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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Mercredi 22 Octobre 2008}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 2}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points})

\medskip

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

On demande de recopier sur la copie chaque proposition complétée par la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. 
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.}

\medskip

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée $C_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.

On sait que :
\begin{itemize}
	\item la droite $D$ est tangente à la courbe $C_f$  au point $A(-2;1)$;
	\item la courbe $C_f$ admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points d'abscisse $- 1$ et $3$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2.5)(9,4.5)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(9,5)
\psaxes[linewidth=.75pt,labelFontSize=\footnotesize,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(9,4.5)
\rput(-0.25,-0.25){0}
\uput[d](8.7,-0.1){$x$} \uput[l](-0.1,5.3){$y$}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{rouge}{1 .1 .2 }
\newrgbcolor{violet}{0.5 .1 .4 }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{9*ln(0.2*x^2+0.8*x+1.8)-3*x-5}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](-3,4)(-1,-2)
\psdots[linecolor=violet,dotscale=.8] (-2,1)
\uput[r](7.8,-2.8){\bleu{$C_f$}}
\uput[r](-2.5,0.8){\violet{$A$}}
\uput[r](-3.6,3.2){\violet{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$ alors :

\QCM{$f'(-2)=1$}{$f'(-2)=-3$}{$f'(-2)> f'(0)$} 

\item L'équation $f'(x)=0$  admet :

\QCM{une solution}{deux solutions}{trois solutions} 
	
\item $f'$ est définie sur $\R$  par :

\QCM{$f'(x)=\dfrac{3(x-3)(x^2+1)}{x^2-x+19}$}{$f'(x)=\dfrac{3(x-3)^2(x+1)}{x+7}$}{$f'(x)=\dfrac{3(3-x)(x+1)}{x^2+4x+9}$} 

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)={\left[f(x)\right]}^2$. Au point d'abscisse $- 2$, la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ a pour équation :
 
\QCM{$y=9x+19$}{$y=-6x+13$}{$y=-6x-11$}

\end{enumerate}

\bigskip
	
\exo \qquad ( 7 \textit{points} )

\medskip
 
Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{5-8x}{x^2-x+1}$.

On note $C_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$, qu'en déduit-on pour la courbe $C_f$ ?
	\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
	\item Étudier les variations de $f$.
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $-2$.
\end{enumerate}

\pagebreak
	
\exo \qquad ( 9 \textit{points} )

\medskip
 
En France, depuis la loi Evin de 1991, le prix du tabac a été relevé à plusieurs reprises et les achats ont baissé. La tendance à la baisse s'est accentuée sur la période récente, de fortes hausses des prix ayant entraîné une chute des achats en volume de tabac.
 
Le tableau suivant, donne la consommation et le prix relatif du tabac en France pour les années 2000 à 2007 :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\small}m{7cm}|*{8}{>{\small \centering \arraybackslash}m{0.8cm}|}}
\hline
Années					&	2000&	2001	&2002	&2003	&2004 &2005	&2006	&2007\\ \hline
Prix du tabac $x_{i}$ 

\textit{\footnotesize(Indice 100 en 2000)} &100 & 103,4 & 110,1 & 123,2 & 150,3 & 148,5 & 146,6 & 148,3 \\ \hline
Consommation de tabac  $y_{i}$ 

\textit{\footnotesize(en grammes par personne de 15 ans et plus et par jour)}	&	4,5	& 4,5 &	4,3 &	3,8 &	3,2 & 3,1 & 3,1 & 3 \\ \hline
 \multicolumn {9}{r}{\footnotesize{Source INSEE.}} \\
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Calculer à 0,01 près, le pourcentage de variation de la consommation du tabac entre 2000 et 2007.
	 
Peut-on dire que la consommation du tabac a baissé en moyenne de 5,6\% par an en France entre 2000 et 2007 ?
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_i;y_i)$  dans le repère orthogonal ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-.4)(17,11)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(16,11)
\psset{xunit=0.25cm, yunit=5cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,labelFontSize=\scriptsize,Dx=10,Dy=0.5,Ox=100,Oy=2.5,comma=true, xDecimals=0,yDecimals=1,ticksize=-4pt 0]{->}(0,0)(64,2.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\item On envisage un ajustement affine du nuage de points.
\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. (\emph{Les coefficients seront arrondis au centième})
	\item Tracer cette droite dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item Dans ces questions, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
\begin{enumerate}
	\item Si à partir de 2007, le prix du tabac augmente de 10\%, à combien de grammes par jour serait ramenée la consommation, en supposant que cet ajustement affine est valable pour les années suivantes.
	\item En utilisant l'ajustement affine trouvé, quel devrait être le pourcentage d'augmentation du prix du tabac pour que la consommation baisse de 16\% à partir de 2007 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}