0)(6,0)(6,6)(0,6)(0,.341)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C2] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C3]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.867}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\gsave
\psline[liftpen=1](.867,0)(2.88,0)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{2.88}{6}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\psline[liftpen=1](6,1.8)(6,6)(0,6)(0,.7396)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C3] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C4]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{6}{2.5+x-.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\gsave
\psline[liftpen=1](6,3.475)(6,6)(.705,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{.705}{0}{2.5+x+.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\psline[liftpen=1](0,3.618)(0,1.382)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C4] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C5]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{.20344}{6}{1.875+x-.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\gsave
\psline[liftpen=1](6,5.1335)(6,6)(1.436,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{1.436}{.20344}{1.875+x+.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C5] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C6]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{.5}{5.35}{1.5+x-.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\gsave
\psline[liftpen=1](5.35,6)(2.149,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{2.149}{.5}{1.5+x+.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C6] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C7]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{.823}{4.177}{1.25+x-.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\gsave
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{4.177}{4}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psline[liftpen=1](4,6)(3.25,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3.25}{.823}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C7] \grestore }

\pscustom[linewidth=.1pt,linecolor=C8]{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{1.2828}{3}{(14*x+15-sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\gsave
\psline[liftpen=1](3,4)(3,4.14)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3}{1.2828}{(14*x+15+sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C8] \grestore }

%lignes de niveau
\psset{,linewidth=.5pt, linecolor=C0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.349}{7.5+x-.5*sqrt(120*x-4*x^2+205)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{0}{.867}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=30]{2.88}{6}{3.75+x-.25*sqrt(240*x-16*x^2+145)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{6}{2.5+x-.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{0}{.705}{2.5+x+.5*sqrt(40*x-4*x^2+5)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{.20344}{6}{1.875+x-.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\psline(.20344,2.072)(.20344,2.084)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{.20344}{1.436}{1.875+x+.125*sqrt(480*x-64*x^2-95)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{.5}{5.35}{1.5+x-.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{2.149}{.5}{1.5+x+.5*sqrt(24*x-4*x^2-11)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{.823}{4.177}{1.25+x-.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psline(4.177,5.414)(4.177,5.44)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{4.177}{4}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3.25}{.823}{1.25+x+.25*sqrt(80*x-16*x^2-55)}
\psline(.823,2.086)(.823,2.06)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{1.2828}{3}{(14*x+15-sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\psline(3,4)(3,4.14)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150]{3}{1.2828}{(14*x+15+sqrt(840*x-196*x^2-755))/14}
\psline(1.2828,2.364)(1.2828,2.344)
}
}

\psaxes[xlabelsep=.75mm,ylabelsep=-.35cm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt,Dx=-1]{->}(6,0)(-.25,6.25)
\uput[d](3,-.25){\footnotesize{$x$}}
\uput[r](6.25,3){\footnotesize{$y$}}
\psdot[fillcolor=C9,dotstyle=o](4,3)
\uput[ul](4,3){\footnotesize{\textcolor{C9}{$T$}}}
\psset{unit=.6cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(12,12)

\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](14.2,2)(15,2.8) \rput[l](15.5,2.4){\footnotesize{0-2}}
\psframe[fillcolor=C2](14.2,3)(15,3.8) \rput[l](15.5,3.4){\footnotesize{2-4}}
\psframe[fillcolor=C3](14.2,4)(15,4.8) \rput[l](15.5,4.4){\footnotesize{4-6}}
\psframe[fillcolor=C4](14.2,5)(15,5.8) \rput[l](15.5,5.4){\footnotesize{6-8}}
\psframe[fillcolor=C5](14.2,6)(15,6.8) \rput[l](15.5,6.4){\footnotesize{8-10}}
\psframe[fillcolor=C6](14.2,7)(15,7.8) \rput[l](15.5,7.4){\footnotesize{10-12}}
\psframe[fillcolor=C7](14.2,8)(15,8.8) \rput[l](15.5,8.4){\footnotesize{12-14}}
\psframe[fillcolor=C8](14.2,9)(15,9.8) \rput[l](15.5,9.4){\footnotesize{14-16}}
\end{pspicture}
\end{center} 

\end{document}